九年级数学-反比例函数

第19讲 反比例函数
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1.反比例函数的定义和解析式；
2.反比例函数的图象和性质；
3.反比例面数与方程及不等式；
4.反比例函教与神奇的几何性质；
5.反比例函数与直线y ＝a 或x ＝a ；
6.反比例函数与全等相似；
7.反比例函数与图形变换；
8.反比例函数与定值及最值。

【板块一】反比例函数的定义和解析式 方法技巧 根据定义解题
1.定义：一般地，形如k
y x
=
（k 为常数，k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.
2.解析式：k
y x
=
（k ≠0）或xy ＝k （k ≠0）或1y kx -= （k ≠0）. 题型一根据定义判断反比例函数
【例1】下列函数：①2x y =
；@2y x =；③y =12y x =；⑤1
2
y x =+；
⑥12y x =- ；⑦2xy =； ⑧12y x -=；⑨22
y x = .其中y 是x 的反比例函数的有 （填序号）.
【解析】②③④⑦⑧.
题型二根据定义确定k 值或解析式 【例2】（1）反比例函数32y x =- ，化为k
y x
=的形式，相应的k ＝ ； （2）函数k
y x =
中，当x ＝2时，y ＝3，则函数的解析式为 【解析】（1）32- ；（2）6
y x
=.
题型三根据定义确定待定系数的值
【例3】（1）如果函数2+1m y x = 是关于x 的反比例函数，则m 的值为 （2）若函数()2
5
2m y m x -=+ （m 为常数）是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。

【解析】（1）－1；（2）m ＝2，y ＝4x .
针对练习1
1.下列函数中，为反比例函数的是（B ）
A . 3x y =
B . 13y x =
C . 13y x =-
D .21y x
=
答案：B
2.反比例函数y ＝一化为k
y x
=的形式后，相应的k ＝
答案： 3.若关于x 的函数()2
27
4m
m y m x --=- 是反比例函数，求m 的值
答案：3.
【板块二】反比例函数的图象和性质 式
抓住反比例函数的性质并结合图象解题 一般地，对于反比例函数()0k
y k x
=≠，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现： 1.图象分布
当k ＞0时，x ，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线；当k ＜0时，x ，y （同号或异号），函数图象为第 象限的两支曲线。

因此反比例函数的图象也叫做双曲线. 答案：同号；一三；异号；二四. 2.对称性
若点（a ，b ）在反比例函数的图象上，则点 ， ， 也在此图象上，故反比例函数的图象关于直线 ， 对称，关于点 成中心对称。

答案：（b ，a ），（－b ，－a ），（－a ，－b ）；y ＝x ，y ＝－x ；（0，0） 3.增减性
当k ＞0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而 ； 当k ＜0时，在每一个象限内，y 随x 的增大而 。

答案：减小；增大 题型一反比例函数的增减性 【例1】在反比例函数18m
y x
-= 的图象上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1＜0＜x 2，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（）
A .18m >
B . 18m <
C . 18m ≥
D . 1
8
m ≤
【解析】A .根据条件x 1＜0＜x 2，y 1＜y 2，可判断其围象位于二、四象限，∴1－8m ＜0，∴m ＞1
8
【例2】已知反比例函数6
y x
=- .
（1）画出这个反比例的图象；
（2）当－6≤x ＜－2时，y 的取值范围是 ； （3）当3y ≥ 时，x 的取值范围是 .
【解析】（1）图略；（2）1≤y ＜3；（3）－2＜x ＜0或0＜x ≤2.
题型二反比例函数的圈象的对称性
【例3】如图，直线y ＝ax （a ≠0）与双曲线()0k
y k x
=
≠交于A ，B 两点，试说明A .B 两点关于原点对称.
【解析】联立y ax k y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得ax 2
－k ＝0，∴x A ＋x B ＝0，过A ，B 两点分别作x 轴的垂线，由全等即可得OA ＝OB ，
∴A ，B 两点关于原点对称。

题型三反比例函数的图象与系数的关系 【例4】如图，反比例函数①1k y x =，②2k y x =，③3k y x =，④4k
y x
=的部分图象如图所示，则k 1，k 2，k 3，k 4的大小关系是
【解析】k 1＜k 2＜k 3＜k 4.k 越大，其图象离坐标原点越远。

题型四反比例函数中k 的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P 作x 轴，y 轴的垂线段PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积
··S PM PN y x xy k ==== ，即在反比例函数()0k
y k x
=
≠的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段，则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于k ，且这个面积的值与取点的位置无关.
特别地，S △PMO ＝S △PNO ＝
1
2
k .
【例5】如图，平行于x 轴的直线AB 与双曲线1k y x =和()212k
y k k x
=>在第一象限内交于A ，B 两点，若S △OAB ＝2，求k 1－k 2的值.
【解析】延长AB 交y 轴于点C ，则k 1－k 2＝4.
【例6】如图，直线12y x =- 与双曲线()0k
y k x
=<交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为－4.
（1）求k 的值；
（2）过原点的另一直线交双曲线()0k
y k x
=<于P ，Q 两点，点P 在第二象限。

