北师大版九年级上册数学 解一元二次方程(解析版)

第二章 解一元二次方程
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A ．方程2x x =有一根为0
B ．方程210x -=的两根互为相反数
C ．方程2(1)10x --=的两根互为相反数
D ．方程220x x -+=无实数根
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：A ．2x x =，移项得：20x x -=，因式分解得：x （x ﹣1）=0，解得x=0或x=1，所以有一根为0，此选项正确；
B ．210x -=，移项得：21x =，直接开方得：x=1或x=﹣1，所以此方程的两根互为相反数，此选项正确；
C ．2(1)10x --=，移项得：2(1)1x -=，直接开方得：x ﹣1=1或x ﹣1=﹣1，解得x=2或x=0，两根不互为相反数，此选项错误；
D ．220x x -+=，找出a=1，b=﹣1，c=2，则△=1﹣8=﹣7＜0，所以此方程无实数根，此选项正确． 所以说法错误的选项是C ．
故选C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解．
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A ．22990x x --=化为()21100x -=
B ．22740x x --=化为2781416x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ C ．2890x x ++=化为()2+4=25x D ．23-420x x -=化为2
21039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 【答案】C
【解析】
【分析】
根据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方分别进行配方，即可求出答案．
【详解】
A 、由原方程，得22990x x --=，
等式的两边同时加上一次项系数2的一半的平方1，得()2
1100x -=；
故本选项正确；
B 、由原方程，得22740x x --=， 等式的两边同时加上一次项系数−7的一半的平方，得，2
781416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
， 故本选项正确；
C 、由原方程，得2890x x ++=，
等式的两边同时加上一次项系数8的一半的平方16，得（x＋4）2＝7；故本选项错误；
D、由原方程，得3x2−4x＝2，
化二次项系数为1，得x2−4
3
x＝
2
3
等式的两边同时加上一次项系数−4
3
的一半的平方
16
9
，得
2
210
39
x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
；
故本选项正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3x2,其中求的Δ的值是（）
A．16B．±4C D．64
【答案】D
【解析】
【分析】
首先把方程化简为一般形式，再得出a、b、c的值，最后求出判别式的值即可．
【详解】
解：20
+-=
a b c
⋅===-
2244(64b ac ∴-=--=
故选：D
【点睛】
此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式．
4．用求根公式法解得某方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根互为相反数，则（ ）
A ．0b =
B ．0c
C ．240b ac -=
D ．0b c +=
【答案】A
【解析】
【分析】 根据求根公式法求得一元二次方程的两个根12x x 、，由题意得120x x +=，可求出0b =．
【详解】
方程2
0(a 0)++=≠ax bx c 有两根， 240b ac ∴∆=-且0a ≠．
求根公式得到方程的根为2b x a
-=，两根互为相反数，
所以120x x +=+0=， 解得0b =．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键． 5．方程()222t t -=-的根是（ ）
A ．3t =
B ．t=2
C ．t 1=2,t 2=3
D ．t 1=2,t 2=1
【答案】C
【解析】
【分析】
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
解：()222t t -=- ()()2
220t t ---=
()()230t t --=
解得t 1=2△t 2=3
故选C ．
【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键．
6．方程()()130x x x ++=的根是（ ）
A ．-1，3
B ．1，-3
C ．0，-1，3
D ．0，-1，-3 【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解法求解即可．
【详解】
由题可得，0x =或10x +=或30x +=，
解得：0x =或1x =-或3x =-．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解法是解题的关键．
7．若实数x △y 满足(3)()20x y x y +-++=，则x +y 的值为（ △
A ．-1或-2△
B ．-1或2△
C ．1或-2△
D ．1或2△
【答案】D
【解析】
t=x+y ，则由原方程，得
t （t -3）+2=0，
整理，得
（t -1）（t -2）=0．
解得t=1或t=2，
所以x+y 的值为1或2．
故选D ．
8．一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( ) △
A．
2
31
416
x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
B．
2
31
2
416
x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
C．
2
3
16
2
x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
D．以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】
先把常数项1移到等号的右边，再把二次项系数化为1，最后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后配方即可．
【详解】
△2x2-3x+1=0△
△2x2-3x=-1△
x2-3
2
x=-
1
2
△
x2-3
2
x+
9
16
=-
1
2
+
9
16
△
△x-3
4
△2=
1
16
△
△一元二次方程2x2-3x+1=0化为（x+a△2=b的形式是：（x-3
4
△2=
1
16
△
故选A△
【点睛】
此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1△△3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
9．一元二次方程2
2210
x x
--=的较大实数根在下列数轴中哪个范围之内（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用公式法解方程求得较大的实数根，根据无理数的估算得到这个实数根的范围，即可判断．
