三角形面积公式——之水平宽铅垂高(叶茂恒) (2)

三角形的面积公式计算较多，而在平面直角坐标系中的三边都不与坐标轴平行的三角形面积一般会采用割补形来求解，但有时采用水平宽铅垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现
如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 轴的垂线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F ，线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 点
的垂线与边AC 交于点D ，线段BD BD ，
此即为三角形水平宽铅垂高面积公式，其中水平宽通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B ）之间的距离. 公式推导
如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，CH
1122AG BD CH BD +＝()12AG CH BD +＝1
2EF BD . 公式应用1——上下垂线
例1（适合八年级） 如图，已知边长为a 的正方形
E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，
F 为中点，则△BFD 的面积是（ ）.
A .
281a B . 2161a C . 2
32
1a D .
说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得. 解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0）点D 坐标为（a ，a ），
∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（
1
2
a ，a ），
∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，1
2a ），
∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，1
4
a ）.
过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横坐标为3
8
a ，又直线BD 的解析
式为y x =，∴点G 的纵坐标为3
8a ，
∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝1
8
a ，
∴S △BDF ＝21111
22816BC FG a a a ==.
公式应用
2——左右垂线
例2（适合八年级） 如图，直线1y x =+与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，以线段AB 为直角
边在第一象限内作等腰直角△ABC ，且
∠BAC =90°.如果在第二象限内有一点P 1,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等，求a
值.
说明：本题常见解法有三，一是连结OP ，△的面积＝△AOB 面积+△BOP 面积－△AOP 积，然后用a 的代数式表示，与Rt △ABC 相等列方程求解；
二是将点C 沿
AB 翻折到C ’位置，则△ABC △ABC ’面积相等，若△ABP 的面积与Rt △ABC 相等，则可得PC ’//AB ，因此，可以由点A ，C 求C ’坐标，再根据AB 的斜率与点C ’的解析式，将点P 纵坐标代入，即可求a 的值三是考虑水平宽铅垂高公式来计算，但如果从A ，B ，P 三点向x 轴作垂线，较为复杂，从A ，B ，
方向作垂线），仿公式求解.现解析如下.
解析：过A ，B ，P 三点作y 轴的垂线，则OB 可以看成公式中的水平宽，而PE 可以看成公式中的铅垂高，（不习惯的同学可以将屏幕或头转个90度）由AB 的解析式可以得OA
OB ＝1，而P 的纵坐标为1
2
，所以E 为AB 的中点， 所以PE ＝-a
从而有11221222a ⎛⨯⨯=⨯⨯-+ ⎝⎭
，
解得42
a =
-. 公式应用3——内外垂线
从例2可以看到，三条垂线不一定作向x 轴，也可以作向y 轴，仿公式用即可.一般地，水平宽取的是最外的两条直线的距离，但这个做法不是绝对的，有
1
2
EF CG . 简单推导：
S △ABC ＝S △ACG －S △BCG ＝
11
22
CG EH CG FH -＝1
2
EF CG . 说明：当取相邻两条垂线距离为水平宽时，第三条垂线将与第三边（AB ）的延长线相交，此时顶点（C ）到交点（G ）的距离为铅垂高（CG ）. 例3（适合九年级） 如图所示，直线l ：y =3x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 翻折，点A 落到点C ，抛物线过点B ，C 和D （3，0（1）求直线BD 和抛物线的解析式．
（2）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 标轴上，以点N ，B ，D 为顶点的三角形与△MCD 似，求所有满足条件的点N 的坐标．
（3）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
（4）点Q
若存在，请直接写出点Q 解析：本题只解（3），由已知条件可以得抛物线解析式为243y x x =-+，BD 解析式为
3y x =-+，由于问题中并未交待P 点在BD 的
上方或下方，故要分类讨论：
当P 在BD 下方时，如右上图，水平宽为OD
＝3，铅垂高为PE ＝224333x x x x x -++-=-； 当P 在BD 上方时，P 可能在左，也可以在右，但两者本质相同，如右下图，此时依然取OD ＝3
为水平宽，则铅垂高
PE ＝
2
2
3433x x x x x -+-+-=-+.
两种情况合起来就是21
3362
x x ⨯⨯-=，即
234x x -=±.
当234x x -=-时，方程无实数根，即P 在BD 下方时，不可能面积为6；
当234x x -=时，解得121,4x x =-=， 即当P （－1，8）或P （4，3）时，S △PBD =6.
解后：从以上几例可以看到，形面积问题，尤其是在例3，可以将P 对值）问题求解，可以有效回避原本点P 在BD 作法，使得问题解决简洁而快捷.
老叶2015年1月26日记于温十七中。