北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编：数列

北京市部分区2017届高三上学期考试数学文试题分类汇编
数列
一、选择、填空题
1、（昌平区2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n n =+，则
3a =__________ .
2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知等差数列}{n a 前n 项和为n S .若12a =，32a S =，则2a =_______，10S = .
3、（朝阳区2017届高三上学期期中）设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23=a ，245S S =，则1a 的值为 ，4S 的值为 ．
4、（海淀区2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 满足12,,n n a a n +-=∈*N 且33a =，则
1a =____，其前n 项和n S =____
5、（北京昌平临川育人学校2017届高三上学期期末）设数列{a n }的前n 项和为S ，若S n+1，S n+2，S n+3成等差数列，且a 2=﹣2，则a 7=（ ） A ．16 B ．32
C ．64
D ．128
6、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）数列}{n a 中，若11=a ，2
1
1+
=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于______ .
二、解答题
1、（昌平区2017届高三上学期期末）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是正项的等比数列，且
115332,14,a b a b a ====.
(Ⅰ)求{}n a 、{}n b 的通项公式；
(Ⅱ)求数列{}n a 中满足46n b a b <<的各项的和.
2、（朝阳区2017届高三上学期期末）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且24=a ，
3424+=a a ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足13=b ，26=b ，且{}n n b a -是等差数列，
求数列{}n b 的前n 项和.
3、（朝阳区2017届高三上学期期中） 已知数列{}n a （n *∈N ）是公差不为0的等差数列， 若11a =，且248,,a a a 学科网成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式; （Ⅱ）若1
1
n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .
4、（东城区2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 是等差数列，其首项为2，且公差为2，若2n a
n b =（n *∈N ）.
（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；
（Ⅱ）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n A .
5、（丰台区2017届高三上学期期末）已知等差数列{}n a 满足424a a -=，38a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）数列{}n b
满足n a n b =，求数列{}n b 的前8项和．
6、（海淀区2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且21a =，
346a a +=．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n a n -的前n 项和为n S ，比较4S 和5S 的大小，并说明理由．
7、（海淀区2017届高三上学期期中）已知数列{}n a 是等差数列，且21a =-，数列{}n b 满足1n n n b b a --=(2,3,4,)n =L ，且131b b ==.
（Ⅰ）求1a 的值；
（Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式.
8、（石景山区2017届高三上学期期末）已知等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，12a =,
1233,2,a a a 成等差数列．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n b 是一个首项为6-，公差为2的等差数列，求数列{}n n a b +的前n 项和．
9、（通州区2017届高三上学期期末）已知数列{}n a 的通项公式为65()n a n n N *=+∈，数
列{}n b 是等差数列， 且1.n n n a b b +=+
（Ⅰ）求数列{}n a 的前n 项和； （Ⅱ）求数列{}n b 的通项公式.
10、（西城区2017届高三上学期期末）在等差数列{}n a 中，23a =，3611a a +=．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
2
n
n n a b a =+，其中*n ∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
11、（北京市第四中学2017届高三上学期期中）已知：对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记
*{|,}n A x x a n ==∈N ，*{|,}n B x x b n ==∈N ，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均
单调递增；②A B =∅I 且*A B =N U ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列． （Ⅰ）若21n a n =-， 42n b n =-，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由；
（Ⅱ）若2n n a =且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和； （Ⅲ）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且1636a =，求{}n a 与{}n b 的通项公式．
参考答案 一、选择、填空题
1、6
2、4，110
3、
115
,22
4、1-，22n n -
5、【解答】解：∵数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n+1，S n ，S n+2成等差数列，且a 2=﹣2， ∴由题意得S n+2+S n+1=2S n ，得a n+2+a n+1+a n+1=0，即a n+2=﹣2a n+1， ∴{a n }从第二项起是公比为﹣2的等比数列， ∴a 7=a 2q 5=64． 故选：C ．
6、27
二、解答题
1、解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d . 因为12,a =514a =， 所以1414a d +=. 所以3d =. 所以31n a n =-.
所以338b a ==. 因为12,b =
因为2
31b b q =，
所以2
4q =. 因为0n b >， 所以2q =.
所以1222n n
n b -=⋅=. ……………6分
(Ⅱ)因为46n b a b <<，即46
2312n <-<，
所以
176533
n <<
,*
N n ∈. 即n =6，7，8， (21)
所以满足46n b a b <<的各项的和为
6721215
a a a S S +++=-L
151215()
21()22a a a a ++=
-
21(262)5(214)
22++=-
632=. ………13分
2、解：(Ⅰ）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意 0q >．
因为12
3
1
14,
24,a q a q a q =⎧⎨+=⎩学科网 两式相除得 ：2
60q q +-=，
解得 2q =， 3q =-(舍去)．
所以 2
12=
=a a q
． 所以数列{}n a 的通项公式为 112-=⋅=n n
n a a q ．………………………………6分
（Ⅱ）解:由已知可得11321-=-=b a ，22642-=-=b a ，
因为{}n n b a -为等差数列，
所以数列{}n n b a -是首项为1，公差为1=d 的等差数列． 所以 1(1)-=+-=n n b a n n .
则2n
n b n =+.