若A ，B ，P ，Q 四点组成的面积为24，求P 的坐标.
【解析】（1）A （－4，2），k ＝－8；
（2）易知四边形APBQ 是平行四边形，∴S △APO ＝6，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，
设P （a ，8a - ），则18·2?462a a
-+=（（）） ，∴a 1＝8，a 2＝－2，∵点P 在第二象限，∴a ＜0，∴a ＝－2，∴P
（－2，4）.
1.对于反比例函数y ＝
3
x
，下列说法正确的是( ) A .图象经过点(1，－3) B .图象在第二、四象限
C .y 随x 的增大而减小
D .x ＜0时，y 随x 增大而减小 答案：D .
2.在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝kx ＋1和函数y ＝
k
x
(k ≠0)的图象大致是( )
答案：B .
3.反比例函数y ＝21
a a x
-+(a 为常数)的图象上有三个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，其中x 1＜x 2＜0＜x 3，则
y 1，y 2，y 3的大小关系是___________. 答案：y 2＜y 1＜y 3.
4.如图，点A 是反比例函数y ＝
k
x
(x ＜0)的图象上一点，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，点P 是y 轴负半x 轴上一点，△ABP 的面积为1，求k 的值.
答案：
连接AO ，∵AB ∥y 轴，∴S △ABP ＝S △ABO ＝1，∴1
2
|k |＝1，∴k ＝－2. 5.点A (a ，y 1)，B (2a ，y 2)是反比例函数y ＝k
x
(k ＞0)的图象上的两点. (1)比较y 1与y 2的大小关系；
(2)若A ，B 两点在一次函数y ＝－
4
3
x ＋b 位于第一象限的图象上(如图所示)，分别过A ，B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，连接OA ，OB ，且S △OAB ＝8，求a 的值；
(3)在(2)的条件下，如果3m ＝－4x ＋24，3n ＝
32
x
，求使得m ＞n 的x 的取值范围.
答案：
(1)∵A ，B 是反比例函数y ＝
k
x
(k ＞0)图象上的两点，∴a ≠0，当a ＞0时，点A ，B 在第一象限，由a ＜2a 可知，y 1＞y 2，同理，a ＜0时，y 1＜y 2；
A
(2)∵A (a ，y 1)，B (2a ，y 2)在反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象上，∴AC ＝y 1＝k a ，BD ＝y 2＝2k a
， ∴y 1＝2y 2.又∵点A (a ，y 1)，B (2a ，y 2)在一次函数y ＝－43x ＋b 的图象上，∴y 1＝－43a ＋b ，y 2＝－8
3
a ＋
b ，
∴－43a ＋b ＝2(－8
3a ＋b )，∴b ＝4a ，∵S △AOC ＋S 梯形ACDB ＝S △AOB ＋S △BOD ，又∵S △AOC ＝S △BOD ，∴S 梯形ACDB ＝S
△AOB ，12【(－43a ＋b )＋(－83
a ＋
b 】a ＝8，∴a 2
＝4，∵a ＞0，∴a ＝2. (3)由(2)得，一次函数的解析式为y ＝－43x ＋8，反比倒函数的解析式为y ＝32
x
，A ，B 两点的横坐标分别为
2，4，且m ＝－43x ＋8，n ＝32
x
，因此使得m ＞n 的x 的取值范围就是反比例函数的图象在一次函数图象下方
的点中横坐标的取值范围，从图象可以看出2＜x ＜4或x ＜0.
【板块三】反比例函数与方程、不等式
方法技巧
根据直线与双曲线的交点并结合图象解题 ◆题型一反比例函数与方程
【例1】如图，直线y ＝－x ＋5与双曲线y ＝4
x
交于A ，B 两点. (1)求A ，B 两点的坐标；
(2)将直线AB 向左平移n 个单位长度，若平移后直线AB 与双曲线有唯一公共点，求n 的值.
答案：
(1)A (1，4)，B (4，1)；
(2)将直线AB 向左平移n 个单位长度后其解析式为y ＝－(x ＋n )＋5，联立y ＝4x
，y ＝－(x ＋n )＋5，得x 2
＋(n －5)x ＋4＝0，依题意，△＝(n －5)2
－4×1×4＝0，解得n ＝1或9.
【例2】直线y ＝2x ＋4与反比例函数y ＝
6
x
的图象交于A ，B 两点，直线y ＝m (m ＞0)与直线AB 相交于点M ，与反比例函数的图象相交于N ，若MN ＝4，求m 的值
.
答案：
∵点M 在直线AB 上，∴M (42m -，m )，∵点N 在反比例函数y ＝6x 的图象上，所以N (6
m
，m )，MN ＝x N －
x M ＝6m －42m -＝4或MN ＝x M －x N ＝42m -－6m ＝4，∵m ＞0，∴m ＝2或m ＝6＋
题型二反比例函数与不等式
【例3】如图，一次函数y ＝－x ＋4与反比例函数y ＝
m
x
(m ＞0，x ＞0)的图象交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分別相交于C ，D 两点.如果点A 的横坐标为1，利用函数图象求关于x 的不等式4－x ＜m
x
的解集.
答案：
当x ＝1时，y ＝3，∴A (1，3)代入y ＝m
x
，得m ＝3，y ＝3x ，联立y ＝4－x ，y ＝3x ，得B (3，1)，∴原不等式
的解集为0＜x ＜1或x ＞3.
◆题型三反比例函数.与数形结合比较大小 【例4】如图，直线y ＝2x ＋4与反比例函数y ＝k
x
的图象相交于A (－3，a )和B 两点. (1)求A ，B 两点的坐标； (2)直接写出不等式
k
x
≤2x ＋4的解集.
答案：
(1)A (－3，－2)，B (1，6)；(2)－3≤x ＜0或x ≥
1.
【例5】如图，双曲线y ＝k x (x (k ＞0)与直线y ＝－1
2
x ＋4相交于A ，B 两点. (1)当k ＝6时，求点A ，B 的坐标；
(2)在双曲线y ＝k x (k ＞0)的同一支上有三点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，P (122
x x
+，y 0)，请你借助图象，直接写出y 0与
12
2
