【常考压轴题】专题03 二次根式化简的四种考法(解析版)八年级数学上册压轴题攻略
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【答案】 2c a 【分析】根据数轴上点的位置判断式子的符号，进而根据二次根式的性质以及绝对值的意义 化简，最后合并同类项即可求解． 【详解】解：根据点在数轴上的位置可得 b a 0 c ，且 a c b ， ∴ a b 0, c a 0, b c 0 ， ∴ a2 a b (c a)2 b c
原式 = -a - b - (b - a) a b b a 2b ．
【点睛】本题考查了根据数轴上的点的位置判断式子的符号，化简二次根式，得出各式的符 号是解题的关键．
类型二、含字母的二次根式化简（注意范围）
例 1．化简： 3a2b2 1 9ab
【答案】 ab ab 【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为 0，因此得到被开方数大于 0，求出 ab<0 后，进行二次根式的化简即可．
∴ b b a a b ab a ab
a ba
b
b a
a b
ab
a2 b2 ab
ab
a b2 2ab ab ，
ab
当 a b 2，ab 1时，原式 22 21 1 2 ．
1 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
a11 a2
a9 ，
故答案为： a9 ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式训练 2】已知 m 0 ， n 0 ，化简 m3n2 ．
【答案】 mn m
【分析】利用二次根式的乘法法则和性质化简即可． 【详解】解：∵ m 0 ， n 0 ，
∴ m3n2 mn m mn m ，
∴原式 3 x 2 x 3 x 2 x 1；
（2）观察数轴得隐含条件： a<0 ， b 0 ， a b ∴ab0，ba 0 ∴ a2 (a b)2 | b a | a a b b a a 2b ； （3）由三角形的三边关系可得隐含条件：
abc 0，abc，ba c，cb a， ∴abc 0，bac 0，cba 0
号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．
【变式训练 1】把 1 a11 中根号外因式适当变形后移至根号内得
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
【答案】 a9 【分析】根据二次根式的性质可得 a11 0 ，则 a<0 ，据此即可求解． 【详解】解：∵ 1 a11 ，有意义，
a ∴ a11 0 ，则 a<0 ，
∴1 a
a11
a a b c a c b
a a b c a c b 2c a 【点睛】本题考查了数轴上的点判断式子的符号，二次根式的性质，绝对值的意义，整式的 加减，数形结合是解题的关键．
【变式训练 2】如图，实数 a、b 在数轴上的位置，化简 a2 b2 a b ² ．
【答案】 2b 【分析】根据数轴可得 1 a 0.5 ， 0.5 b 1 ，则 a b 0 ，然后根据二次根式的性质化 简即可求解． 【详解】解：由图可知， 1 a 0.5 ， 0.5 b 1 ， ab 0，
2
2x
【类比迁移】 (2)实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简： a2 (a b)2 | b a | ．
(3)已知 a，b，c 为 ABC 的三边长．化简：
a b c2 a b c2 b a c2 c b a2
【答案】(1)1； (2) a 2b ； (3) 2a 2b 2c ． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出 x 的范围，再根据二次根式的性质化简可得； （2）由 a，b 在数轴上的位置判断出 a b 0 、 b a 0 ，再利用二次根式的性质化简即可 得； （3）由三角形的三边关系得出 a b c 0 ， b a c 0 ， c b a 0 ，再利用二次根式的 性质化简可得． 【详解】（1）解∶隐含条件 2 x 0 ，解得： x 2 ， ∴ x 3 0，
类型三、双重二次根式化简
例．先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如 m 2 n 的化简，我们只要找到两个数 a， b，使 a b m ，ab n ，即 ( a )2 ( b )2 m， a b n ，那么便有：
∴ a b c2 a b c2 b a c2 c b a2 a b c a b c b a c c b a
a bca bcb a ccb a 2a 2b 2c ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质
a2 a 及三角形的三边关系等知识点． 【变式训练 1】已知 a、b、c 在数轴上的对应点如图，化简： a2 a b (c a)2 b c ．
故答案为： mn m ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中．
【变式训练 3】已知： a b 2 ， ab 1，求： b b a a 的值． ab
【答案】 2 【分析】把原式根据二次根式的性质计算化简，代入计算即可． 【详解】解：∵ a b 2 ， ab 1， ∴ a 0，b 0 ，
【详解】解：要使该二次根式有意义，则有
1 0 ab＜03a2b2 9ab
1 3a2b2 9ab
ab 3a2b2 9a2b2 3ab
ab 3a2b2 3ab
ab ab ab
故答案为： ab ab ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的
方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以 ab 后，分母开出来容易出现符
专题 03 二次根式化简的四种考法
类型一、利用数轴化简根式
