(完整版)固体物理胡安第三章课后答案

3.1 在单原子组成的一维点阵中，若假设每个原子所受的作用力左右不同，其力常数如图所示相间变化，且
21。

试证明在这样的系统中，格波仍存在着声频支和光频支，其格波频率为
2
12
2
1
2
2
12
12
)
2(sin 4
1
1M
）
（qa 证明：
第2n 个原子所受的力
1
21122
22
1
21
21
21
22
2)(
)
()
(n n
n n n
n n
n
u
u u u u u u F 第2n+1个原子所受的力
n
n n n n
n n
n
u u u u u u u F 22
1
21
1
22
1
12221222112)(
)
()
(这两个原子的运动方程：
21
22221
121
21
1
221
122
22(
)(
)n n n n n
n n n
mu u u u mu u u u &&&&方程的解
q
a
n t i
n
q
a
n t i
n Be
u Ae
u 2
)12(1
22
)2(2代入到运动方程，可以得到
B
A e e
B
m
A
B e
e
A
m
q
a
i
q
a i
q a i q a i )(
)(
2
122
2
12
2
12
2
2
1
2
经整理，有
)(
)(
2
2
12
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1B m
A e
e
B e
e
A
m
q
a i
q
a i
q
a i
q a
i 若A ，B 有非零解，系数行列式满足
2
22121
22
2
212
12
,
,
a
a
i q i q a a i q i q m
e e
e
e m
根据上式，有
2
12
2
1
2
2
12
12
)
2(sin 4
1
1M
）
（qa 3.3
(a) 设单原子链长度
L=Na
波矢取值
2q
h
Na
每个波矢的宽度
2q
Na
，状态密度
2
Na dq 间隔内的状态数
2
Na
dq ，对应±q ，ω取相同值
因此
22
Na dq
dq
一维单原子链色散关系，
4sin 2
aq
m 令
4
,
sin
2
aq m
两边微分得到
cos
2
2a
aq d
dq
将
2
20
cos
1
2
aq 代入到0
cos
2
2
a
aq d
dq
22
22
2,
2
a dq d
dq d
a
频率分布函数
22
22
12
21
2
2
Na Na
N d
a
dq
3.4
三维晶格振动的态密度为
3
(2)V 根据态密度定义
3
()(2)
|
()|
q
V dS q r ＝
对
2
q
Aq
两边微分得到
2d q Aqdq
在球面上
2q
d Aq dq
，半径0
1q
A
代入到态密度函数得到
2
1/2
3
3
2
3/2
14
4,
24
2
2
q
V q
V A
V A
A
A
q
最小截止频率
m
00
1/2
2
3/2
34
m
m
V d
d N
A
可得
2/3
2
min 0
6
N A
V
所以
1/2
min 0
2
3/2
,
4
V
A
在
0min
或
时，是不存在频率ω的分布的，也就不会有频率分布的密度。

即
3.5
证明：此题可推广到任意维
m ，由于
1
1
m d Aq
dq
而德拜模型中
uq ，故
11
m m q
2
2
1
B B k T
v
B
k T
B e
d
C k k T
e
h h
h 令
x kT
h ，则上式变为
1
1
1
2
2
1
1
D x m x m x m m
v
x
x
e x e x C T
T
dx T
dx
e
e
在低温时
D
D x kT h
则积分
1
2
1
x
m x
e x
dx
e
为一个于T 无关的常数
故
m
v
C T
对三维m ＝3
3
v C T 对本题研究的二维m ＝2 2
v
C T 对一维
m ＝1
v
C T。