【详解】
解方程22210x x --=得x =． 设a 是方程22210x x --=的较大的实数根，
12
a +∴=， 132<<，
213∴<+，
则3
12a <<，只有B 符合要求．
故选：B ．
【点睛】 本题考查了公式法解一元二次方程，无理数的估算以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握公式法解一元二次方程和无理数大小的估算是解题的关键．
10．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一根为另一根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，不正确的是（ ） A ．方程2320x x -+=是倍根方程；
B ．若()()20x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=；
C ．若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且点A （x 1，0）和点B （x 2，0）关于直线 x=25对称，则方程20ax bx c ++=的一个根为54
； D ．若pq=2，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程．
【答案】C
【解析】
x 2+3x+2=0，
（x+1）（x+2）=0，
x 1=-1，x 2=-2，
△方程x 2+3x+2=0是倍根方程；
故A 正确；
解方程（x -2）（mx+n ）=0，
得：x 1=2，x 2=n m
-， △（x -2）（mx+n ）=0是倍根方程， △n m =-1或n m
=-4， △m+n=0或4m+n=0，
△4m 2+5mn+n 2=（4m+n ）（m+n ）=0，
故B 正确；
△方程ax 2+bx+c=0是倍根方程，
△设x 1=2x 2，
∵且点A （x 1，0）和点B （x 2，0）关于直线 x=2
5对称 △x 1+x 2=5，
△x 2+2x 2=5，
△x 1=103， x 2=53
故C 不正确；
△pq=2，
解方程px 2+3x+q=0得： x 1=3112p p -+=-，x 2=3122p p --=-， △x 2=2x 1，故D 正确． 故选：C
二、填空题
11．方程（x -1）2=20202的根是________．
【答案】122021
2019x x ==-， 【解析】
【分析】
利用直接开平方法求解可得．
【详解】
△(1x -)2=20202，
△12020x -=或12020x -=-，
解得122021
2019x x ==-，，
故答案为：122021
2019x x ==-，． 【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．方程22430x x +-=，用配方法可把原方程化为2(1)x k +=，其中k =___________． 【答案】52
【解析】
【分析】
先把二次项系数化为1，再方程常数项移到右边，两边加上1变形后，即可解答．
根据配方法
【详解】
解：方程两边同时除以2，得：23202
x x +-=， 移项得：2322
x x +=， 两边同时加1得：232+1+12
x x +=， 即：
25+12x =（）， 故：52
k =． 故答案为：
52． 【点睛】
此题考查了解一元二次方程−−配方法与直接开方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13．已知3x△y=3a 2△6a+9△x+y=a 2+6a△9，若x≤y ，则实数a 的值为_____△
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意列出关于x△y 的方程组，然后求得x△y 的值，结合已知条件x≤y 来求a 的取值．
【详解】
解：依题意得：22336969x y a a x y a a ⎧-=-+⎨+=+-⎩
△ 解得2
69
x a y a ⎧=⎨=-⎩ △x≤y△
△a 2≤6a△9△
整理，得（a△3△2≤0△
故a△3=0△
解得a=3△
故答案是：3△
点睛：考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式
a 2±2ab+
b 2=△a±b△2△
14．方程()()1312x x -+=的解为________．
【答案】3或5-
【解析】
【分析】
首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解．
【详解】
△x -1△△x+3△=12
x 2+3x -x -3-12=0
x 2+2x -15=0
282
-±==, △x 1=3△x 2=-5
故答案是:3或-5△
【点睛】
考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式．
15．方程20.250x x +-=中，24b ac -的值为__________，根是___________．
【答案】5 12x x == 【解析】
【分析】
根据公式法解一元二次方程即可．
【详解】
解：20.250x x +-=
a=0.2，b=1，c=-5
△24b ac -=()2
140.2550-⨯⨯-=<
△125522
x x -+--==
故答案为：5；12x x =
= 【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握利用公式法解一元二次方程是解决此题的关键．
16．用因式分解法解方程260x mx --=，将左边分解后有一个因式是3x -，则m 的值为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据题意得到x 2-mx -6=（x -3）（x -a ），即可求出m 的值．
【详解】
解：根据题意得：x 2-mx -6=（x -3）（x -a ）=x 2-（a+3）x+3a=0，
△-m=-a -3，3a=-6，
解得：a=-2，
则m=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解法是解题关键．
17．关于x 的方程221(1)50a a a x x --++-= 是一元二次方程，则a=_________．
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的概念，令a 2-2a -1=2，a +1≠0，然后解答即可．
【详解】
解：△关于x 的方程221(1)50a
a a x x --++-= 是一元二次方程，
△a 2-2a -1=2且a +1≠0，
解得：a =3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念和解法，熟记概念是解决此题的关键，注意二次项系数不能为0． 18．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程28120x x -+=的解，则这个三角形的周长是________．
【答案】17
【解析】
【分析】
先利用因式分解法求解得出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
【详解】
解：解方程28120x x -+=得x 1=2，x 2=6，
当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；
当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.