y y +的大小关系； (3)点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是双曲线y ＝
6x (x ＞0)上任意两点，s ＝12
2
y y +，t ＝1212x x +，试比较s 与t 的大小.
答案：
(1)A (2，3)，B (6，1)；
(2)当x 1＞0时，y 0＜122y y +；当x 1＜0时，y 0＞12
2
y y +. (3)若线段MN 的中点为Q ，则点Q 的坐标为(122x x +，12
2
y y +)，过点Q 作QR ∥y 轴交双曲线于点R ，则点
R 的坐标为(122x x +，1212x x +)，观察图象可知12
2
y y +＞1212x x +，∴s ＞t .
【例6】当1≤x ≤4时，直线y ＝－2x ＋b 与双曲线y ＝4
x
只有一个公共点，则b 的取值范围是_______. 答案：b ＝
6＜b ≤9.
【解析】①当直线y ＝－2x ＋b 过点(1，4)时，－2＋b ＝4，b ＝6；②当直线y ＝－2x ＋b 过点(4，1)时，－8＋b ＝1，b ＝9；③当直线y ＝－2x ＋b 与y ＝
4x 相切时，联立4x
＝－2x ＋b ，得2x 2－bx ＋4＝0，△＝b 2
－4×2×4＝0，∴b 1＝
b 2＝－
舍)，由图象可知，b ＝
6＜b ≤9.
1.如图，在平面直角坐标系中，直线AB ：y 1＝x ＋m 与双曲线C ：y 2＝k
x
相交于A (2，5)，B 两点. (1)求点B 的坐标；
(2)当y 1＞y 2时，x 的取值范围是___________； (3)当x ＜2时，y 2的取值范围是
___________.
答案：
(1)B (－5，－2)；(2)x ＞2或－5＜x ＜0；(3)y 2＜0或y 2＞5. 2.如图，一次函数y 1＝x ＋1的图象与反比例函数y 2＝k
x
(k 为常数，且k ≠0)的图象都经过点A (m ，2). (1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式；
(2)结合图象直接写出当x ＞0时，比较y 1和y 2的大小； (3)直接写出不等式
4
2
x ≤x ＋1的解集.
答案：
(1)将A (m ，2)代入y 1＝x ＋1得m ＝1，∴A (1，2)，将A (1，2)代入y 2＝k x ，得k ＝2，∴y 2＝2x
； (2)当0＜x ＜1时，y 1＜y 2；当x ＝1时，y 1＝y 2；当x ＞1，y 1＞y 2； (3)－2≤x ＜2或x ≥3.
3.如图，一次函数y 1＝x ＋5的图象与反比例函数y 2＝k
x
的图象交于A ，B 两点.当x ＞1时，y 1＞y 2；当0＜x ＜1时，y 1＜y 2.
(1)直接写出反比例函数y 2的解析式； 答案：
∵当x ＞1时，y 1＞y 2；当0＜x ＜1时，y 1＜y 2，∴A 点的横坐标是1，纵坐标为y ＝1＋5＝6，∴A (1，6)
，代入
y 2＝
k x ，可得k ＝xy ＝6，∴y 2＝6x
； (2)过点D (t ，0)(t ＞0)作x 轴的垂线，分别交双曲线y 2＝k
x
和直线y 1＝x ＋5于P ，Q 两点.若PQ ＝3PD 时，求t 的值. 答案：
当PQ ＝3PD 时，直线PQ 在点A 的右侧，
∵直线PQ 分别交双曲线y 2＝k
x
和直线y 1＝x ＋5于P ，Q 两点， ∴P (t ，6t )，Q (t ，t ＋5)，∵PQ ＝3PD ，∴t ＋5－6t ＝3×6
t
，解得t 1＝3，t 2＝－8(舍去)，
∴t 的值为3.
【板块四】反比例函数与神奇的几何性质
方法技巧
根据反比例函数k 的意义结合全等、相似或参数思想、根系关系，可得出反比例函数一些重要几何性质，在解题中可运用这些重要性质，从而大大提高解题效率.
性质一 如图，直线AB ：y ＝mx ＋n 交x 轴于点A ，交y 于点B ，交双曲线y ＝k
x
于C ，D 两点. 求证：AC ＝B D .
答案：
证明：证法一：(利用根系关系得全等)过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，联立y ＝mx ＋n ，
y ＝
k x ，得mx 2
＋nx －k ＝0，则有x C ＋x D ＝－n m .易知A (－n m ，0)，∴x C ＋x D ＝OA ，可得DF ＝AE .∴△ACE ≌△DBF ，∴AC ＝B D .
证法二：(利用k 的意义得相似)过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，CM ⊥y 轴于点M ，过点D 作DF ⊥y 轴于点F ，DN ⊥x 轴于点N .∵x D ⋅y D ＝x C ⋅y C ＝k ，∴DF ·DN ＝CM ·CE ，∴CM DF ＝DN CE ，∴BC BD ＝AD
AC
，等式两边同时减1，得CD BD ＝CD
AC
，∴AC ＝B D .
【例1】如图，直线y ＝x ＋6交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，交双曲线y ＝
k
x
于点C ，D ，若CD ＝2(AC ＋BD )
，图1
k x
则k 的值为__________.
答案： －5.
【解析】过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，由性质可得AC ＝BD ，∵CD ＝2(AC ＋BD )，∴CD ＝4AC ，∴AB ＝6AC ，
∴CE ＝16OB ＝1
6
×6＝1，同理AE ＝1，∴OE ＝5，∴C (－5，1)，∴k ＝－5×1＝－5.
性质二 如图1，A ，B 为双曲线y ＝k
x
上任意两点，AC ⊥y 轴于点C ，BD ⊥x 轴于点D ，直线AC ，BD 交于点E .求证：①AB ∥CD ；②
AC AE ＝BD
BE
.
答案：
证法一：(面积法)连接AD ，BC ，则S △ACD ＝S △BCD ＝1
2
|k |. ∴①AB ∥CD ；②
AC AE ＝BD
BE
. 证法二：(相似法)利用x A ⋅y A ＝x B ⋅y B ＝k ，可得AC ⋅DE ＝BD ⋅CE ，进而得AE CE ＝BE
DE
，∴△ABE ∽△CDE ，∴①AB ∥CD ；②AC AE ＝BD
BE
.
变式1：如图2，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC ，BD 交于点E ，求证：①AB ∥CD ；②
AC AE ＝BD
BE。

