2010-2011第二学期第一次月考-高一数学试题

2010-2011第二学期第一次月考-高一数学试题
2010-2011学年度第二学期高一级第一次月考
数学试题
第I 卷选择题(共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满
分60分) 1. 在
ABC
中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若
1,,6
3
a A B π
π
==
=
，则b =( ) A. 2 B. 1 C. 3
D.232.
ABC
的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，
且2,3
a b C π===，则c =( ) A. 2 B.23 C. 1 D. 4 3. 在ABC
中，
2,3,3
AB BC B π
===
，则
ABC
S
=
( )
A. 3
B.3
C.32
D.32 4. 在数列{}n
a 中，若1
22,1
a
a ==，且12(3,)
n
n n a
a a n n N --+=+≥∈，
则4
a = ( )
A. 4
B. 3
C. 5
D. 2 5. 在等差数列{}n
b 中，若2
84,10
b
b ==，则该等差数列
的公差d = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 6. 已知数列{}n
a 是等差数列，若4
68212
a
a a ++=，那么
111a a +=
( )
A. 6
B. 3
C. 33
D. 66 7. 设n
S 为等差数列{}n
a 的前n 项和，若2011
2011
S
=，那
么1006
a = ( )
A. 1006
B. 1005
C. 1
D. 2 8. 若等差数列{}n
a 的通项公式
,n a kn b n N +
=+∈，. 那么，
下列说法错误．．
的是 ( ) A. 0k <，
{}n
a 是递减数列 B. 不论k 是何值，n
a 都是n 的一次函数
C.
k >，{}n
a 是递增数列 D. 只有
k ≠时，n
a 才是n 的一次函数
9. 在数学中，任意相邻的两个正整数通常用
,1,(1)n n n +≥或者1,,(1)n n n ->表示，所以在数列{}n
a 中，
1,,(1)
n n a a n +≥或者1
,,(1)
n
n a a
n ->表示的是{}n
a 中任意相邻
D.
11211
(1)
n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨
⎪->-⎪⎩
第Ⅱ卷非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分) 13. 在
ABC
中，若
32sin b a B
=，则角
A
=__________________.
14. 记数列3，33，333，3333，的一个通项公式为n
b ，则n
b =__________________.
15. 在等比数列
{}
n a 中，
3711
a a a =+，则公比
4q =
__________________.
16. 在等差数列{}n
b 中，我们知道：若1
2
1
2
,,,m m n n 都是正整数，且1
2
12
m m
n n +=+，则1
212
m m n n b
b b b +=+；实际上，在
等差数列{}n
b 中还有：若1
2
3
1
2
3
,,,,,m m m n n n 都是正整数，
且1
2
3
1
2
3
m m m n n n ++=++则1
23123
m m m n n n b
b b b b b ++=++.由此可以得出：
一般地，在等差数列{}n
b 中,若1
2
12,,,;,,,()
s s m m m n n n s N +∈都是正整数,且1212s s
m m m n n n ++
+=+++,则
_________________________________________
__.
三、解答题(本大题共6小题,共70分，解答应写
出必要的文字说明、证明过程和演算步骤) 17. (本题满分l0分)
在
ABC
中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且4
cos ,2,35
ABC
A b S === (1).求c 与a (2).求
cos C
.
18. (本题满分l2分)
已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n S ，且4
510
4,a
S S ==
(1).求通项公式n
a (2).求
n
S 的最小值并说明理由.
19. (本题满分l2分) 在等比数列{}n
a 中，1
6
3466,128
a a
a a +==
(1).求通项公式n
a (2).
求{}n
a 的前n 项和为n
S .
20. (本题满分l2分)
设数列{}n
a 的通项公式1,n n
a
nx n N -+
=∈，求该数列的
前n 项和为n
S .
21. (本题满分l2分)
在数列{}n
a 中，已知1
1
a
=，且1
21(1,)
n n a
a n n N ++=+≥∈
(1).设1
n
n b
a =+，求证：{}n
b 是等比数列
(2).求数列{}n
a 的通项公式
(3).设数列{}n
a 的前n 项和为n S ，求n
S .
22. (本题满分l2分)
在数列{}n
a 中，13
a
=，且1
2
(1)1
n
n a
n n a n -+=
>+，数列{}n
b 满
足1
1
(1)n
n n b
n a a +=
≥，设数列{}n
b 的前n 项和为n
T
(1).求n
a (2).求n
T
(3).若实数a 于任意的n N +
∈，有1n
a T >恒成立，求a 的
取值范围.
高一数学试题参考答案及评分参考
一、选择题.共12小题，每小题5分，共60分 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C A
D A A A C B D C C C 二、填空题.共4小题，每小题5分，共20分
13. 3
π或23π
(60或120) 14. 1
3
n （10-1)(写成3
9n
（10-1)
也给全分) 15.
152
-+ 16.
