2-3连续型随机变量及密度函数

则由积分上限定 函理 数得 F求 (x导 )f(x).
(1) X为连续型随机变量在任意x0处， (2) 概率P(X=x0)=0
0P(Xx0)P(x0xXx0)xx00xf(x)dx x0时xx00 ， xf(x)dx 0，由夹P(逼 Xx定 0)理 0
P(X=x0)=0,并不意味着事件{X=x0}是不可能事件。一般 概率为零的事件不一定是不可能事件，同样概率为1 的事 件也不一定是必然事件。
(3P ) ( 0X . 1) F() F(0.1) 1(1 e30.)1e0.3
课内练习1 已知随机变量X的密度函数f(x)0A，x，0其x它2 (1) 试 确 定 常 数 A; (2) 求 X 的 分 布 函 数 F(x); (3) 求 概 率 P(|X|≤1/2).
解
2
1
(1 ) f(x )A dx x 2 d A 1 x ,A .
(2). 因为， F(x)
x
f(x)dx
f(x)dxF()1;
0 x1
x2 X
(3).对任x意 1，x2（x1 x2),有
P(x1 Xx2)F(x2)F(x1)
x2f(x)dx x1 f(x)dx x2f(x)dx;
x1
(4)若 . f(x)在x处连,续 F(x) x f(x)dx
④ 固定σ ,μ增大图形往右平移，μ减小图形往左平移
f(x)
μ减小
μ增大
0
x
X~N(μ,σ2） 其分布函数为
F(x) 1
(x)2
e x
22
d,xx
2
(3) 计算
φ(x)
Ⅰ.当XN (0,1),
P(Xx) (x)，可以查表.求值
P (a X b ) (b ) (a )
(x)1 (x)
解
解 设刚开走的汽车是在 t0 时刻,于是下一部汽车将在t0+10 达到,又设乘客达到汽车站时间为X ,由题意X在[t0 , t0+10] 上是均匀分布的于是其概率密度
f(x)110, t0 xt0 10 0, 其它
t0
t0+7 t0+10
“候车不超过3分钟” 等价 “t0+7≤x≤t0+10”
P “ ( 等候 3分 不 )钟 P 超 t” 0过 7xt010
样本空间基本事件总数 C53 10个
“X=3”={（ 1 2 3 ） }占有基本事件 C33 1个
“X=4”={（ 1 2 4 ) ( 1 3 4 ) ( 2 3 4 ) }
占有基本事件 C23 3个 同理“X=5”占有基本事件 C42 6个
P (X
3)
C
3 3
1
,
C
3 5
10
P (X
5)
其中f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度
2.性质:
(1)f.(x)0;
(2.) f(x)dx1;
(3).对任x1意 ，x2（x1 x2),有
P(x1
Xx2)
x2f(x)dx;
x1
(4 若 f )(x .)在 x 处,连 则 F (x )续 f(x ).
（1）由定义 f(x)≥0；
Y= f(x)
2
Ⅱ.一般若XN (μ,σ2 )
F (x )1 xe (x 2 2 )2d x1 xe 1 2 x 2d x
2
2
令u
x-
F(x) 1 x eu22du (x)
2
所以 F(x， )(x)
P ( x 1 X x 2 ) F ( x 2 ) F ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 1 )
2-3连续型随机变量及密度函数
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§2-3 连续型随机变量及其概率密度
在上节我们研究了离散型随机变量，它取值是有限个或可 列个，这当然有很大的局限性，在许多随机现象中出现的一 些变量，如“测量某地气温”，“某型号显象管的寿命”，“某 石的含铜量”，等它们取值可以充满某一区间，由于取值不可 以一一列举，因此不可以象离散型那样写出分布列。因而我 们研究随机变量在任意区间的概率。因为
t0101d x0.3 t07 10
2. 正态分布
（1）定义
定义 若随机变量X的概率密度为
f x
1
x2
e 22 ，x，
2
其中， 0为常数，则X称 服从参数为
， ,的正态分布，记 X~为N（，2)
特别地，当 0， 1 时称为标准正态分布，
记为X~ N(0,1),
其概率密度记为(x)
1
x2
e 2 , X ,
2
其分布函数记为(x) 1
x2 x
e 2 dx, x ,
2
(2) 图形 X~N(μ,σ2) 密度函数
fx
1
x2
e 22 ， x ，
2
① 图形关于x =μ对称。 X<μ单调增， X>μ单调减，
② X=μ时有最大值 M= 1
2
③ 固定μ,σ变小, 图形陡峭 σ变大, 图形平坦.
