2020版高考(文)大一轮复习：第11章 3 第3讲 变量间的相关关系、统计案例

第3讲 变量间的相关关系、统计案例

1．变量间的相关关系

常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．

2．两个变量的线性相关

(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．

(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．

(3)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑n

i ＝1x i y i －n x －·y

－

∑n

i ＝1x 2

i －n x

－2，a ^＝y －－b ^x －

． (4)相关系数

当r>0时，表明两个变量正相关； 当r<0时，表明两个变量负相关．

r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．

3．独立性检验

(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：

K 2

＝n （ad －bc ）

2

（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）

(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ) (2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．( )

(3)只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( ) (4)事件X ，Y 的关系越密切，由观测数据计算得到的K 2

的观测值越大．( ) (5)通过回归方程y ^＝b ^x ＋a ^

可以估计和观测变量的取值和变化趋势．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)√

某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归直线方程可能是( ) A.y ^

＝－10x ＋200 B.y ^

＝10x ＋200 C.y ^

＝－10x －200 D.y ^

＝10x －200

解析：选A.因为商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，所以b ^

<0，排除B ，D. 又因为x ＝0时，y>0，所以应选A.

某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持和不支持两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K 2

＝7.069，则所得到的统计学结论是：有多少的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．( )

附：

C ．99%

D ．99.9%

解析：选C.因为7.069与附表中的6.635最接近，所以得到的统计学结论是：有1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．

下面是一个2×2列联表

解析：因为a ＋21＝73，所以a ＝52. 又因为a ＋2＝b ，所以b ＝54. 答案：52、54

已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^

＝________．

解析：由已知得x ＝2，y ＝4.5，因为回归方程经过点(x ，y)，所以a ＝4.5－0.95×2＝2.6. 答案：2.6

相关关系的判断(师生共研)

已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( ) A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关

【解析】 因为y ＝－0.1x ＋1的斜率小于0，故x 与y 负相关．因为y 与z 正相关，可设z ＝b ^y ＋a ^

，b ^>0，则z ＝b ^y ＋a ^＝－0.1b ^x ＋b ^＋a ^

，故x 与z 负相关．

【答案】 C

判定两个变量正、负相关性的方法

(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．

(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关．

(3)线性回归方程中：b ^>0时，正相关；b ^

<0时，负相关．

1．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图如图①，对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，…，10)，得散点图如图②.由这两个散点图可以判断( )

A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关

B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关

D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

解析：选C.由散点图可得两组数据均线性相关，且图①的线性回归方程斜率为负，图②的线性回归方程斜率为正，则由散点图可判断变量x 与y 负相关，u 与v 正相关．

2．对变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1，2，3，4，5)，得表1；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1，2，3，4，5)，得表2.由这两个表可以判断( )

表1：

B ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关

C ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

D ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

解析：选D.由题可知，随着x 的增大，对应的y 值增大，其散点图呈上升趋势，故x 与y 正相关；随着u 的增大，v 减小，其散点图呈下降趋势，故u 与v 负相关．

线性回归方程及其应用(师生共研)

(2019·石家庄质量检测(二))随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网

站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加．下表是某购物网站2017年1～8月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的具体数据．

(系数精确到0.001)

(2)建立y 关于x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^

(系数精确到0.01)，如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元．(结果精确到0.01)

参考数据：∑i ＝1

8

（x i －11）（y i －3）＝74.5，∑i ＝1

8

（x i －11）2

＝340，∑i ＝1

8

(y i －3)2

＝16.5，340≈18.44，

16.5≈4.06，其中x i ，y i 分别为第i 个月的促销费用和产品销量，i ＝1，2，3， (8)