故答案为：17．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19．已知0y ≠，且22340x xy y --=．则x y
的值是_________． 【答案】4或-1
【解析】
【分析】
将已知等式两边同除以2y 进行变形，再利用换元法和因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】
0y ≠
∴将22340x xy y --=两边同除以2y 得：23()40x x y y
--= 令x t y
= 则2340t t --=
因式分解得：(4)(1)0t t -+=
解得4t =或1t =- 即x y
的值是4或1- 故答案为：4或1-．
【点睛】
本题考查了利用换元法和因式分解法解一元二次方程，将已知等式进行正确变形是解题关键．
20．已知正整数,x y 满足：2271,880xy x y x y xy ++=+=，则22x
y +值为___________． 【答案】146
【解析】
【分析】
将xy+x+y=71，x 2y+xy 2=880稍作变化，变为xy+（x+y ）=71，xy （x+y ）=880．此时x+y 、xy 可以看做一元二次方程t 2-71t+880=0的两个解．解出该方程的解即为x+y ，xy 的值．再将x+y ，xy 代入x 2+y 2=（x+y ）2-2xy 求值即可．
【详解】
解：△xy+x+y=71，x 2y+xy 2=880，
△xy （x+y ）=880，xy+（x+y ）=71，
△x+y 、xy 可以看做一元二次方程t 2-71t+880=0的两个解，
解得t=55或16，
△x+y=55、xy=16（此时不能满足x 、y 是正整数，舍去）或x+y=16、xy=55，
当x+y=16、xy=55时，x 2+y 2=（x+y ）2-2xy=162-2×55=146．
故x 2+y 2的值为146．
故答案为146.
【点睛】
本题考查因式分解的应用、一元二次方程，难度较大，解决本题的关键是将x+y 、xy 可以看做一元二次方程t 2-71t+880=0的两个解，解出t 即可知x+y 、xy 的值．
三、解答题
21．解方程：
(1)23x ＋2x －5＝0；
(2) 2(12)x - ＝269x x +－．
【答案】（1）1251,3x x ==-；（2）124,23
x x =
=-；过程见详解． 【解析】
【分析】 （1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）利用直接开平方法求解即可．
【详解】
解：（1）23x ＋2x －5＝0
()()1350x x -+=
∴解得：1251,3
x x ==-； （2）2(12)x - ＝269x x +－
()22(231)=x x --
()132=x x ±--
∴解得124,23
x x =
=-． 【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 22．解下列方程:22(25)(4)0x x --+=
【答案】121,93
x x =
= 【解析】
【分析】 用平方差公式法解一元二次方程
【详解】
解：
254)(254)0x x x x -++---=（ 254)0x x -++=（或(254)0x x ---=
121,93
x x == 【点睛】
本题考查因式分解法解一元二次方程，应用平方差公式是解本题的关键． 23．用适当的方法解下列方程：
（1）2
3(21)6x -=
（2）（x ）（x
（3）22(1)3(1)x x x -=-
（4）23610x x -+=（配方法）
【答案】（1）112x =，212x =；（2）12x =，22x =；（3）11x =，225x = ；（4）113x =+，
21x =- 【解析】
【分析】
（1）先移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可；
（2）先将方程左侧展开，移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）先移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】
解：（1）2
3(21)6x -= 2(21)2x -=
21x -=
解得：1x =，2x =；
（2）（x ）（x
整理，得22x -=
2222x +-=+
(2
4x -=
2x -=±
解得：12x ，22x ；
（3）2
2(1)3(1)x x x -=-
22(1)3(1)0x x x --=+
[](1)2(1)30x x x --=+
()(1)520x x --=
解得：11x =，225
x =； （4）23610x x -+=
2361x x -=-
2123
x x -=- 212113
x x -+=-+ ()2213
x -=
3
1x -=±
解得：11x =21x =【点睛】
此题考查的是解一元二次方程，掌握一元二次方程的各个解法是解决此题的关键．
24．我们知道可以用公式2()()()x p q x pq x p x q +++=++来分解因式，解一元二次方程．
（1）2680x x ++=，方程分解为______0=，27300x x --=，方程分解为___________0=．
（2）爱钻研的小明同学发现二次项系数不是1的方程也可以借助此方法解一元二次方程．如：
