2020-2021学年湖南省长沙市大附中学博才实验中学数学八年级第二学期期末监测模拟试题含解析

2020-2021学年湖南省长沙市大附中学博才实验中学数学八年级第二学期期末监测模
拟试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知点A 的坐标是(1,2)，则点A 关于y 轴的对称点的坐标是（ ）
A ．(1,2)-
B ．(1,2)-
C ．(1,2)--
D ．(2,1)
2．如图，过正五边形ABCDE 的顶点B 作直线l AC ，则1∠的度数为（ ）
A ．36
B ．45
C ．55
D ．60
3．下列各组数不能作为直角三角形三边长的是（ ）
A ．3，4，5
B ．3，4，5
C ．0.3，0.4，0.5
D ．30，40，50
4．五一假期小明一家自驾去距家360km 的某地游玩，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若小汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，行驶的路程y （单位：km ）与时间x （单位：h ）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A ．小汽车在乡村公路上的行驶速度为60km /h
B ．小汽车在高速公路上的行驶速度为120km /h
C ．乡村公路总长为90km
D．小明家在出发后5.5h到达目的地
5．如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15度得到ΔAEF，若AC＝3，则阴影部分的面积为( )
A．1 B．1
2
C．
3
D．3
6．某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示：
节水量（单位：t）0.5 1 1.5 2
同学数（人） 2 3 4 1
请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（）
A．400t B．500t C．700t D．600t
7．如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD＝120°.已知ΔABC的周长是15,则菱形ABCD的周长是()
A．25 B．20 C．15 D．10
8．如图，将菱形竖直位置的对角线向右平移a cm，水平位置的对角线向上平移b cm，平移后菱形被分成四块，最大一块与最小一块的面积和记为1S，其余两块的面积和为2S，则1S与2S的差是（）
A．ab cm2B．2ab cm2C．3ab cm2D．4ab cm2
9．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）
A．对角线互相垂直B．对边平行
C ．对边相等
D ．对角线互相平分
10．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题．从下列四个条件：①AB ＝BC ；②∠ABC ＝90°；③AC ＝BD ；④AC ⊥BD 中选出两个作为补充条件，使平行四边形ABCD 成为正方形(如图所示)．现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A ．①②
B ．②④
C ．①③
D ．②③
11．小军自制的匀速直线运动遥控车模型甲、乙两车同时分别从A 、B 出发，沿直线轨道同时到达C 处，已知乙的速度是甲的速度的1.5倍，甲、乙两遥控车与A 处的距离1d 、2d （米）与时间t （分钟）的函数关系如图所示，则下列
结论中：①AC 的距离为120米；②乙的速度为60米/分；③a 的值为65；④若甲、乙两遥控车的距离不少于10米时，两车信号不会产生互相干扰，则两车信号不会产生互相干扰的t 的取值范围是502t ≤≤，其中正确的有（ ）个
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．在五张完全相同的卡片上分别画上：等边三角形、平行四边形、等腰梯形、圆和正方形，在看不见图形的情况下随机抽出1张卡片，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（ ）
A ．15
B ．25
C ．35
D ．45
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且18AC BD +=，6AB =，那么OCD ∆的周长是________．
14．因式分解：x 2﹣x=______．
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1，l 2分别是函数y ＝k 1x+b 1和y ＝k 2x+b 2的图象，则可以估计关于x 的不等式k 1x+b 1＞k 2x+b 2的解集为_____．
16．因式分解：x2﹣9y2=．
17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为_______cm．
18．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）对于实数a，b，定义运算“*”，a*b＝
2
2
()
()
a a
b a b
ab b a b
⎧->
⎨
-≤
⎩
例如4*1．因为4＞1，所以4*1＝41－4×1＝8，若
x1、x1是一元二次方程x1－9x＋10＝0的两个根，则x1*x1＝__．
20．（8分）如图，正方形ABCD 的边长为8，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF⊥AE 于F．
（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；
（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．
21．（8分）如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AB=8cm，E、F分别为边AC、AB的中点．
（1）求∠A的度数；
（2）求EF和AE的长．
22．（10分）有下列命题
①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
（1）上述四个命题中，是真命题的是（填写序号）；
（2）请选择一个真命题进行证明．（写出已知、求证，并完成证明）
已知：．
求证：．
证明：
23．（10分）如图，直线经过矩形ABCD的对角线BD的中点O，分别与矩形的两边相交于点E、F.
(1)求证：OE OF =；
(2)若EF BD ⊥，则四边形BEDF 是______形，并说明理由；
(3)在(2)的条件下，若8AD =，10BD =，求BDE ∆的面积.