解
解 若x<0, 则{X≤x}是不可能事件，于是F(x)=P(X ≤x)=0
若0 ≤x ≤2,由题意P(0 ≤X≤x)=kx2, k待定
取x=2， P(0 ≤X≤2)=4k
x
而事件0 ≤X≤2是必然事件
2
P(0 ≤X≤2)=1，所以4k=1，得k=1/4
即P(0 ≤X≤x)=x2/4
于是 F(x)=P(X ≤x)=P(X<0)+P(0 ≤X≤x)= x2/4
（2） X为连续型随机变量在任意x0处概率为零，故
P ( x 1 X x 2 ) P ( x 1 X x 2 ) P ( x 1 X x 2 )
例2. 设连续型随机变量X的分布函数为 0 , x<0
F(x )=
ax2, 0≤x<2 1 , x≥2
求 (1) 常数a. (2) 概率密度f(x). (3) X落在(-1/2, 3/2)
记 为 X~U（ a， b）
例4. X在区间[a ,b ]服从均匀分布.求 (1) X的分布函数F(x)； (2)作出F(x), f (x)的图形。
解
X的概率密度为
f(x)
b
1
a
,
axb
0,
其它
f(x) 0
f(x) 1 ba
f(x) 0
x
a
b
x
F(x) f(x)dx
(1) 当 x 0 时 F (x ) ， xf(x )d x x 0 d x 0
0 , x<–1
F(x)=
0.4, –1≤ x<1 0.8, 1 ≤x<3
1 , x ≥3 则X的概率分布为
解
x -1
1
3
P 0,4 0.4 0.2
课内练习 袋中有5个球, 编号为1,2,3,4,5 从中任取3球, 求3 个球中最大号码X的概率分布和分布函数.
解 球 1 2 3 4 5 X=3，4，5
解
解（ 1 ） f xd x
0
0d x
k e 3xd xk1
-
0
3
k 3
(2 x )0 ,F x xf(x )d x x 0 d x 0
x 0 ,F ( x ) x f ( x ) d 0 x 0 d x x 3 e 3 x d 1 x e 3 x
0
所以 Fx， 10 , e3x,xx00
当 axb时，
x
a
x 1 xa
F (X ) f(x)d x 0d x d x ,
aba ba
当 xb时，
x
a
b1
x
F (x) f(x)d x0d x
d x 0d x 1
aba b
0,
所以 F(x)
x b
a a
,
1,
xa axb
xb
(2)
f(x)
1 ba
a0
b
x
F(x)
1
a0
b
X
例5. (候车问题) 公共汽车站每隔10分有一辆公共 汽车通过,乘客到公共汽车站的时间是等可能的,求 乘客候车时间不超过3分钟的概率 (假设公共汽车一 来乘客必能上车)。
P ( x 1 X x 2 ) P ( X x 2 ) P ( X x 1 ) 所以只须知道 P (X x2)和 P (X x1)
x1
x2
X
一、随机变量的分布函数
1、分布函数的定义
定义 设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 F(x)=P(X≤x)称为X的分布函数。
x
X
⑴ 对于任意x1 ,x2 , (x1<x2)有
若X≥2，由题意{X≤x}是必然事件
于是 F(x)=P(X ≤x)=1
0 , x<0
综合上述，即得X的分布函数为 F(x )= X2/4, 0≤x<2
1 , x≥2
F(X)
0 , x<0
F(x )= X2/4, 0≤x<2
1
1 , x≥2
0
2
x
它的图形是一条连续曲线，如上右图所示
若记 Fxfx 则f(x)12x, 0x2
0 , 其它
则F ， (x)
x
f(x)dx, 这说明F(x)恰好是非负可积函数f(x),
在(－∞，x)的积分，在这种情况下我们称X为连续型随机变量。
f(x)为X的概率密度。
1.定义
若存在一个非负可积函数f(x),使随机变量X的分布函 数 F(x)对任何x可表述为
F(x) x ftdt则称X为连续型随机变量。
所以，F(x) =
0 , x <1 0.2, 1 ≤x<2 0.5, 2≤x<3 1 , x≥3