x
y
答案：
①设A点坐标为（n，k
n
），B点坐标为（m，
k
m
），∴C（n，0），D（0，
k
m
），∴AB（m－n，
k
m
－
k
n
），CD
（－n，k
m
），∵
k k
m n
m n
-
-
＝－
k
mn
＝
k
m
n-
，∴AB∥CD；
②证△ABE∽△CDE，∴EC
AE
＝
DE
BE
，∵
EC
AE
＋1＝
AC
AE
，
DE
BE
＋1＝
BD
BE
，∴
AC
AE
＝
BD
BE
变式2：如图3，A，B为双曲线y＝k
x
上任意两点，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，直线AC，BD交于点
E。

求证：①AB∥CD；②AC
AE
＝
BD
BE。

答案：证法同上
【例2】如图，双曲线y＝k
x
经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则
k＝。

答案：2
解析：过点E作EH⊥x轴于点H，∵点F为AB中点，则点E为BC边的中点，可得S四边形OEBF＝1
2
S矩形OABC
＝1
2
S矩形OCEH＝k，∴k＝2
【例3】如图，点P为双曲线y＝8
x
(x＞0)上一点，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，P A，PB分别交双曲
线y＝k
x
上(x＞0)于C，D两点，若S△PCD＝1，则k＝。

x
y
x
y
答案：4
解析：设点P(a，8
a
)，则点C(a，
k
a
)，D(
8
ak
,
8
a
)，∴S△PCD＝
1
2
×
8k
a
-
×(a－
8
ak
)＝
2
(8k)
16
-
＝1，∴k1＝4，
k2＝12（舍），∴k＝4
性质三：如图，直线AB与双曲线y＝k
x
只有唯一公共点A，且AB与y轴不平行，AB交x轴于点B，连接OA，
求证：OA＝AB。

答案：
证明：(解析法)过点A作AH⊥x轴于点H，设点A(a，k
a
)，L AB：y＝m(x－a)＋
k
a
，联立
()
k
y
x
k
y m x a
a
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-+
⎪⎩
得
mx2＋(k
a
－am)x－k＝0，依题意△＝(
k
a
－am)2＋4mk＝(
k
a
＋am)2＝0，∴m＝－
2
k
a
，∴y＝－
2
k
a
x＋
2k
a
，∴
B(2a，0)，∴OH＝BH＝a，∴OA＝AB
性质四：如图，直线y＝mx交双曲线y＝k
x
于A，B两点，点P为双曲线上一点，直线P A，PB分别交x轴于
M，N两点，求证：PM＝PN。

x
x
y
答案：
证明：(解析法)设点A (a ，k a )，B (－a ，－k a )，P (b ，k b )，由待定系数法可得l P A ：y ＝－k ab x ＋()a b k
ab
+，l PB ：
y ＝k ab x ＋()a b k ab
-，∴x M ＝b ＋a ，x N ＝b －a ，∴x M ＋x N ＝2x P ，可得PM ＝PN 。