23720x x -+=，方程可分解为(2)(31)0x x --=，从而可以快速求出方程的解．利用此方法解一元二次
【答案】（1）(2)(4)x x ++，(10)(3)x x -+；（2）52
x =或12x =-． 【解析】
【分析】 借助于题目中所给的方法可进行因式分解可求得两个填空的答案，同样的方法可对24850x x --=进行因式分解，可求得答案；
【详解】
（1）268(2)(4)x x x x ++=++，2730(10)(3)x x x x --=-+，
2680x x ∴++=可分解为2(2)( 4) 0,7300x x x x ++=--=可分解为(10)(3)0x x -+=．
故答案为(2)(4)x x ++，(10)(3)x x -+．
（2）24850x x --=可分解为(25)(21)0x x -+=，
250x ∴-=或210x +=，
52
x ∴=或12x =-． 【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程中因式分解法的知识点，准确计算是解题的关键．
25．阅读下面的材料：
解：当0x >时，原方程化为220x x --=，
解得122,1x x ==-（不合题意，舍去）；
当0x =时，20-=，矛盾，舍去；
当0x <时，原方程化为220x x +-=
解得122,1x x =-=（不合题意，舍去）． 综上所述，原方程的根是122,2x x ==-．
请参照上面材料解方程．
（1）2
|1|10x x ---=； （2）2|21|4x x =-+．
【答案】（1）121,2x x ==-；（2）123,1x x ==-．
【解析】
【分析】
（1）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．
（2）分三种情况去掉绝对值，化成一元二次方程，解一元二次方程即可．
【详解】
（1）2
|1|10x x ---=，
当1x >时，原方程化为20x x -=， 解得1210x x ==（舍去），（不合题意，舍去）；
当1x =时，原方程化为1010--=，
△1x =是原方程的解；
当1x <时，原方程化为220x x +-=，
解得1221x x =-=，（不合题意，舍去）．
综上所述，原方程的根是1212x x ==-，；
（2）2
|21|4x x =-+， 当12
x >时，原方程化为2230x x --=， 解得1231x x ==-，（不合题意，舍去）； 当12x =时，144
=，矛盾，舍去； 当12x <
时，原方程化为2250x x +-=，
解得11x =-21x =-（不合题意，舍去）．
综上所述，原方程的根是1231x x ==-，
【点睛】
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把含绝对值的一元二次方程转化成一元一次方程． 26．知识经验
我们知道，如果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0．
即：如果0a b =，那么0a =或0b =
知识迁移
△．解方程：(1)(2)0x x ++=
解：(1)(2)0x x ++=，
10x ∴+=或20x +=，
△11x =-或22x =-．
△．解方程：2670x x +-=，
解：2670x x +-=，
△222233370x x +⨯+--=，
△2(3)160x +-=，
△22(3)40x +-=，
△(34)(34)0x x +++-=，
△(7)(1)0x x +-=，
△70x +=或10x -=，
△17x =-或21x =．
理解应用
（1）解方程：210390x x --=
拓展应用
（2）如图，有一块长宽分别为80cm ，60cm 的矩形硬纸板，在它的四个角上分别剪去四个相同的小正方形，然后将四周突出的部分折起来，就可以做成底面积为15002cm 的无盖的长方体盒子，求所剪去的小正方形的边长．
【答案】（1）13x =-或213x =；（2）15cm
【解析】
【分析】
（1）仿照例题利用因式分解解方程的方法，先利用配方法把方程左边变形为平方差形式，再分解因式即可解方程．
（2）设小正方形边长为xcm ，则长方体盒子底面的长宽均可用含x 的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是(80-2x)cm ，宽是(60-2x)cm ，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，列出方程即可解答．
【详解】
（1）解：x 2-10x -39=0，
△x 2-2×5x +52-52-39=0，
△ (x -5)2-64=0，
△ (x -5)2-82=0，
△(x -5+8)(x -5-8)=0，
△(x +3)(x -13)=0，
△x +3=0或x -13=0，
△13x =-或213x =；
（2）解：设所剪去的小正方形的边长为x cm ．根据题意，得
(80-2x)(60-2x)=1500，
化简，得x2-70x+825=0，
解这个方程，得
x1=15，或x2=55．
当x=55时，80-2×55=-30＜0．
△x2=55舍去，只取x=15．
答：所剪去的小正方形的边长为15cm．
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次方程方程及应用，掌握因式分解，弄清题中解方程的方法是解本题的关键．。