近年高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课后作业文(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.2 空间几何体的表面积与体积课后作业文
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7。

2 空间几何体的表面积与体积
［基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．（2017·东北五校联考)如左图所示,在三棱锥D－ABC中,已知AC＝BC ＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如右图所示，则其侧视图的面积为（）
A。

6 B．2 C。

错误! D.错误!
答案D
解析由几何体的结构特征和正视图、俯视图,得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD，其长度为2,另一直角边为底面三角形ABC 的边AB上的中线，其长度为错误!，则其侧视图的面积为S＝错误!×2×错误!＝错误!，故选D.
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π
答案A
解析由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成(如图）,其中长方体的长、宽、高分别为4，2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以该几何体的体积V＝4×2×2＋错误!π×22×4＝16＋8π。

故选A。

3．（2018·合肥质检）一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为（)
A．72＋6π B．72＋4π C．48＋6π D．48＋4π
答案A
解析由三视图知，该几何体由一个正方体的错误!部分与一个圆柱的错误!部分组合而成(如图所示），其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×（2＋2＋π)＝72＋6π。

故选A.
4．三棱锥P－ABC的四个顶点都在体积为错误!的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( ）
A．4 B．6 C．8 D．10
答案C
解析依题意，设题中球的球心为O、半径为R,△ABC的外接圆半径为r,则错误!＝错误!，解得R＝5，由πr2＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC 的距离为错误!＝3，因此三棱锥P－ABC的高的最大值为5＋3＝8.故选C.
5．(2017·广东广州一模)《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC,PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为( ）A．8π B．12π C．20π D．24π
答案C
解析如图，因为四个面都是直角三角形,所以PC的中点到每一个顶点的距离都相等，即PC的中点为球心O,易得2R＝PC＝错误!,所以R＝错误!，球O 的表面积为4πR2＝20π.故选C。

6．(2016·山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如图所示．则该几何体的体积为（）
A。

错误!＋错误! B.错误!＋错误! C。

错误!＋错误! D．1＋错误!
答案C
解析由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为1，四棱锥的高为1，球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径,所以球的直径2R ＝2，则R＝错误!，所以半球的体积为错误!πR3＝错误!,又正四棱锥的体积为错误!×12×1＝错误!,所以该几何体的体积为错误!＋错误!。

故选C.
7．(2018·河南郑州质检)某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为( )
A．32 B．327 C．64 D．647
答案C
解析由三视图知三棱锥如图所示，底面ABC是直角三角形,AB⊥BC，PA ⊥平面ABC，BC＝2错误!，PA2＋y2＝102，（2错误!)2＋PA2＝x2，因此xy＝x错误!＝x128－x2≤错误!＝64，当且仅当x2＝128－x2，即x＝8时取等号，因此
xy的最大值是64。

选C.
8．(2018·福建质检)空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，E，F 分别是AB，CD的中点，且EF⊥AB, EF⊥CD.若AB＝8，CD＝EF＝4，则该球的半径等于( )
A.错误! B。

错误! C。

错误! D。

错误!
答案C
解析如图，连接BF，AF，DE，CE，因为AE＝BE，EF⊥AB，所以AF＝BF.同理可得EC＝ED。

又空间四边形ABCD的四个顶点都在同一球面上，所以球心O必在EF上，连接OA,OC。

设该球的半径为R，OE＝x，则R2＝AE2＋OE2＝16＋x2①，R2＝CF2＋OF2＝4＋(4－x）2②，由①②解得R＝错误!。

故选C.
9．(2018·雁塔区校级期末)在六条棱长分别为2，3,3,4,5,5的所有四面体中，最大的体积是（）
A。

错误! B.错误! C。

错误! D．2错误!
答案A
解析由题意可知,由棱长2、3、3、4、5、5构成的四面体有如下三种情况：
下图中，由于32＋42＝52，即图中AD⊥平面BCD，
∴V1＝1
3
×
1
2
×2错误!×4＝错误!；
中间图，由于此情况的底面与上相同，但AC不与底垂直，故高小于4，于是得V2小于V1;
右图中，高小于2,底面积错误!×5× 错误!＝错误!。

∴V3＜错误!×错误!×2＝错误!＜错误!。

∴最大体积为错误!.故选A.
10．(2017·衡水中学三调)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的外接球的体积为错误!，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示,则剩余几何体的表面积为( ）
A.错误!＋错误!B．3＋错误!或错误!＋错误!
C．2＋ 3 D.错误!＋错误!或2＋错误!
答案B
解析设正方体的棱长为a,依题意得，错误!×错误!＝错误!，解得a＝1.由三视图可知，该几何体的直观图有以下两种可能，图1对应的几何体的表面积为错误!＋错误!,图2对应的几何体的表面积为3＋错误!。

