平面向量知识点和例题

第二章 平面向量

1.向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。 数量：我们把只有大小没有方向的量称为数量。

2.有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。 有向线段三要素：起点、方向、长度。

3.向量的长度（模）：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度（或称模），记作|AB |。

4.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。 单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。

5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量a 、

b 是两个平行向量，那么通常记作a ∥b 。平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量a ，都有0∥a 。

6.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量a 、

b 是两个相等向量，那么通常记作a =b 。

7.如图，已知非零向量a 、b ，在平面内任取一点A ，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a b +，即AB BC AC a b +=+=。

向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。

8.对于零向量与任一向量a ，我们规定：a +0=0+a =a

9.公式及运算定律：①1223n 1A A +A A +...+A A =0 ②|a+b |≤|a |+|b | ③a+b b a =+ ④

a+b c a b c =+（）+（+）

10.相反向量：①我们规定，与a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a 。a 和-a 互为相反向量。

②我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。

③任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+

-a =-a +a =0（）（）。 ④如果a 、b 是互为相反的向量，那么a = -b ，b = -a ，b a =0+。

⑤我们定义a -b =a+-b （），即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。

11.向量的数乘：一般地，我们规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向

量的数乘。记作a λ，它的长度与方向规定如下：①||||||a a λλ= ②当λ＞0时，a λ的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，的方向与a 的方向相反；λ=0时，a λ=

12.运算定律：①a a λ

μλμ=（）（） ②a a a λμλμ+=+（） ③a b a b λλλ++（）= ④a a a λλλ-=-=-（）（）（） ⑤a b a b λ

λλ--（）= 13.定理：对于向量a （a ≠0）、b ，如果有一个实数λ，使b =a λ，那么a 与b 共线。相反，已知向量a 与b 共线，a ≠0，且向量b 的长度是向量a 的长度的μ倍，即|b |=μ|a |，那么当a 与b 同方向时，有b =a μ；当a 与b 反方向时，有b = a μ-。则得如下定理：向量向量a （a ≠0）与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =a λ。

14.平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+。我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

15.向量a 与b 的夹角：已知两个非零向量a 和b 。作OA a =，O B b =，则A O B θ

∠=（0°≤θ≤180°）叫做向量a 与b 的夹角。当θ=0°时，a 与b 同向；当θ=180°时，

a 与

b 反向。如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a b ⊥。 16.补充结论：已知向量a 、b 是两个不共线的两个向量，且m 、n ∈R ，若0m

a n

b +=，

则m=n=0。

17.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。 18.两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）。即若11(,)a x y =，

22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--

19.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若11(,)a x y =，则11(,)a x y λλλ=

20.当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时，向量a 、b （b ≠0）共线

21.定比分点坐标公式：当12P P PP λ=时，P 点坐标为1212

(

,)11x x y y λλλλ

++++ ①当点P 在线段P 1P 2上时，点P 叫线段P 1P 2的内分点，λ＞0

②当点P 在线段P 1P 2的延长线上时，P 叫线段P 1P 2的外分点，λ＜-1； 当点P 在线段P 1P 2的反向延长线上时，P 叫线段P 1P 2的外分点，-1＜λ＜0.

B

23.数量积（内积）：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b 即a ·b =||||cos a b θ。其中θ是a 与b 的夹角，

||cos a θ（||cos b θ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影。我们规定，

零向量与任一向量的数量积为0。

24. a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影

||cos b θ的乘积。

25.数量积的运算定律：①a ·b =b ·a ②（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ） ③（a +b ）·c =a ·c +b ·c ④

22

2

()2a b a a b b

+=+⋅+ ⑤

22

2

()2a b a a b b

-=-⋅+ ⑥

2

2

()()a b a b a b +⋅-=-

26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即1212a b x x y y ⋅=+。则：

①若(,)a x y =，则222

||a x y =+，或2||a x y =

+。如果表示向量a 的有向线段的

起点和中点的坐标分别为11x y （，）、22x y （，），那么2121

a x x y y =--（，），||a x =-（②设11a x y =（，），22

b x y =（，），则121200a b x x y y a b ⊥⇔+=⇔⋅=

27.设a 、b 都是非零向量，11a x y =（，），22b x y =（，），θ是a 与b 的夹角，根据向

量数量积的定义及坐标表示可得：2cos ||||

a b

a b x θ⋅=

=+ 2013-2014学年度XX 学校XX 月考卷

试卷副标题

1、在平面直角坐标系中，角与角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴，终

边关于轴对称，已知，则（ ）