例．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
2
化简∶ 1 3x 1 x
解∶隐含条件1 3x 0 ，解得： x 1 3
∴1 x 0 ，
∴原式 1 3x 1 x 1 3x 1 x 2x
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简 x 32
原式 = -a - b - (b - a) a b b a 2b ．
【点睛】本题考查了根据数轴上的点的位置判断式子的符号，化简二次根式，得出各式的符 号是解题的关键．
类型二、含字母的二次根式化简（注意范围）
例 1．化简： 3a2b2 1 9ab
【答案】 ab ab 【分析】因为被开方数为非负数且被开方数不为 0，因此得到被开方数大于 0，求出 ab<0 后，进行二次根式的化简即可．
∴ b b a a b ab a ab
a ba
b
b a
a b
ab
a2 b2 ab
ab
a b2 2ab ab ，
ab
当 a b 2，ab 1时，原式 22 21 1 2 ．
1 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．
a11 a2
a9 ，
故答案为： a9 ．
【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【变式训练 2】已知 m 0 ， n 0 ，化简 m3n2 ．
【答案】 mn m
【分析】利用二次根式的乘法法则和性质化简即可． 【详解】解：∵ m 0 ， n 0 ，
∴ m3n2 mn m mn m ，
∴原式 3 x 2 x 3 x 2 x 1；
（2）观察数轴得隐含条件： a<0 ， b 0 ， a b ∴ab0，ba 0 ∴ a2 (a b)2 | b a | a a b b a a 2b ； （3）由三角形的三边关系可得隐含条件：
abc 0，abc，ba c，cb a， ∴abc 0，bac 0，cba 0
号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．
【变式训练 1】把 1 a11 中根号外因式适当变形后移至根号内得
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
【答案】 a9 【分析】根据二次根式的性质可得 a11 0 ，则 a<0 ，据此即可求解． 【详解】解：∵ 1 a11 ，有意义，
a ∴ a11 0 ，则 a<0 ，
∴1 a
a11
a a b c a c b
a a b c a c b 2c a 【点睛】本题考查了数轴上的点判断式子的符号，二次根式的性质，绝对值的意义，整式的 加减，数形结合是解题的关键．
【变式训练 2】如图，实数 a、b 在数轴上的位置，化简 a2 b2 a b ² ．
【答案】 2b 【分析】根据数轴可得 1 a 0.5 ， 0.5 b 1 ，则 a b 0 ，然后根据二次根式的性质化 简即可求解． 【详解】解：由图可知， 1 a 0.5 ， 0.5 b 1 ， ab 0，
2
2x
【类比迁移】 (2)实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，化简： a2 (a b)2 | b a | ．
(3)已知 a，b，c 为 ABC 的三边长．化简：
a b c2 a b c2 b a c2 c b a2
【答案】(1)1； (2) a 2b ； (3) 2a 2b 2c ． 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出 x 的范围，再根据二次根式的性质化简可得； （2）由 a，b 在数轴上的位置判断出 a b 0 、 b a 0 ，再利用二次根式的性质化简即可 得； （3）由三角形的三边关系得出 a b c 0 ， b a c 0 ， c b a 0 ，再利用二次根式的 性质化简可得． 【详解】（1）解∶隐含条件 2 x 0 ，解得： x 2 ， ∴ x 3 0，
类型三、双重二次根式化简
例．先阅读下面的解题过程，然后再解答，形如 m 2 n 的化简，我们只要找到两个数 a， b，使 a b m ，ab n ，即 ( a )2 ( b )2 m， a b n ，那么便有：
∴ a b c2 a b c2 b a c2 c b a2 a b c a b c b a c c b a
a bca bcb a ccb a 2a 2b 2c ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质
a2 a 及三角形的三边关系等知识点． 【变式训练 1】已知 a、b、c 在数轴上的对应点如图，化简： a2 a b (c a)2 b c ．
故答案为： mn m ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中．
【变式训练 3】已知： a b 2 ， ab 1，求： b b a a 的值． ab
【答案】 2 【分析】把原式根据二次根式的性质计算化简，代入计算即可． 【详解】解：∵ a b 2 ， ab 1， ∴ a 0，b 0 ，
【详解】解：要使该二次根式有意义，则有
1 0 ab＜03a2b2 9ab
1 3a2b2 9ab
ab 3a2b2 9a2b2 3ab
ab 3a2b2 3ab
ab ab ab
故答案为： ab ab ．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的
方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以 ab 后，分母开出来容易出现符
专题 03 二次根式化简的四种考法
类型一、利用数轴化简根式
例．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
2
化简∶ 1 3x 1 x
解∶隐含条件1 3x 0 ，解得： x 1 3
∴1 x 0 ，
∴原式 1 3x 1 x 1 3x 1 x 2x
【启发应用】
(1)按照上面的解法，试化简 x 32