青岛科技大学线性代数2015-2016-1线代 A卷参考答案

5. 5 t 5
3
3
二、选择题（每小题 3 分，共 15 分） DADDA
1
三、计算题(每小题 10 分，共 20 分)
n
a i i 1
2 1. 解： A
3
n
a i i 1 2a
3
n
a i i 1 2
3a
n
a i i 1 2
3
n
n
n
11 1
2 2a 2
n
(a i) 3 3 3 a i 1
B
2
4
4
2
r
0
0
0
0
-------------------11
分
2 4 4 2 0 0 0 0
R(A) R(B) 1 3，所以方程组有无穷多解。此时 x1 2x2 2x3 1 方程组的通解为
2 2 1
x
k1
1
k2
0
0
，k1,
k2
为任意常数.------------------15
2.
证明：因为
b1
,
b2
,
b3
a1
,
a2
,
a3
1
3
0
,
记 B AK ，
------------------------------2 分
0 1 4
因 K 25 0 ，知 K 可逆，从而 R A R B 。----------------------------------------------------3 分
8 2 2 1 2 5 4 2
B
2
5 4
2
r
0
1
1
1
2 4 5 11 0 0 0 1
-------6 分
R(A) 2，R(B) 3，R( A) R(B) ，方程组无解；--------------------9 分
（3）当 1时，有
1 2 2 1 1 2 2 1
(2) 向量组 A 的一个最大无关组为：1, 2,3 ， -------------------------------------9 分
并且
4
1 2
1
1 2
2
+03
.
-------------------------------------------------------------------10 分
n+a
1 2 3 ------------------------------------------5 分
nn
111 0a0
n
(a i) 0 0 a i 1
n
na
1
0
0
a
n i 1
i
a
n1Biblioteka ann(n 1) an1 ．------10 分 2
000
a
2. 解：两边同时左乘 A1 然后再同时右乘 B1 得
分
0 1 0
3
五、计算题（共 15 分）
4 6 0
解：二次型
f
的矩阵为
A
6
9
6
0 6 2
-----------------------------1 分
4 6 A E 0 6 9
0 6 ( 7)( 14) 0
0
6 2
1 1 4 ,2 0 , 3 7 .
--------------------- 4 分
2 2 2 1
2. 解： B
A
b
2
5 4
2
，
2 4 5 1
2 2 2 A 2 5 4 ( 1)2( 10)
2 4 5
-----------------4 分
（1）当 1且 10 时， R(A) R(B) 3，方程组有唯一解；
（2）当 10 时，有，
六、证明题(每小题 5 分，共 10 分)
1.证明：因为 AA* A E ，又 A 可逆，所以 A* A A1 ，从而
…………………. 15 分
A* ( A1 A) A A1 A1 A E -----------------------------------------------5 分
2 0 1
1
4
3
0
0
1
1
3
4
-----------------------10
分
1 2 0 0 1 0 1 0 2
四、计算题(第 1 题 10 分，第 2 题 15 分，共 25 分)
1 3 2 2
1.
解：令
(1
,
2
,
3
,
4
)
2 3
2
3
2
1 1 2
1
1
1
1
----------------------------------------2 分
A1AXBB1 A1CB1 ，从而 X A1CB1 ，又 A1 A ， B1 B ，-----------5 分
从而
X A1CB1 ACB
0 1 0 1 4 3 1 0 0
1
0
0
2
0
1
0
0
1
0 0 1 1 2 0 0 1 0
2 0 1 1 0 0 2 1 0
2
1
~
2
3
1
1 2 1 3
1 3 1 2
1
1
2 2 2
~
0
0 0
0
1 0 0
0
0 1 0
1
2
1
2
0
0
则(1)向量组 A 的秩为 3；
-------------------------------------7 分 -------------------------------------8 分
又因矩阵 A 的列向量组线性无关，从而知 R A 3 ，所以 R B 3 ，即矩阵 B 的三个列向
量组 b1,b2,b3 线性无关。
--------------------------------------------------------------------------------5 分
当 7 时， A 7E x 0 解得
6
6
1
3
2
,
单位化得
p1
1 7
3 2
,
--------------------------------------------------- 13 分
14 0 0
令
p
p1,
p2
,
p3
PT
AP
0
0
0
0
0 7
二次型化为标准型
f 14 y12 7 y32。
2015--2016 学年 1 学期 线性代数 (A) 卷 试题标准答案
拟题学院（系）：
数理学院
拟 题 人：
适用专业：
全校相关专业
书写标准答案人：
（答案要注明各个要点的评分标准）
一、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1. 1
32
2.
81
3. x c11 c22 (c1,c2 R) 4. 100
当 14 时， A 14E x 0 解得
2
2
1
6
,
3
单位化得
p1
1 7
6 3
,
--------------------------------------------------- 7 分
当 0 时， Ax 0 解得
3
3
2
2
,
单位化得
6
p3
1 7
2 6
---------------------10 分