4.3.2等比数列的前n项和公式教案——高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册第四章数列

高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.2等比数

列的前n项和公式教案

一、教学目标

1.探索并掌握等比数列的前n项和公式.

2.会用等比数列的前n项和公式解决一些与前n项和有关的计算问题.

3.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能解决与等比数列的前n项和有关的实际问题.

4.掌握错位相减法，并能应用其求等比数列的前n项和.

5.掌握等比数列前n项和的性质，并能正确应用.

二、教学重难点

1、教学重点

等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法、等比数列的前n项和的性质及应用. 2、教学难点

等比数列前n项和公式的识记和应用、错位相减法.

三、教学过程

1、新课导入

国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.

2、探索新知

让我们一起来分析一下，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.

一般地，如何求一个等比数列的前n 项和呢？

设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则{}n a 的前n 项和是123n n S a a a a =+++

+.

根据等比数列的通项公式，上式可写成211111n n S a a q a q a q -=++++.①

我们发现，如果用公比q 乘①的两边，可得211111n n n qS a q a q a q a q -=+++.②

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得11n n n S qS a a q -=-，即1(1)1()n n q S a q -=-.

因此，当1q ≠时，我们就得到了等比数列的前n 项和公式()11(1)1n n a q S q q

-=

≠-.（1）

因为11n n a a q -=，所以公式（1）还可以写成1(1)1n n a a q

S q q

-=≠-.（2） 有了上述公式，就可以解决开头提出的问题了.

由11a =，2q =，64n =，可得()6466441122112

S ⨯--

=--. 64

21-这个数很大，超过了

191.8410⨯.如果一千颗麦粒的质量约为40g ，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，

约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.因此，国王根本不可能实现他的诺言.

接下来，通过对例题的学习加深对知识的掌握. 例1 已知数列{}n a 是等比数列.

（1）若112a =

，1

2

q =，求8S ； （2）若127a =，91

243

a =

，0q <，求8S ；

（3）若18a =，12q =

，31

2

n S =，求n . 解：（1）因为112a =

，1

2

q =，所以8

8111222551

256

12

S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥

⎣⎦=

-

=

. （2）由127a =，91243a =，可得8

127243q ⨯=，即8

813q ⎛⎫ ⎪⎝⎭=.又由0q <，得13q =-，

所以8812713164018113S ⎡⎤

⎛⎫⨯--⎢⎥

⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==

⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

. （3）把18a =，12q =，312n S =代入()111n n a q S q -=-，得1812311212n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥

⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-

. 整理，得11232

n

⎛⎫

=

⎪⎝⎭.解得5n =. 例2 已知等比数列的首项为-1，前n 项和为n S .若

5103132

S S =，求公比q . 解：若1q =，则

1015110312532

S a S a ==≠，所以1q ≠. 当1q ≠时，由5103132S S =，得()()105(1)1131132

(1)1q q q q ---⋅=---. 整理，得5

31132q +=

，即5

132q =-.所以12

q =-. 例3 已知等比数列{}n a 的公比1q ≠-，前n 项和为n S .证明n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，并求这个数列的公比.

证明：当1q =时，1n S na =，21112n n S S na na na -=-=，3211132n n S S na na na -=-=，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，公比为1.

当1q ≠时，()111n n a q S q

-=

-，()()()12211111111n n n n n n n n a q a q a q q S S q S q

q

q

----=

-

-

=---，

()()()()221113232111111n n n n

n n n n n a q a q a q q S S q S S q

q

q

----=

-

=

=----.所以

3222n n n n

n n n

n S S S S q S S S --==-.因为n q 为常数，所以n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，公比为n q .

例4 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨，为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.

分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列，因此，可以利用等差教列、等比数列的知识进行计算.

解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}n a ，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}n b ，n 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为n S （单位：万吨），则20(15%)n n a =+，6 1.5n b n =+，

()()()1122n n n S a b a b a b =-+-++-()()1212n n a a a b b b =+++-+++

()220 1.0520 1.0520 1.05(7.596 1.5)n n =⨯+⨯+

+⨯-++

++

()

(20 1.05)1 1.05(7.56 1.5)

1 1.05

2

n n n ⨯⨯-=

-++-2327420 1.0542044n n n =⨯---. 当5n =时，563.5S ≈.所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.

例5 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为1c ，2c ，3c ，….