24．（10分）我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道有关于自然数的题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二．问物几何？”就是说：一个数被2除余2，被5除余2，被7除余2，求这个数．《孙子算经》的解决方法大体是这样的先求被2除余2，同时能被5，7都整除的数，最小为1．再求被5除余2．同时能被2，7都整除的数，最小为62．最后求被7除余2，同时能被2，5都整除的数，最小为20．于是数1+62+20＝222．就是一个所求的数．那么它减去或加上2，5，7的最小公倍数105的倍数，比如222﹣105＝128，222+105＝288…也是符合要求的数，所以符合要求的数有无限个，最小的是22．我们定义，一个自然数，若满足被2除余1，被2除余2，被5除余2，则称这个数是“魅力数”．
（1）判断42是否是“魅力数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的所有的“魅力数”．
25．（12分）如图，在
中，AD 平分交BC 于点D ，F 为AD 上一点，且，BF 的延长线交AC 于点
E ．
备用图
（1）求证：
； （2）若，，，求DF 的长；
26．已知y 与x+1成正比例，当x=1时，y=3，求y 与x 的函数关系式．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【解析】
【分析】
根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】
解：∵点A 的坐标为（1，2），
∴点A 关于y 轴的对称点的坐标是（-1，2），
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了关于y 轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
2、A
【解析】
【分析】
由两直线平行，内错角相等及正五边形内角的度数即可求解.
【详解】
解：由正五边形ABCDE 可得(52)180108,5
ABC BA BC ︒
︒-⨯∠===, 180108362
BCA BAC ︒︒
︒-∴∠=∠== 又l AC
136BCA ︒∴∠=∠=
故答案为：A
【点睛】
本题主要考查了正多边形的内角及平行线的性质，掌握正多边形内角的求法是解题的关键.正n 边形每个内角的度数为(2)180n n
︒
-⨯. 3、B
【解析】
选项A ，222345+=，三角形是直角三角形； 选项B ，222+≠，三角形不是直角三角形；选项C ，2220.30.40.5+=，三角形是直角三角形；
选项D ，222304050+=，三角形是直角三角形；故选B ．
4、A
【解析】
【分析】
根据一次函数图象的性质和“路程=速度×时间”的关系来分析计算即可.
【详解】
解：小汽车在乡村公路上的行驶速度为：（270﹣180）÷（3.5﹣2）＝60km /h ，故选项A 正确，
小汽车在高速公路上的行驶速度为：180÷
2＝90km /h ，故选项B 错误， 乡村公路总长为：360﹣180＝180km ，故选项C 错误，
小明家在出发后：2+（360﹣180）÷
60＝5h 到达目的地，故选项D 错误， 故选：A ．
【点睛】
一次函数在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意读懂图形及熟练掌握“路程=速度×时间”的关系是解题的关键.
5、C
【解析】
【分析】
利用旋转得出∠DAF=30°，就可以利用直角三角形性质，求出阴影部分面积．
【详解】
解：如图．设旋转后，EF 交AB 与点D ，因为等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，又因为旋转角为15°，所以∠DAF=30°，
因为所以DF=1，
故选：C．
6、D
【解析】
【分析】
先计算这10名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数500即可解答．
【详解】
解：=1.2（t），
500×1.2=600（t），
答：估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是600 t；
故选：D．
【点睛】
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
00
7、B
【解析】
【分析】
由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC=60°，而AB=BC=AC，易证△BAC是等边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求AB=BC=5，那么就可求菱形的周长．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AB=BC=CD=AD，∠BAC=∠CAD=1
2
∠BAD，
∴∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，∵△ABC的周长是15，
∴AB=BC=5，
∴菱形ABCD的周长是1．
故选B．
8、D
【解析】
【分析】
作HK关于AC的对称线段GL，作FE关于BD的对称线段IJ，由对称性可知，图中对应颜色的部分面积相等，即可求解．
【详解】
解：如图，作HK关于AC的对称线段GL，作FE关于BD的对称
线段IJ，
由对称性可知，图中对应颜色的部分面积相等，
∴s1与s2的差=4S OMNP，
∵OM=a，ON=b，
∴4S OMNP=4ab，
故选：D．
【点睛】
本题考查菱形的性质，图形的对称性；通过作轴对称图形，将面积进行转化是解题的关键．
9、A
【解析】
【分析】
根据菱形及平行四边形的性质，结合选项即可得出答案．
【详解】
A、对角线互相垂直是菱形具有，平行四边形不具有的性质，故本选项正确；
B、对边平行是菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误；
C、对边相等是菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误；
D、对角线互相平分是菱形和平行四边形都具有的性质，故本选项错误．
故选A．
【点睛】
此题考查了平行四边形及菱形的性质，属于基础题，关键是熟练掌握特殊图形的基本性质．
10、D
【解析】
【分析】
利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
【详解】
A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形，
当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形，
当AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意.