1212s s
m m m n n n b b b b b b +++=++
+
三、解答题.本题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤 17. (本题满分10分)
(本题主要考查三角形的面积公式和余弦定理，考查公式的基本运用和学生的计算能力) (1). 解：在ABC
中，4
cos 05A =>
∴
A
为锐
角 ……1分 ∴
3
sin 5
A =
……2分 又
3
ABC
S
= ∴
1
sin 32
bc A = ∴
5
c = ……4分
∵2
222cos a b c bc A
=+- ∴2
4
42522513
5
a
=+-⨯⨯⨯=
∴
13
a =
……7分 (2). 解：∵2
222cos c a b ab A
=+- ∴251342
132cos C
=+-
∴
4138
C -=
∴
2cos 131313
C ==……10分
18.(本题满分12分)
(本题主要考查等差数列的通项公式，前n 项和公式及其最值，考查公式的基本运用及运用二次函数思想来求最值) (1) 解：设等差数列
{}
n a 的通项公式为
1(1)n a a n d
n N +
=+-∈ ……1分
则
444510678910844400
a a a S S a a a a a a ===⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨
=++++==⎩⎩⎩
……3分
111347
701
a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨
⎨+==-⎩⎩
……5分
1(1)7(1)8,n a a n d n n n N +
=+-=--=-+∈
……6分
(2)解法一：由(1)得
221()151(15)
222
n n n a a n n S n n +-+===-- ……7分
2115225
()228
n =--+
……9分
∵
n N +
∈ ∴
7
n = 或
8
n = (10)
分
n
S
的
最
大
值
为
7828
S S ==
……12分 解法二：∵1
7010
a d =>=-< ∴n
S 必有最大
值 ……7分
令
1080
78070
n n a n n a n +≥-+≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨
⎨≤-+≤⎩⎩
……9分 ∵
n N +
∈ ∴
7
n = 或
8
n = (10)
分
n
S
的
最
大
值
为
7828
S S ==
……12分
19.(本题满分12分)
(本题主要考查等比数列通项公式及通项性质的应用，考查学生的计算能力和分类意识) (1)解：∵
{}
n a 是等比数列 ∴设
11()
n n a a q n N -+=∈ ……1分
则
161634166666
128128
a a a a a a a a +=+=⎧⎧⇒⎨
⎨==⎩⎩ 1
64
a
⇒=
或
12
a = ……3分 (
ⅰ)当
164
a =时
，
62
a =
……4分 ∴
51122
a q q =⇒=
……5分 ∴
1712,n n n a a q n N --+
==∈
……6分 (ⅱ)当1
2
a
=时，6
64
a
=
∴
51642
a q q =⇒=
……7分 ∴
112,n n n a a q n N -+
==∈
……8分
(2)解：(ⅰ)当12q =时
11
64[1()]
(1)21112
n n
n a q S q --==
-- 1128(1)
2n
=-
或
者
(71282n
-－) ……10分
(ⅱ)当2q =时
1(1)2[12]112
n n n a q S q --==
--
122
n +=-
……12分 20. (本题满分12分)
(本题主要考查学生的细心分类能力，错位相减的求和思想以及严密的计算能力) 解：∵当1n =时
11a x =⨯ ∴1
1
a
=且0x ≠(无此步必
须扣2分) ……2分
∴
(ⅰ)当
1
x =时
n a n
n N +
=∈ …
…3分
12n n
S a a a =++
+(1)2
n n +=
……5分
(ⅱ)当0x ≠且1x ≠时
221
123(1)n n n S x x n x nx --=+++
-+ ――――①
23123(1)n n
n xS x x x n x nx -=+++
-+ ――――
② ……8分 ①-②得
2
1(1)1n n
n
x S x x
x nx --=+++
+-
11n n
x nx x
-=--
……11分 ∴
21(1)1n n
n x nx S x x
-=-
-- (其他等价形式也给相
同分值) ……12分 21. (本题满分12分)
(本题主要考查数学中最重要的整体思维能力，等比数列的通项公式以及数列分组求和的方法) (1)证明：∵
121
n n a a +=+ ∴
11222(1)
n n n a a a ++=+=+ ……2分
又∵
1
n n b a =+ ∴
111
n n b a ++=+ (3)
分 ∴
1
122n n n
n
b b b b ++=⇒=
……4分 又1
1
12b a =+=
∴{}n
b 是以1
2b =为首项，2q =为公比的等比
数列 ……6分 (2) 解：由(1)得
112n n
n b b q -==
……7分 又
1
n n b a =+
∴
1221n
n n n a a n N +
+=⇒=-∈ ……9分
(3)解：1
2
n
n
S a a a =+++ 2
(21)(21)(21)
n =-+-+
+-
2(222)n n
=++
-
……11分
12(12)22
12
n n n n +-=-=---
……12分 22. (本题满分12分)
(本题主要考查累乘法求数列通项，列项相消求数列前n 项以及不等式的简单知识) (1)解：∵1
2
(1)1n
n a
n n a n -+=
>+
∴1
2
1n n a
n a
n
--+=
2
1
4
3
a
a
=
由叠乘法得
12142(1)133
n a n n n n a n n
+++=⨯⨯=>+
∴
2(1)
n a n n =+>
……2分 当
1
n =时
，
1
a 也
满
足
n
a
……3分 ∴
2()
n a n n N +=+∈
……4分 (2)
解
：
11111
(2)(3)23
n n n b a a n n n n +=
==-
++++
……6分 1
2
n
n
T b b b =++
+
1111
11()()(
)3445
23
n n =-+-+
+-++
11
33
n N n +=-∈+
……8分
(3)解法一：由(2)得 1
1
123
n
T
≤<
∴
1
312n
T <≤
……10分
又任意的n N +
∈ 有1n
a T >
∴
3
a ≤
……12分
解
法
二
：
由
(2)
得
11333(3)
n n T n n =-=
++
……9分
∴ 13(3)93n
n a T
n n
+==+> (于任意的n N +
∈都成立) ……11分
∴
3
a ≤
……12分。