2018_2019版高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式课件新人教A版必

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������������ 2������+3
=
(2������+53)(������2������+3)<0
恒成立.因为(2n+5)(2n+3)>0,
所以必有 3k<0,故 k<0.
反思感悟判断数列的增减性,一般是将其转化为比较相邻两项的大 小,常用的方法有作差法、作商法,作差法判断数列增减性的步骤 为:(1)作差;(2)变形;(3)定号;(4)结论.作商法适用于各项都是同号的 数列,且应比较比值与1的大小关系.
解(1)由 an+1=an+n(n∈N*),得 an+1-an=n(n∈N*),所以 a2-a1=1,a3-a2=2,a4-a3=3,…,an-an-1=n-1, 以上各式相加,得 (a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=1+2+3+…+(n-1),
即 an-a1=������(���2���-1).因为 a1=1,所以 an=������(���2���-1)+1=������2-2������+2.故数列{an}的通
3.通项公式和递推公式的区别:
通项公式直接反映了an与n之间的关系,即已知n的值,即可代入通项 公式求得该项的值an;递推关系则是间接反映数列的式子,它是数列 任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,要求an,需将前面的各项 依次求出.
4.数列的表示方法:数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表
法、递推公式法.
2.数列作为特殊的函数,也具有单调性,对于递减数列
1 ������
,显然满足
a1>a2>…>an>an+1>…,反之,若数列满足 an>an+1,数列一定是递减数 列吗?若数列满足 an<an+1,数列一定是递增数列吗?
提示一定是;一定是.
3.填空: (1)数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义 域的函数 an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应 的一列函数值如图所示.
a9=a10=1101190.
反思感悟求数列的最大(小)项的两种方法
一是利用判断函数增减性的方法,先判断数列的增减情况,再求数列
的最大项或最小项;
二是设
ak 是最大项,则
������������ ������������
≥ ≥
������������-1, ������������ +1
对任意的
k∈N*,且
提示(1)从第 2 项起,每一项都等于其前一项的 2 倍,即 an+1=2an(n∈ N*);(2)b3=3,b4=5,b5=8,后面各项能确定.
2.填空:
递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任一项an与 它的前一项an-1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示,那么这个 公式叫做数列{an}的递推公式.用递推公式给出数列的方法叫做递 推法.
∴数列中有最大项,最大项为第 9,10 项,
即 a9=a10=1101190.
解法二设 ak 是数列{an}的最大项,

������������ ������������
≥ ≥
������������ ������������
-1, +1,

(������ + 1)
10 11
������
≥ ������
反思感悟根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分 的关系,依次代入计算即可.另外,解答这类问题时还需注意:若已知 首项,通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若 已知末项,通常将所给公式整理成用后面 已知数列{an}满足 an=4an-1+3,且 a1=0,则此数列的第 5 项是( )
围是
.
解析(1)因为
an+1-an=������������++12

������ ������+1
=
(������+1)1(������+2)>0,
所以 an+1>an,即该数列是递增数列. (2)因为数列{an}是递减数列,所以由一次函数的性质可得 k<0.
答案(1)A (2)k<0
5.已知函数 f(x)=
10 11
������ +1
-(n+1)
10 11
������
=
10 11
������
·91-1������,∴当 n<9
时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an. 故 a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,
·
9 8
1 ������+3
·
9 8
������

1 ������+2
·
9 8
������

1 ������+4
·
9 8
������ -1
,
������ +1
解得
������ ������
≤ ≥
65,,所以
5≤n≤6,所以
n=5

,
n=6.又 a1=392>a5=a6,即 a5 与 a6 都是数列的最小项,且 a5=a6=9856.
������-
5 4
2
,试判断 f(x)在区间[1,+∞)内的单调性与数列
an=
������-
5 4
2
的单调性,由此可以看出数列单调性与函数单调性有何区
别与联系?
提示 f(x)在区间[1,+∞)内不单调,但数列 an=f(n)在区间[1,+∞)内单调. 数列单调性与函数单调性的区别与联系略.
6.数列单调性与函数单调性的区别与联系 (1)联系:若函数 f(x)在区间[1,+∞)内单调,则数列 f(n)也单调.反之不 正确. (2)区别:二者定义不同,函数单调性的定义:函数 f(x)的定义域为 D,设 D⊇I,对任意 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,若 f(x1)>f(x2),则 f(x)在 I 上单调递减, 若 f(x1)<f(x2),则 f(x)在 I 上单调递增,定义中的 x1,x2 不能用有限个数 值来代替.数列单调性的定义:只需比较相邻的 an 与 an+1 的大小来确 定单调性.
答案 B
【例 3】导学号 04994024 已知数列{an}的通项公式 an=(n+1)
10 11
������
(n
∈N*),试问数列{an}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数; 若没有,请说明理由. 思路分析数列{an}
的通项
计算
an+1-an
确定增减性
求解最大(小)项
解法一∵an+1-an=(n+2)
第2课时 数列的递推公式
课标阐释
思维脉络
1.理解数列的函数特性,掌握判断数列 增减性的方法. 2.理解数列递推公式的含义,会用递推 公式解决有关问题. 3.掌握求数列中最大(小)项的方法.
数列的函数特性 数列的递推公式 数列单调性的判断
数列的递推公式 数列中的最大(小)项
一二
一、数列与函数的关系
解(1)当 k=1 时,an=2���������+��� 3,
所以 an+1=2������������++15,
所以
an+1-an=2������������++15