故选B.
二、填空题
11．（2017·天津高考）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
答案错误!π
解析设正方体的棱长为a,则6a2＝18，∴a＝错误!.
设球的半径为R，则由题意知2R＝a2＋a2＋a2＝3，
∴R＝错误!。

故球的体积V＝错误!πR3＝错误!×错误!3＝错误!.
12．（2016·四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形,该三棱锥的正视图如图所示,则该三棱锥的体积是________．
答案错误!
解析由题意及正视图可知三棱锥的底面等腰三角形的底长为2错误!，三
棱锥的高为1，则三棱锥的底面积为1
2
×错误!×2错误!＝错误!，
∴该三棱锥的体积为错误!×错误!×1＝错误!.
13．（2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、
下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V
1
V
2
的值是
________．
答案错误!
解析设球O的半径为R，
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,
∴圆柱O1O2的高为2R，圆柱O1O2的底面半径为R。

∴错误!＝错误!＝错误!。

14．（2018·太原模拟）已知三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BC＝2,BD＝CD ＝错误!，点E是BC的中点，点A在平面BCD内的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为________．
答案错误!
解析如图，作出三棱锥A－BCD的外接球，设球的半径为r，球心O到底面BCD的距离为d，DE的中点为F,连接AF，过球心O作AF的垂线OH，垂足为H,连接OA,OD,OE，AE.因为BD＝错误!，CD＝错误!，BC＝2,所以BD⊥CD，则OE⊥平面BCD，OE∥AF，所以HF＝OE＝d.所以在Rt△BCD中，DE＝1，EF＝1
.
2
又AB＝AC＝BC＝2，所以AE＝错误!，所以在Rt△AFE中，AF＝错误!，所以r2＝d2＋1＝错误!2＋错误!，解得r2＝错误!，所以三棱锥A－BCD的外接球的表面积S＝4πr2＝错误!.
三、解答题
15．(2017·梅州一模）如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG所截后得到的，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.
（1）求此多面体的全面积；
(2)求此多面体的体积．
解(1）在△BAD中，∵AB＝2AD＝2,∠BAD＝60°，
∴由余弦定理可得BD＝错误!，
则AB2＝AD2＋BD2，
∴AD⊥BD.
由已知可得，AG∥EF，AE∥GF,
∴四边形AEFG为平行四边形，
GD＝AD＝1，∴EF＝AG＝错误!。

EB＝AB＝2，∴GF＝AE＝22。

过G作GH∥DC交CF于H，得FH＝2，∴FC＝3。

过G作GM∥DB交BE于M，得GM＝DB＝3，ME＝1，∴GE＝2.
cos∠GAE＝错误!＝错误!，∴sin∠GAE＝错误!。

S
＝2×错误!×错误!×2错误!×错误!＝错误!.
▱AEFG
该几何体的全面积S＝错误!＋2×错误!×1×错误!＋错误!×1×1＋错误!×2×2＋错误!×（1＋3）×2＋错误!×（2＋3）×1＝错误!＋错误!＋9。

（2）V 多面体的体积＝V A －BEGD ＋V G －BCD ＋V G －BCFE
＝错误!S BEGD ·AD ＋错误!S △BCD ·DG ＋错误!S 四边形BCFE ·BD
＝错误!·错误!（DG ＋BE ）·BD ·AD ＋错误!·错误!BC ·CD ·sin60°·DG ＋13
·错误!（BE ＋CF ）·BC ·BD ＝错误!. 16．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m ）．
(1）试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
解 （1)直观图如图所示：
（2)由三视图可知该几何体是长方体被截去一个三棱柱，且该几何体的体积是以A 1A ，A 1D 1，A 1B 1为棱的长方体的体积的错误!， 在直角梯形AA 1B 1B 中，作BE ⊥A 1B 1于E ，则四边形AA 1EB 是正方形，∴AA 1＝BE ＝1，
在Rt△BEB1中，BE＝1,EB1＝1，
∴BB1＝错误!，
∴几何体的表面积
＝1＋2×1＋2×错误!×(1＋2）×1＋1×错误!＋1
＝7＋错误!（m2）．
∴几何体的体积V＝错误!×1×2×1＝错误!(m3),
∴该几何体的表面积为(7＋错误!） m2，体积为错误! m3。