【例4】(2018十堰中考)如图，直线y ＝－x 与反比例函数y ＝k
x
的图象交于A ，B 两点，过点B 作BD ∥x 轴，
交y 轴于点D ，直线AD 交反比例函数y ＝k x 的图象于另一点C ，求CB
CA
的值。

答案：
解析：(解析法)过点A ，C 分别作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，F ，设点A (a ，－a )，则B (－a ，a )，D (0，
a )，由待定系数法得l DA :y ＝－2x ＋a ，联立2y x a
k
y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得2x 2
－ax ＋k ＝0，∴x A ＋x C ＝2a ，∵x A ＝a ，∴x C ＝－12a ＝2B D x x +，∴点C 在BD 的垂直平分线上，∴CB ＝CD ，由面积法可得CD AD ＝CF AE
＝1
2a
a ＝12，∴CB ＝CD
＝13CA ，∴CB CA ＝CD CA ＝1
3
.
针对练习4
x
y x
y
1.如图，点A，B分别是双曲线y＝4
x
和y＝
2
x
第一象限分支上的点，且AB∥y轴，BC⊥y轴于点C，则AB·BC
＝。

答案：2
解析：方法一：利用k的几何意义——面积法求，延长AB交x轴于点E，过点A作y轴的垂线，垂足为F，AB·AC＝S矩形ABCF－S矩形BEOC＝4－2＝2.
方法二：设点A坐标，分别表示出点B，C坐标，运用参数进行计算。

2.如图，直线y
＋b与y轴交于点A，与双曲线y＝
k
x
在第一象限交于B，C两点，且AB·AC＝4，则
k＝。

解析：斜化直，线段转坐标。

设直线AB交x轴于点D则由性质可得AB＝CD，∴AC＝BD，由条件知∠OAD
＝30°，∴AB＝2x B，AC＝BD
B
，∴AB·AC＝2x B
B
x B·y B＝4，∴k＝x B·y B
3.如图，△OAC的顶点A在双曲线y＝9
x
上，点C在x轴上，OA交双曲线y＝
1
x
上于点B，直线AC与双曲
线y＝9
x
是只有唯一公共点，且AC与y轴不平行，则S△ABC＝。

x
x
y
答案：6
解析：设A (a ，
9a )，OA 解析式为y ＝29a x ，可得B (3a ，3a )，易得直线AC 解析式为y ＝－29a
x ＋18
a ，可得AO ＝AC ，∵OBC OAC S S ＝1
212A B OC y OC y ⋅⋅＝39a a
＝13，∴S △ABC ＝23S △AOC ＝2
3×9＝6。

4.如图1，直线y ＝－2x ＋6交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，直线AB 与双曲线y ＝k
x
(k ＜0)交于C ，D 两点，
CE ⊥x 轴于点E ，DF ⊥x 轴于点F 。

(1)若k ＝－8，求CD 的长； (2)求CE 一DF 的值； (3)如图2，P 是双曲线y ＝k x (k ＜0)上第二象限上一动点，PG ⊥x 轴于G ，交双曲线y ＝2k x
(k ＜0)于M ，PH ⊥y 轴于H ，交y ＝
2k
x
(k ＜0)于N ，请直接写出MN 的最小值为 。

(用含k 的式子表示)
答案：
(1)∴C (－1，8)，D (4，－2)，CD ＝
；
(2)联立26y x k
y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
得2x 2
－6x ＋k ＝0，x C ＋x D ＝3，∴y C ＋y D ＝－2x C ＋6－2x D ＋6＝－2×3＋12＝6，CE ＝y C ，x
y
x
x
DF＝－y D，∴CE－DF＝y C＋y D＝6；
(提示：MN＝1
2
GH)。

【板块五】反比例函数与直线x＝a或y＝a
方法技巧
此类问题一般可用a表示相关点的坐标，从而表示出相关线段长，将几何问题坐标化，解题时注意情况不明时需分类讨论。

【例1】如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x＋n与x轴，y轴分别交于点A，B，与双曲线y＝4
x
在第
一象限内交于点C(1，m)，过x轴正半轴上的点D(a，0)作平行于y轴的直线l，分别与直线和双曲线y＝4
x
交
于点P，Q，且点P不与点Q重合。

(1)求m和n的值；
(2)当a＞1，PQ＝2QD时，求△APQ的面积；
(3)连接CQ，当CP＝CQ时，求a的值。

答案：
(1)m＝4，n＝2；
(2)在y＝2x＋2中，今y＝0，则x＝－1，∴A(－1，0)，∵D(a，0)，l∥y轴，∴P(a，2a＋2)，Q(a，4
a )。

