【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中考试数学(文)试题

大庆实验中学2016-2017学年度下学期期中考试
高三数学（文）试题
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合{}12A x x =-<，[]{}
2,0,3x
B y y x ==∈，则A B ⋂=( )
A. []0,2
B. ()1,3
C. [)1,3
D.()1,4 2.已知向量()2,1a =， ()1,3b =，则向量2a b -与a 的夹角为（ ）
A. 135°
B. 60°
C. 45°
D. 30°
3.设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝2,2a ＋b ＝8，则1x ＋1
y 的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．log 23
4.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则1358102()3()36a a a a a ++++=，则11S =（ ）
A. 66
B. 55
C. 44
D. 33
5. 对于任意实数x ，不等式2(2)2(2)40a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.(,2)-∞
B. (-∞,2］
C. (2,2)-
D. (]2,2- 6.已知函数()()sin 2(0)2
f x x π
ϕϕ=+<<
的图象的一条对称轴为直线12
x π
=
，则要得到函数
()3sin2g x x =的图象，只需把函数()f x 的图象（ ）
A. 向右平移
3π
个单位长度，纵坐标伸长为原来的3倍 B. 向右平移6π
个单位长度，纵坐标伸长为原来的
3倍 C. 向左平移3π
个单位长度，纵坐标伸长为原来的
3倍 D. 向左平移6
π
个单位长度，纵坐标伸长为原来的
3倍
7.设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )
A. 5
B.10 C ．2 5 D ．10 8.某几何体的三视图如图所示，则几何体的表面积为（ ）
A. 83
B. 43
C. 482+
D. 842+
9.下列命题错误的是（ ）
A ．对于命题1,:2++∈∃x x R x p 使得＜0，则∀⌝:P ,R x ∈均有.012≥++x x
B ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若,1≠x ， 则.0232≠+-x x ”
C ．若q p Λ为假命题，则q p ,均为假命题
D ．“x ＞2”是“232+-x x ＞0”的充分不必要条件.
10.已知实数
满足条件22
220
x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪>⎩
,,则y
x 的最小值为( )
A. B. C. D.
11.已知函数()sin 2f x x x =-，且()0.3231ln ,log ,223a f b f c f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝
⎭
⎝
⎭
，则以下结论正确的是
（ ）
A. c a b >>
B. a c b >>
C. a b c >>
D. b a c >>
12.已知e 为自然对数的底数，若对任意的[]1,01∈x ，总存在唯一的[]1,12-∈x ，使得
022
21=-+a e x x x 成立，则实数a 的取值范围是 ( )
A.[]e ,1
B.(]e ,1
C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛
+e e ,11 D.⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+e e ,11
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上. 13.设()f x '为函数()f x 的导数且2()2(1)f x x x f '=-+,则(1)f -=________. 14.已知),,43(,ππβα∈3sin()5αβ+=-，2524)4sin(=-πβ，则cos()4
π
α+=________.
15.四面体的四个顶点都在球的表面上，
，
，
，
平面
，则球的表面积为________.
16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22a =，1
2(1)1n n n a a -++-=，则60S = _______.
三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题10分)已知函数()sin (sin 3cos )f x x x x =- （1）求函数()f x 的解析式及其最小正周期； （2）当x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域和增区间．
18. （本小题满分12分）在如图所示的五面体中，面ABCD 为直角梯形，2
BAD ADC π∠=∠=
，平面
ADE ⊥平面ABCD ，244EF CD AB ===，△ADE 是边长为2的正三角形． （1）证明： BE ⊥平面ACF ；
（2）求点B 到平面ACF 的距离．
19. (本小题12分)已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若3,24A b c π==
.
（1）求cos cos B C 的值；
（2）若ABC ∆的面积4S =，求,,a b c .
20. 已知在多面体SP ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，AB=PC=1，AD=AS=2，且AS ∥CP 且AS ⊥面ABCD ，E 为BC 的中点． （1）求证：AE ∥面SPD ； （2）求三棱锥S-BPD 的体积。

21.(本小题12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知122,8a a ==，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2log n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）求满足2311150
11991n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--->
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭的最大正整数n 的值.