������ 2������+3
=
(2������+5)3(2������+3)>0,
故数列{an}是递增数列.
(2)若数列{an}是递减数列,则 an+1-an<0 恒成立,即 an+1-an=���2���������������++���5��� −
变式训练 2 已知数列{an},a1>0,且 an+1=������+������1an,则该数列是(
)
A.递增数列 C.常数列
B.递减数列 D.摆动数列
解析由 an+1=������+������1an,得������������������+������1 = ������+������1.因为 a1>0,所以 0<������������������+������1<1, 所以 an+1<an,故该数列是递减数列.
【问题思考】
1.给出数列{an}:1,12
,
1 3
,
14,…,以及函数
f(x)=1������,那么数列
1 ������
和函数
f(x)=1������之间有什么区别与联系呢?
提示数列
1 ������
的各项可看作是当函数 f(x)=1������的自变量从小到大依次
取正整数时所对应的函数值.数列是特殊的函数,但二者的定义域不 同.
一二
二、数列的递推公式 【问题思考】 1.(1)给出数列{an}:1,2,4,8,16,…,你能发现该数列中从第2项起,每一 项与其前一项之间的关系吗?如何用公式表示呢?(2)如果对于数列 {bn},令b1=1,b2=2,规定从第3项起每一项都等于其前面两项的和,那 么b3,b4,b5分别等于多少?该数列后面的项能否确定?
(2)在数列{an}中,若 an+1>an,则{an}是递增数列;若 an+1<an,则{an}为 递减数列;若 an+1=an,则{an}为常数列.
4.做一做:
(1)若数列{an}的通项公式 an=������+������1,则该数列是(
)
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D.不确定
(2)若数列{an}的通项公式 an=kn-3,且为递减数列,则实数 k 的取值范
5.做一做:
设数列{an}满足 a1=1,an=1+���������1���-1(n∈N,n>1),则 a3=
.
解析由已知,得 a2=1+���1���1=2,a3=1+���1���2 = 32. 答案3
2
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的
画“×”.
(1)数列可以看作是定义域为正整数集的函数的函数值.( ) (2)若数列an=f(n)是递减数列,则函数y=f(x)必为减函数.( ) (3)递推公式反映了该数列相邻两项或几项之间的取值关系.( ) (4)给出数列的递推公式,即可确定该数列的所有各项.( ) (5)若数列{an}满足an+1=an,则该数列是常数列.( )
k≥2
都成立,解
不等式组即可.
在本例中,若已知数列的通项公式 an=������+13 ·
9 8
������
,n∈N*,试求该数列
{an}的最小项.
解设第
n

an 最小,则
������������ ������������
≤ ≤
������������-1, ������������ +1 ,

1 ������+3
123
【例 4】 (1)已知数列{an},a1=1,an+1=an+n(n∈N*),试求数列{an}的 通项公式;
(2)在数列{an}中,a1=1,an=
1-
1 ������
an-1(n≥2),求数列{an}的通项公式.
思路分析(1)先将递推公式化为 an+1-an=n,再利用累加法求通项公 式;(2)先将递推公式化为���������������������-���1 = ���������-���1,再利用累乘法求通项公式.
10 11
������-1
,
(������ + 1)
10 11
������
≥ (������ + 2)
10 11
������ +1
,
整理,得
10������ 11������
+ +
10 11
≥ ≥
11������, 10������ +
20,得
9≤k≤10,
所以 k=9 或 k=10.又 a1=2101<a9=a10,即数列{an}中的最大项为
答案(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
123
【例 1】 已知数列{an},a1=1,且满足 an=3an-1+(-12)������(n∈N*,且 n>1), 写出数列{an}的前 5 项. 思路分析由 a1 的值和递推公式,分别逐一求出 a2,a3,a4,a5 的值.
解由题意,得 a2=3a1+(-12)2,而 a1=1,所以 a2=3×1+(-12)2 = 72. 同理 a3=3a2+(-12)3=10,a4=3a3+(-12)4 = 621,a5=3a4+(-12)5=91.
A.15
B.255
C.16
D.63
解析因为 a1=0,所以 a2=4a1+3=3,a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案 B
123
【例 2】 已知数列{an}的通项公式 an=2������������+������3(k∈R). (1)当 k=1 时,判断数列{an}的单调性; (2)若数列{an}是递减数列,求实数 k 的取值范围. 思路分析对于(1),因为已知数列的通项公式,所以可以通过比较数列 的相邻两项 an 与 an+1 的大小来确定数列的单调性;对于(2),可根据数 列是递减数列,得出 an 与 an+1 的大小关系,从而确定 k 的取值范围.
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