因此数列{}n b 的前n 项和：
231222322n n T n =++++++++L
23(123)(2222)n n =+++++++++L L
21222
n n n ++=+-. …………………………………………………………13分
3、解: （Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，
因为248,,a a a 成等比数列，所以2
428()a a a =⋅. 即2111(3)()(7)a d a d a d +=+⋅+，即2
1d a d = .
又11a =，且0d ≠，解得1d = .
所以有1(1)n a a n d n =+-=. ……………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：11111
(1)1
n n n b a a n n n n +===-⋅++ .
则11111=1++...+2231n S n n -
--+. 即1=111
n n S n n -=++. …………………………………13分
4、（Ⅰ）证明：因为等差数列{}n a 的首项和公差都为2，
所以2(1)22n a n n =+-=，
又因为22n
n b =，
所以2(1)
12242
n n n n b b ++==，
所以数列{}n b 是以4为首项和公比的等比数列； …………………8分
（Ⅱ）解：因为=n c 24n
n n a b n +=+，
等差数列{}n a 的前n 项和22(1)2
n n
S n n n +=
⋅=+， 等比数列{}n b 的前n 项和4(14)4(41)143
n n
n T -=
=-- 所以{}n c 的前n 项和4(1)(41)3
n
n n n A S T n n =+=++
-. …………13分 5、解：（Ⅰ）因为4224==-d a a ，所以
2=d ……………………2分
又8213=+=d a a ，可得41=a ， (4)
分
从而
22+=n a n . ……………………6分
（Ⅱ）因为
()()
12
2222++===
n n a n n
b ……………………7分
所以数列{}n b 的前8项和为
1020
4
1024)12(421)
21(4888=-=-⨯=--⨯=
S
……………………13分
6、解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，
由346a a +=可得62
22=+q a q a 又21a =，所以62
=+q q ， 解得2=q 或3-=q ， 因为0n a >(1,2,3,)n =L ，所以1
0n n
a
q a +=>. 所以2=q ， 所以2
11=
a ， 所以，数列{}n a 的通项22,(1,2,3,)n n a n -==L . （Ⅱ）法1：由数列{}n a n -的前n 项和n S 的意义可得
5455S S a -=-，所以52542530S S --=-=>，
所以54S S >.
法2：1(12)
(1)
2122
n n n n S -+=-
-， 所以2
54-
=S ， 所以2
15=
S ， 所以54S S >.
7、
8、解：（Ⅰ）因为1233,2,a a a 成等差数列，
所以21343a a a =+． ……2分 所以211143a q a a q =+． 所以2430q q -+=．
所以31q q ==或（舍）． ……4分 所以123n n a -=⋅．……6分
（Ⅱ）6(1)228n b n n =-+-⋅=-．……8分 所以12823n n n a b n -+=-+⋅．……9分
所以1212()()n n n S a a a b b b =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
=(628)2(13)213
n n n -+--+-=2731n
n n -+-．………13分
9、解：（Ⅰ）∵*
65()n a n n N =+∈
∴*1[6(1)5](65)6()n n a a n n n N +-=++-+=∈，
∴数列{}n a 是等公差为6的等差数列.……………….3分 又∵111a =………………4分 ∴数列{}n a 的前n 项和：
21()[11(65)]
3822
n n n a a n n S n n +++=
==+……………….6分 （Ⅱ）∵1n n n a b b +=+
∴112a b b =+，223a b b =+……………….9分
∴1223
1117b b b b +=⎧⎨+=⎩，，
设数列{}n b 的公差为d ， 则112+112317b d b d =⎧⎨
+=⎩，，∴143b d =⎧⎨=⎩，
，
……………….12分
∴数列{}n b 的通项公式：31n b n =+……………….13分 10、解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有
113,
2711.
a d a d +=⎧⎨
+=⎩[4分] 解得12a =，1d =．[6分]
所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．[7分]
（Ⅱ）1
11
122
n n n a n b a n +=+
=++．[8分] 因为数列11
{}2
n +是首项为14，公比为12的等比数列，[9分]
所以11[1()]
(3)421212
n n n n S -+=
+-[11分]
2131122
n n n +++=-．[13分] 11、解：（Ⅰ）若21n a n =-， 42n b n =-，则*{|,}{1,3,5,7,}n A x x a n ==∈=N L ，
*{|,}{2,6,10,14,}n B x x b n ==∈=N L
因为4∉A ，4∉B ，所以4∉A B U ，从而{}n a 与{}n b 不是无穷互补数列； ……4分
（Ⅱ）若2n n a =，*{|,}{2,4,8,16,32,}n A x x a n ==∈=N L ， 则当{1,3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,17,18,19,20,}B =L 时满足条件， 则数列{}n b 的前16项的和为()()23412202222++⋅⋅⋅+-+++()512020221802+=
⨯--=； …
9分 （Ⅲ）设{}n a 的公差为d ，d *∈N ，则1611536a a d =+=， 由136151a d =-≥，得1d =或2，
若1d =，则121a =，20n a n =+，则{}n b 中只有20项与{}n b 是无穷数列矛盾；
若2d =，则16a =，24n a n =+，5255
n n n b n n ≤⎧=⎨->⎩． (14)
分。