∵PQ＝2QD，∴2a＋2－4
a
＝2×
4
a
，解得：a＝2，a＝－3。

∵P，Q在第一象限，∴a＝2，∴PQ＝4，又∵AD
＝3，S△APQ＝1
2
×4×3＝6；
(3)过点C作CM⊥PQ于点M，∵CP＝CQ，∴PM＝MQ，设P(a，2a＋2)，Q(a，4
a
)，M(a，4)，则2a＋2
＋4
a
＝8，解得a＝2或a－1(舍)，∴a＝2。

针对练习5
1.如图，直线l：y＝3
2
x＋3与双曲线y＝
k
x
左在第一象限内交于点A(a，6)。

(1)求双曲线的解析式；
(2)直线x＝t(t＞0且t≠2)分别交直线l，双曲线y＝k
x
于C，D两点，连接AD，若AC＝AD，请直接写出t
x
y
的值。

答案：
(1)∵点A (a ，6)在直线y ＝
32x ＋3上，∴32a ＋3＝6，∴a ＝2，∴A (2，6)，又A 在双曲线y ＝k x 上，∴2
k
＝6，∴k ＝12，即双曲线的解析式为y ＝12
x 。

(2)t ＝4。

理由如下，设C (t ，32t ＋3)，D (t ，12t )，则AC 2＝(t －2)2＋(32t ＋3－6)2＝134
(t －2)2，AD 2＝(t －2)
2
＋(12t －6)2＝(1＋236t )(t －2)2，由AC ＝AD ，有AC 2＝AD 2，∴134 (t －2)2＝(1＋236t )(t －2)2
，∵t ≠2，∴
134＝1＋236
t
，∴t ＝4或t ＝－4(舍)，∴t ＝4
【板块六】反比例函数与全等及勾股定理
利用全等、相似将线段关系转化为坐标关系，实现“几何问题坐标化”。

题型一 反比例函数与全等
例1：如图，点A 是双曲线y ＝8
x
在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，随着点A 的运动，点C 的位置也不断地变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的
解析式为 。

答案：y ＝－
8
x
(x ＜0) 解析：连接OC ，过点A ，C 分别作x 轴的垂线构造三垂直全等。

x
例2：(2018原创题)如图，点A(2，4)，B均为双曲线y＝k
x
在第一象限上的点，且∠AOB＝45°，求点B的
坐标。

答案：过点A作AD⊥OA交OB延长线于点D，作AE⊥y轴于点E，DF⊥AE于点F，则
△ADF≌△QAE，∴AF＝OE＝4，DF＝AE＝2，∴D(6，2)，∴l OD：y＝1
3
x，∵A(2，4)，∴y＝
8
x
，联立
8
1
3
y
x
y x
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
得B
)。

题型二反比例函数与勾股定理
例3：如图，矩形ABCO的顶点B(10，8)，点A，C在坐标轴上，E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，
点B刚好与OC边上的点D重合，过点E的反比例函数y＝k
x
(k＞0)的图象与
边AB交于点F，求点F的坐标。

答案：由题意知，AD＝AB＝10，AO＝8，由勾股定理可求OD＝6，则CD＝4，设CE＝x，则DE＝BE＝8－x，在Rt△DCE中，CD2＋CE2＝DE2，即x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴E(10，3)，设F(a，8)，则10×3＝8a，
∴a＝15
4
，∴F(
15
4
，8)。

针对练习6
1.如图，A(2，3)是双曲线y＝k
x
(x＞0)上的一点，P为x轴正半轴上一点，将点A绕点P顺时针旋转90°，
恰好落在双曲线上的另一点B，求点P的坐标。

x
y
答案：设P(t，0)，过点A作AM⊥x轴于点M，过B作BN⊥x轴于点N，则△APM≌△PBN，∴PN＝AM＝3，
BN＝PM＝t－2，∴B(t＋3，t－2)，又∵点A，B在y＝k
x
上，∴(t＋3)(t－2)＝6，∴t1＝－4，t2＝3，∵t＞0，
t＝3，∴P(3，0)
2.如图，已知点A(2，2)，P(0，a)是y轴上一点，连接P A，将线段P A绕点P逆时针旋转90°得线段P A’，
若线段P A’与反比例函数y＝－3
x
(x＜0)的图象有公共点，求a的取值范围。

答案：当点A’恰好落在反比例函数y＝－3
x
(x＜0)的图象上时，过点A’作A’D⊥y轴于点D，过点A作
AB⊥y轴于点B，则△A’PD≌△P AB，∴A’ D＝PB＝2－a，PD＝AB＝2，OD＝2＋a，∴A’(a－2，a＋2)，∴(a－2)(a＋2)＝－3，∴a＝士1，∴点A'的横坐标为一1或一3，均符合题意，∵线段P A’与反比倒函数y
＝－3
x
(x＜0)的图象有公共点，∴－1≤a≤1。