22. （本小题满分12分）已知函数)1(222)(2
≥---=x x ax e x f x （1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间；
（2）若0)(≥x f 在[)+∞∈,1x 上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】
一.CCBDD BBDCA DC 二．3 54-
3
16π
510
17.（1）()231cos2x 31sin sin2sin2sin 222262f x x x x x π-⎛⎫=-
=-=-++ ⎪⎝
⎭, T π
=；
（2）x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52666x πππ≤+≤ ， 1sin 2126x π⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭
()102f x ∴-
≤≤ ∴函数f （x ）的值域为102-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 52666x πππ≤+≤，所以52266x πππ≤+≤，解得x 63ππ≤≤
所以函数()f x 的增区间为63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
18. （1）取AD 的中点N ，连接,NB NE ，依题意易知NE AD ⊥，
平面ADE ⊥平面ABCD NE ⇒⊥平面ABCD NE AC ⇒⊥.
又4
ANB NAC π∠=∠= AC BN ⇒⊥，所以AC ⊥平面BNE ，所以AC BE ⊥.
在Rt AEF ∆和Rt ABE ∆中， 1tan tan 2
AEB AFE ∠=∠= BE AF
⇒⊥
.
因为AF AC A ⋂=，
,AF AC ⊂
平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF .
（2）
5
5
19.（1）由余弦定理，得22222
2cos 2a b c bc A b c bc =+-=++， 又2b c =
，∴2
2222
225a
c c c c =++=，∴ 5a c =，
∴22222223
cos ,cos 22510
a c
b a b
c B C ac ab +-+-====
，∴ 32cos cos 5
B C =
. （2）由13sin 2,2,2
4
bc A b c A π===
，得22c =， ∴24,5210b c a c ====.
20. .证明：
（1）取SD 的中点F ，连接PF ，过F 作FQ ⊥面ABCD ，交AD 于Q ，连接QC ， ∵AS ⊥面ABCD ，∴AS ∥FQ ，QF 为SD 的中点，∴Q 为AD 的中点，
FQ=
AS ，PC=
AS ，∴FQ=PC ，且FQ ∥PC ，∴CPFQ 为平行四边形，∴PF ∥CQ ，
又∵AQ ∥∥EC ，AQ=EC ，∴四边形AECQ 为平行四边形，∴AE ∥CQ ， 又PF ∥CQ ，∴AE ∥PF ，∴PF ⊂面SPD ，AE ⊄面SPD ，∴AE ∥面SPD ．
（2）设AC,BD 交于点O ，4
5
3=
-∆POS S ＶPBD S -＝V 122===---SO P B O BS P BSD P V V V
21.（1）∵当2n ≥时， 1145n n n S S S +-+=， ∴()114n n n n S S S S +--=-. ∴14n n a a +=.
∵12a =， 28a =， ∴214a a =.
∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列. ∴121242n n n a --=⋅=.
（2）由（1）得： 2122log log 221n n a n -==-， ∴21222log log log n n T a a a =++
+ ()1321n =++
+-
()1212
n n +-=
2n = .
22222222222231111112131411
11111123234n n T T T n n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫--⋅⋅-=--⋅⋅-=⋅⋅⋅
⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ ()()2222
132********n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅-+=
⋅⋅⋅
⋅ 12n n
+=
. 令12n n + 50
99>，解得： 99n <.
故满足条件的最大正整数n 的值为98.
22. （1）当a=1时，设g （x ）=f ′（x ）=2（e x ﹣x ﹣1），g ′（x ）=2（e x ﹣1）≥0，（x ≥1） ∴f ′（x ）在[1，+∞）上递增，即x ≥1时f ′（x ）≥f ′（0）=0， ∴f （x ）的增区间为[1，+∞），无减区间.