F(x)
1
0.5
0.2
X 0 123
例2. 设随机变量X的分布函数为
0,
x <–1
F(x)=
0.4, – 1≤ x<1 0.8, 1 ≤x<3
1,
x ≥3
则X的概率分布为
解
题目：设随机变量X的分布函数为
-
0
2
0,
x0
(2)F(x)
x f(x)dx
x
x2
2xdx
0
4
,
0x2
2
2xdx1,
0
x2
(3P ) |X |1 F 1 F 1 1 2 2 2 16
二、几种常用的连续型随机变量的分布
1. 均匀分布
定义 如果随机变量X的概率密度为
f(x) b 1 a, 0,
axb 其它
则称X在 [a , b ] 服从均匀分布，
(3)右连 : 续 F(x性 0)F(x)
（1） x1<x2，F(x2)－F(x1)= P(x1<X ≤x2)≥0 则 F(x1) ≤F(x2) （2）F(x) = P (X≤x)，由概率性质 0 ≤ P(X≤x) ≤1 所以 0 ≤F(x) ≤1
F () P (X ) P() 1
例1.已知随机变量X的概率分布为
例如查表可得
(1.10) 0.8643 (0.75) 1 (0.7)5 10.773 0.24266
P (0.7 5X 1.1)0 (1 .1) 0 ( 0 .7)5 0 .86 0 4 .23 2 0 6 .66 377
X~N(0,1),其 分 布 函 数 为
(x) 1
x2 x
e 2 dx, x
C
2 4
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
,
C
3 5
10
P (X
4)
C
2 3
3,
C
3 5
10
X 的概率分布为
:
1
3 / 10
4 3 / 10
6
5 / 10
分布函数
0,
F (x)
0 .1 ,
0
.4
,
1 ,
x3 3 x 4 4 x 5
x5
二、连续型随机变量及其慨率密度
例1 一个半径为2米的圆靶，设击中靶上任一同心圆盘 的概率与该圆盘的面积成正比，并设射击均能中靶，以 X表示弹着点与圆心的距离，试求随机变量X的分布函数。
内的概率. (4) 作出 F(x), f(x)的图形.
解
题目：设连续型随机变量X的分布函数为 0 , x<0 求 (1) 常数a.
F(x )= ax2,0≤x<2
(2) 概率密度f(x). (3) X落在(-1/2,3/2)内的概率.
1 , x≥2
(4) 作出F(x),f(x)的图形.
解 （ 1 ） 由 F x 的连 li续 m F x 性 F 2 4 a1 x 2 0 所a 以 1 4
P(x1<X ≤x2) = P(X ≤x2)－P(X ≤x1) = F(x2)－F(x1)
⑵ 由于分布函数的引入,便可以运用数学分析的方法来研究 随机变量.
2、分布函数的性质 （1）单调不减性 x1<x2 , 则 F(x1) ≤F(x2)
（2） .(有界性) 0 ≤F(x) ≤1， 且 F () 0 ,F () 1
2Fxfx ， f(x) 1 2x, 0x2
0 , x0或 x2
（ 3 ） P 1X 3 F 3 F 1 9 2 2 2 2 16
f(x)
（4）
1
0
2
x
F(x)
1
0
2
x
例3.设随机变量X的概率密度为
ke3x, x0 f(x)
0, x0
求(1) 常数k . (2)分布函数 F(x) . (3)X 落在(0.1,∞)的概 率。 .
X1 2 3 P 0.2 0.3 0.5
试求其分布函数
解
题目：已知随机变量X的概率分布为 X
试求其分布函数
P
1
2
3
0 .2 0 .3 0 .5
解.
X
12
3
当x<1时， F(x)=P(X ≤x) =P(φ)=0
当1≤x<2 时， F(x)=P(X ≤x) =P(X=1)=0.2
当2≤x<3 时， F(x)=P(X ≤x) =P(X=1)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5 当x ≥ 3 时， F(x)=P(X ≤x) =P(Ω)=1