3.如图，直线y＝3x－ 3交坐标轴于A，B两点，将△AOB沿AB翻折得到△ACB，点D在AC的延长线上. 且
CD＝ 4AC，反比例函数y＝k
x
的图象经过点D，求k的值.
x
x
解：过点B作BE//AC，交工轴于点E，则∠EBA＝∠BAC＝∠EAB，∴EA＝EB，易求OA＝1，OB＝3，设EA＝EB＝x，则x2＝(x－1)2＋32，解得x＝5，由题意，AC＝AO＝ 1，∵CD＝4AC，∴AD＝ 5AC＝5，∴AD＝EB，∴将线段EB向右平移5个单位得线段AD，∴D(5，－ 3)，∴k＝5X(－3)＝－15.
【板块七】反比例函数与图形变换
图形变换的本质是点的变换，解题的关键是根据变换规律，将变换后的关键点的坐标表示出来，再根据条件建立关系式.
【例1】平面直角坐标系中，点A( －2，0) ，B(0，3)，点P为第二象限内一点，
(1)如图，将线段AB绕点P旋转180*得线段CD，点A与点C对应，试画出图形；
(2)若(1)中得到的点C，D恰好在同－－个反比例函数y＝R的图象上，求直线BC的解析式；
(3)若点Q(m，m)为第四象限的一点，将线段AB绕点Q顺时针旋转90°得到线段EF，其中点A与点E 对应，若点E，F恰好在同一个反比例函数的图象上，直接写出m，n之间的关系式为。

【解析】 (1)略；
(2)设P(m，n)，则C(2 ＋ 2m， 2n)，D(2m，2n－3)，∵点C，D恰好在同一个反比例函数y＝k
x
的图象上，
∴2n(2＋ 2m) ＝ 2m(2n－3)，得2n＝－ 3m，设直线BC的解析式为y＝tx＋3，将C(2 ＋2m，－3m)代入
y＝tx＋3中，得(2＋2m)t＋3＝－3m，解得t＝－3
2
，∴y＝－
3
2
x＋3.
(3)由三垂直得，E(m－n，m＋n＋2)，F(m＋3－n，n＋m)，∴(m－n)(m＋n＋2)＝(m＋3－n)(n＋m)，整理得m＝－5n.
【例2】已知点A(a，m)在双曲线y＝8
x
上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为点B.
(1)如图1，当a＝－2时，P(t，0)是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C.
①若t＝1，直接写出点C的坐标；
②若双曲线y＝8
x
经过点C，求t的值；
(2)如图2，将图1中的双曲线y＝8
x
(x＞0)沿y轴折叠得到B双曲线y＝－
8
x
(x＜0) ，将线段OA绕点
O旋转，点A刚好落在双曲线y＝－8
x
(x＜0)上的点D(d，n)处，求m和n的数量关系.
备用图
【解析】(1)将x A ＝－2代入y ＝
8x 中得：y A ＝82
-＝－4，A (－2，－4)，B (－ 2，0)， ①∵t ＝1，∴P (1，0)，BP ＝1－(－2)＝3，∵将点B 绕点P 顺时针旋转90°至点C ，∴x C ＝x P ＝1，PC ＝BP ＝3，∴C (1，3)；
②∵B (－2.0)，P (t ，0)，当t ＞－2时，由题意知C 的坐标为(t ，t ＋2)，C 在y ＝
8
x
上，∴t (t ＋2)＝8，解得t ＝2或t ＝－4，又t ＞－2，∴t ＝2；当t ＜－2时，c (t ，1＋2)，t (t ＋2)＝8，t ＝－4或t ＝2(舍)，∴t ＝2或－4；
(2)过点D 作DH ⊥y 轴于点H ，∴OA ＝OD ，a 2
＋m 2
＝d 2
＋n 2
，am ＝8，dn ＝ －8，(a ＋m )2
＝(d －n )2
，(a － m )2
＝(d ＋n )2
，又a ＜0，m ＜0，d ＜0，n ＞0，∴a ＋m ＝d －n ，a －m ＝ d ＋n 或a －m ＝－d －n ，a d m n a d m n
-=--⎧⎨-=+⎩或a d m n a d m n
-=--⎧⎨+=-⎩，m ＋n ＝0或a n
d m =-⎧⎨=⎩，又am ＝8，∴－mn ＝8，mn ＝－8，故m ＋n ＝0或mn ＝－8.
1.在平面直角坐标系中，点A (a ，0)为x 轴上一动点，点M 的坐标为(1，－1)，点N 的坐标为(3，－4)，连接AM ，MN ，点N 关于直线AM 的对称点为点N '.
(1)若a ＝2，在图1中画出线段MN 关于直线AM 的对称图形MN '(保留作图痕迹)，直接写出点N '的坐标为 ；
(2)若a ＞0，连接AN ，AN ' ，当点A 运动到∠N 'AN ＝90°时，点N '恰好在双曲线y ＝k
x
上(如图2)，求k 的值；
图1
图2
(3)点A在x轴上运动，若∠N' MN＝90°，此时a的值为。

解：(1)N'(－ 2，1)。

提示：取点B(3，1)。

则BN⊥x轴，M、A、B三点在同一条直线上，
(2)由AN，AN'垂直且相等。

可构建三垂直全等得N'(a－4，a－ 3)，∴k＝(a－4)(a－3)＝a2－7a＋ 12，∴MN＝MN'，由勾股定理得(a－5)2＋(a－ 2)2＝ 13，∴a2－ 7a＋8＝0，∴12－k＝8，∴k＝4；
(3)－4或6
5
.由∠NMN＝90°，构建三垂直全等得N(4，1)或N’(－ 2，－3)。