故选D．
【点睛】
此题主要考查了正方形的判定以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握正方形的判定方法是解题关键．11、C
【解析】
【分析】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
由图可得，
AC的距离为120米，故①正确；
乙的速度为：（60+120）÷3=60米/分，故②正确；a的值为：60÷60=1，故③错误；
令[60+（120÷3）t]-60t≥10，得t≤5
2
，
即若甲、乙两遥控车的距离不少于10米时，两车信号不会产生相互干扰，则两车信号不会产生相互干扰的t的取值范
围是0≤t≤5
2
，故④正确；
故选C．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．12、C
【解析】
【分析】
直接利用中心对称图形的定义结合概率公式得出答案．
【详解】
∵平行四边形、圆和正方形是中心对称图形，
∴在看不见图形的情况下随机抽出1张卡片，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是：3
5
．
故选：C．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件
A的概率P（A）= m
n
．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】
【分析】
根据平行四边形的对角线互相平分可得出OC＋OD＝1
2
（AC＋BD），再由平行四边形的对边相等可得AB＝CD＝6，
继而代入可求出△OCD的周长【详解】
∵ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ， ∴12CO AC =，12
DO BD =，AB CD =． ∵18AC BD +=，
∴9CO DO +=，
∴9615OCD C ∆=+=
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等及对角线互相平分的性质，难度一般．
14、x （x ﹣1）
【解析】分析：提取公因式x 即可．
详解：x 2−x ＝x （x−1）．
故答案为：x （x−1）．
点解：本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是解题的关键．
15、x ＜﹣1
【解析】
【分析】
观察函数图象得到当x ＜-1时，直线y=k 1x+b 1在直线y=k 1x+b 1的上方，于是可得到不等式k 1x+b 1＞k 1x+b 1的解集．
【详解】
当x ＜-1时，k 1x+b 1＞k 1x+b 1，
所以不等式k 1x+b 1＞k 1x+b 1的解集为x ＜-1．
故答案为x ＜-1．
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16、()()x 3y x 3y +-．
【解析】
因为()2222x 9y x 3y -=-，所以直接应用平方差公式即可：()()22
x 9y x 3y x 3y -=+-． 17、1．
【分析】
【详解】
∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，
∴△ABC ≌△BDE ，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm ，
∴△BCD 为等边三角形，
∴CD=BC=BD=12cm ，
在Rt △ACB 中，=13，
△ACF 与△BDF 的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=1（cm ），
故答案为1．
考点：旋转的性质．
18、x ＞1．
【解析】
试题解析：∵一次函数1y x b =+与24y kx =+交于点(1,3)P ，
∴当4x b kx +>+时，由图可得：1x >．
故答案为1x >．
三、解答题（共78分）
19、4
【解析】
试题分析：先求出方程的两个根，再利用新定义的运算法则计算,计算时需要分类讨论.
试题解析：
x 1－7x ＋11＝0，(x －4)(x －3)＝0，
x －4＝0或x －3＝0，∴x 1＝4，x 1＝3或x 1＝3，x 1＝4.
当x 1＝4，x 1＝3时，x 1*x 1＝41－4×3＝4，
当x 1＝3，x 1＝4时，x 1*x 1＝3×4－41＝－4，∴x 1*x 1的值为4或－4.
点睛：定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，是可以深刻理解数学本源的题型，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙，#等，解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算.
20、（1）见解析；（2）存在，x 的值为2或5.
【分析】
（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；
（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．【详解】
(1)证明：∵AD∥BC,
∴∠PAF=∠AEB.
∵∠PFA=∠ABE=90°，
∴△PFA∽△ABE.
(2)
若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB.
如图，连接PE,DE,
∴PE∥AB.
∴四边形ABEP为矩形.
∴PA=EB=2，即x=2.
如图，延长AD至点P，作PF⊥AE于点F,连接PE,
若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB.
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点.
∵
，
∴EF=
12
∵=
PE EF AE EB ， ∴PE=5，即x=5.
∴满足条件的x 的值为2或5.
【点睛】
此题考查正方形的性质，相似三角形的判定，解题关键在于作辅助线.