（2）0)(≥x f x
x e a x 2
222--≤
设x x e x g x 222)(--=， 2
2,
222)(x
e x xe x g x x +--= 设222)(2+--=x x e x xe x h ，,0)(, x h )(x h 增。

0)1( h ,0)( x h ∴
0)(, x g ∴,g(x)增，32)1(-=e g ，2
3
2-≤
∴e a
【答案】
一.CCBDD BBDCA DC 二．3 54
-
3
16π 510 17.（1）()231cos2x 31sin sin2sin2sin 222262f x x x x x π-⎛
⎫=-
=-=-++ ⎪⎝
⎭,
T π
=；
（2）x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52666x πππ≤+≤ ， 1sin 2126x π⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝
⎭ ()102f x ∴-
≤≤ ∴函数f （x ）的值域为102-⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 52666x πππ≤+≤，所以52266x πππ≤+≤，解得x 63ππ≤≤
所以函数()f x 的增区间为63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，
18. （1）取AD 的中点N ，连接,NB NE ，依题意易知NE AD ⊥，
平面ADE ⊥平面ABCD NE ⇒⊥平面ABCD NE AC ⇒⊥.
又4
ANB NAC π∠=∠= AC BN ⇒⊥，所以AC ⊥平面BNE ，所以AC BE ⊥.
在Rt AEF ∆和Rt ABE ∆中， 1tan tan 2
AEB AFE ∠=∠= BE AF
⇒⊥
.
因为AF AC A ⋂=，
,AF AC ⊂
平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF .
（2）
5
5
19.（1）由余弦定理，得22222
2cos 2a b c bc A b c bc =+-=++， 又2b c =
，∴2
2222
225a
c c c c =++=，∴ 5a c =，
∴222222
23cos ,cos 22510
a c
b a b
c B C ac ab +-+-====，∴ 32cos cos 5
B C =.
（2）由13sin 2,2,2
4
bc A b c A π==
=
，得22c =，
∴24,5210b c a c ====.
20. .证明：
（1）取SD 的中点F ，连接PF ，过F 作FQ ⊥面ABCD ，交AD 于Q ，连接QC ， ∵AS ⊥面ABCD ，∴AS ∥FQ ，QF 为SD 的中点，∴Q 为AD 的中点，
FQ=AS ，
PC=AS ，∴FQ=PC ，且FQ ∥PC ，∴CPFQ 为平行四边形，∴PF ∥CQ ，
又∵AQ ∥∥EC ，AQ=EC ，∴四边形AECQ 为平行四边形，∴AE ∥CQ ， 又PF ∥CQ ，∴AE ∥PF ，∴PF ⊂面SPD ，AE ⊄面SPD ，∴AE ∥面SPD ．
（2）设AC,BD 交于点O ，4
5
3=
-∆POS S ＶPBD S -＝V 122===---SO P B O BS P BSD P V V V
21.（1）∵当2n ≥时， 1145n n n S S S +-+=， ∴()114n n n n S S S S +--=-. ∴14n n a a +=.
∵12a =， 28a =， ∴214a a =.
∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列. ∴121242n n n a --=⋅=.
（2）由（1）得： 2122log log 221n n a n -==-， ∴21222log log log n n T a a a =++
+ ()1321n =++
+-
()1212
n n +-=
2n = .
22222222222231111112131411
11111123234n n T T T n n
⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎛⎫⎛⎫⎛
⎫--⋅⋅-=--⋅⋅-=⋅⋅⋅
⋅
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ ()()2
2
2
2
132********n n n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅-+=
⋅⋅⋅
⋅ 12n n
+=
. 令12n n + 5099
>，解得：
99n <.
故满足条件的最大正整数n 的值为98.
22. （1）当a=1时，设g （x ）=f ′（x ）=2（e x ﹣x ﹣1），g ′（x ）=2（e x ﹣1）≥0，（x ≥1） ∴f ′（x ）在[1，+∞）上递增，即x ≥1时f ′（x ）≥f ′（0）=0， ∴f （x ）的增区间为[1，+∞），无减区间.
（2）0)(≥x f x
x e a x 2
222--≤
设x x e x g x 222)(--=， 2
2,
222)(x
e x xe x g x x +--= 设222)(2+--=x x e x xe x h ，,0)(, x h )(x h 增。

0)1( h ,0)( x h ∴
0)(, x g ∴,g(x)增，32)1(-=e g ，2
3
2-≤
∴e a。