∵直线AM过N N’的中点
C，且点C的坐标为（7
2
，－
3
2
）或（
1
2
，
7
2
），∴直线AM的解析式为y＝－
1
5
x－
4
5
或y＝5x－ 6，令y
＝0，分别求得A(－4，0)或A(6
5
，0)。

【板块八】反比例函数与定值、最值
通过采取解析法求定值，建立二次函数模型求最值. 题型一反比例函数与定值
【例1】如图，点C(6，1)，D(1 ，6)在双曲线y＝6
x
的图象上，点T在双曲线第－象限上(不同于C，D)，
直线TC，TD分别交y轴于E，F，则OF－OE的值是 .
图1
备用图
【解析】 OF －OE ＝5. 理由如下：设点T (m ，6m )，由D (1，6)得直线TD 的解析式：y ＝－6m x ＋6
m
＋6，∴OF ＝6m ＋6.由C (6，1)得直线TC 的解析式：y ＝－1m x ＋6m ＋1，∴OE ＝6
m
＋1，∴OF －OE ＝5.
题型二 反比例函数与最值 【例2】如图，双曲线 y ＝2
x
的第一象限的分支上一动点P ，点A (－2，－2)，B (2，2)，则P A － PB 的值为 。

【解析】方法1：设点P (m ，2m )，则P A
m ＋2m ＋2，同理PB ＝ m ＋2m －2， ∴P A －PB ＝4. 方法2：特殊位置法.
【例3】如图 ，在平面直角坐标系中，直线AB ：y 1＝x ＋m 与双曲线C ：y 2＝ k
x
相交于A ，B 两点，其中点A (2，5)，AC ⊥y 轴于点C . (1)求直线与双曲线的解析式；
(2)直接写出x ＜2时，反比例函数值y 2的取值范围；
(3)点E 为点B 下方直线AB 上一动点，直线EF ⊥AB ，分别与直线AB ，双曲线C 及y 轴交于E ，F ，G 三点，求EF · FG 的最大值.
【解析】 (1)y1＝x＋3，y2＝10
x
；
(2)y2＜0或y2＞5；
(3)作EI⊥y轴于点I，FJ⊥y轴于点J，FH⊥EI于点H，
设E(t，1＋3)，易得B(－5，－2)。

由t＜－ 5，F(m，10
m
)，EH＝HF，
则t＋3－10
m
＝m－t，得t＝
5
m
＋
2
m
－
3
2
，
E（5
m
＋
2
m
－
3
2
，
5
m
＋
2
m
＋
3
2
），EFFG
＝2(x F－x E)(－x F)＝2(－x F2＋x E·x F)
＝－2m2＋2m(5
m
＋
2
m
－
3
2
)＝－m2＋3m＋10＝－(m＋
3
2
)2＋
49
4
，
当m＝－3
2
时，（EF·FG）最大＝
49
4
，此时，t＝－
67
12
＜－5，（EF·FG）最大＝
49
4。

1.如图，若直线y＝－x＋m与反比例函数y＝4
x
(x＞0)的图象相交于两个不同点E，F(点E在点F的左边)，
与y轴相交于点M。

(1)m的取值范围为；
(2)求ME·MF的值。

解：(1)设y－－x＋m代入y＝－中，－x＋m＝4
x
，整理，得x2－mx＋4＝0，∴
2
160
m
m
>
⎧
⎨
=->
⎩
，解得m＞4；
(2)过点E，F分别作y轴的垂线，垂足分别为G，H。

由y＝－x＋m，可知∠MEG＝∠MFH＝45°，
∴ME
，MF。

由y＝－x＋m＝
4
x
，得x2－mx＋4＝0，∴x E·x F＝4，∴ME·MF
E
·x F
＝2 x E·x F＝8.
2.如图，已知反比例函数y＝k
x
和一次函数y＝
3
2
x＋6的图象有一个交点为P(－2，m).
(1)求反比例函数解析式；
(2)若过点P的直线l与反比例函数y＝k
x
的图象只有一个交点，求直线l的解析式；
解：(1)将P(－ 2，m)代入y＝3
2
x＋6，得m＝3，∴P(－2，3)，代入y＝k
x
得k＝－2×3＝－6，∴y＝－
6
x。

(2)①当l//x轴时，直线l为y＝3；②当l//y轴时，直线l为x＝－2；
③当直线l与坐标轴不平行时，∵过P(－2，3)，∴可设解析式为y＝ax＋2a＋3，由
23
6
y ax a
y
x
=++
⎧
⎪
⎨
=-
⎪⎩
得，
ax2＋(2a＋3)x＋6＝0，依题意得，Δ＝(2a＋3)2－24a＝(2a－3)2＝0，∴a＝3
2
，
综上，直线l为的解析式为y＝3或x＝－ 2或y＝3
2
x＋6.。