21、（1）30°（2）EF=2cm ，cm
【解析】
【分析】
（1）由“直角三角形的两个锐角互余”的性质来求∠A 的度数；
（2）由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得BC=
12 AB=4cm ，再利用中位线的性质即可解答 【详解】
（1）∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°
∴∠A=90°
-∠B=30° 即∠A 的度数是30°
. （2）∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=8cm
∴BC=12
AB=4cm
∴==
∴AE=12∵E 、F 分别为边AC 、AB 的中点
∴EF 是△ABC 的中位线
∴EF=12
BC=2cm. 【点睛】
此题考查三角形中位线定理，含30度角的直角三角形，解题关键在于利用勾股定理进行计算
22、（1）①②④（2）在四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ；四边形ABCD 是平行四边形
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的判定定理写出真命题；
（2）乙②为例，写出已知、求证．利用四边形的内角和和已知条件中的对角相等得到邻角互补，从而判定两组对边平行，进而证得结论．
【详解】
（1）①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．故正确；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形．故正确；
③一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．故错误；
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．故正确．
故答案是：①②④；
（2）以②为例：
已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵∠1+∠2＝180°﹣∠A，∠2+∠1＝180°﹣∠C，∠A＝∠C，
∴∠1+∠2＝∠2+∠1．①
∵∠ABC＝∠ADC，
即∠1+∠2＝∠2+∠1，②
由①②相加、相减得：∠1＝∠1，∠2＝∠2．
∴AB∥CD，AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）．
故答案是：在四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D；四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是了解平行四边形的几个判定定理，难度不大．
23、(1)证明见解析；(2)菱，理由见解析；(3)75
4
．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，根据平行线的性质得到∠EDO=∠FBO，由全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据平行四边形的判定定理得到四边形BEDF是平行四边形，由菱形的判定定理即可得到结论；
（3
）根据勾股定理得到AB6
==，设BE=DE=x，得到AE=8-x，根据勾股定理列方程得到
25 BE
4
=，
根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO＝∠FBO，
∵点O是BD的中点，
∴BO＝DO，
在△BOF与△DOE中，
FBO EDO BO D
BOF DOE
O
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BOF≌△DOE(ASA)，
∴OE＝OF；
(2)四边形BEDF是菱形，
理由：∵OE＝OF，OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，
∴平行四边形BEDF是菱形；故答案为菱；
(3)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AD＝8，BD＝10，
AB6
∴==，
设BE＝DE＝x，
∴AE＝8﹣x，
∵AB2+AE2＝BE2，
∴62+(8﹣x)2＝x2，
解得：
25
4
x=，
∴BE＝25
4
，
∵BO＝1
2
BD＝5，
∴OE＝2215
BE B0
4
-=，
∴△BDE的面积
11575
10
244
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【点睛】
本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
24、（1）49不是“魅力数”，理由详见解析；（9）99、59、89．
【解析】
【分析】
（1）验证49是否满足“被9除余1，被9除余9，被5除余9”这三个条件，若全部满足，则为“魅力数”，若不全满足，则不是“魅力数”；
（9）根据样例，先求被9除余1，同时能被9，5都整除的数，最小为8．再求被9除余9．同时能被9，5都整除的数，最小为90．最后求被5除余9，同时能被9，9都整除的数，最小为11．于是数8+90+11＝59，再用它减去或加上9，9，5的最小公倍数90的倍数得结果．
【详解】
解：（1）49不是“魅力数”．理由如下：
∵49＝14×9+1，
∴49被9除余1，不余9，
∴根据“魅力数”的定义知，49不是“魅力数”；
（9）先求被9除余1，同时能被9，5都整除的数，最小为8．
再求被9除余9．同时能被9，5都整除的数，最小为90．
最后求被5除余9，同时能被9，9都整除的数，最小为11．
∴数8+90+11＝59是“魅力数”，
∵9、9、5的最小公倍数为90，
∴59﹣90＝99也是“魅力数”，
59+90＝89也是“魅力数”，
故不大于100的所有的“魅力数”有99、59、89三个数．
【点睛】
本题考查了数学文化问题，读懂题意，明确定义是解题的关键．
25、（1）详见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）证△AFB∽△ADC即可
（2）作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH=AB=2，CN=AC=3，再证△BHD∽△CND即可
【详解】
（1）∵AD平分∠BAC
∴∠BAF=∠DAC
又∵BF=BD
∴∠BFD=∠FDB
∴∠AFB=∠ADC
∴△AFB∽△ADC
∴．
∴AB•AD=AF•AC
（2）作BH⊥AD于H，作CN⊥AD于N，则BH=AB=2，CN=AC=3
∴AH=BH=2，AN=CN=3
∴HN=
∵∠BHD=∠CDN
∴△BHD∽△CND
∴
∴HD=
又∵BF=BD，BH⊥DF
∴DF=2HD=
【点睛】
考查相似三角形的性质，含30°角的直角三角形．灵活运用相似三角形的边的比例关系是解题的关键．
26、y=3
2
x+
3
2
【解析】
试题分析：根据正比例函数的定义设y=k（x+1）（k≠0），然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解．解：由题意，设y=k（x+1），把x=1，y=3代入，得2k=3，
∴k=
∴y与x的函数关系式为．
考点：待定系数法求一次函数解析式．。