衔接教材09 平行线分线段成比例定理(解析版)

衔接教材09 平行线分线段成比例定理
知识点讲解
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图），直线a 交123,,l l l 于点
,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图，123////l l l ，有AB
DE BC EF .当然，也可以得出AB DE AC DF
=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
经典例题解析
例1 如图， 123////l l l ，且2,3,4,AB
BC DF 求,DE EF . 解 1232////,
,3
AB DE l l l BC EF 28312,.235235DE DF EF DF ====++ 例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：
AD AE DE AB AC BC ==. 证法（一）：//,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠
ADE ∴∽ABC ，.AD AE DE AB AC BC
∴
== 证法（二）： 如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，
////,l DE BC AD AE AB AC
∴=. 过E 作//EF AB 交AB 于D ，得BDEF ,因而.DE BF =
//,.AE BF DE EF AB AC BC BC ∴== .AD AE DE AB AC BC ∴==
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 例3 已知ABC ，D 在AC 上，:2:1AD DC =，能否在AB 上找到一点E ，使得线段EC 的中点在BD 上.
解 假设能找到，如图，设EC 交BD 于F ，则F 为EC 的中点，作//EG AC 交BD 于G .
//,EG AC EF FC =，
∴EGF CDF ≅，且EG DC =，
1//,2EG AD BEG BAD ∴，且1,2BE EG BA AD == E ∴为AB 的中点.
可见，当E 为AB 的中点时，EC 的中点在BD 上.
我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.
例4 在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，求证：
AB BD AC DC
. 证明 过C 作CE //AD ，交BA 延长线于E ， //,.BA
BD AD CE AE DC
AD 平分,,BAC BAD DAC
由//AD CE 知,,BAD E DAC ACE
,,E ACE AE
AC 即 AB
BD AC DC
. 例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）. 实时训练
一、单选题
1．如图，l 1∥l 2∥l 3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（ ）
A ．AD CE BC DF =
B ．AD B
C BE AF = C ．AB C
D CD EF = D ．AD DF BC CE
= 【答案】D
【分析】
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例．
【详解】
解：∵l 1∵l 2∵l 3，
∵AD
DF
=
BC
CE
，即
AD
BC
=
DF
CE
，所以A选项错误，D选项正确；
AD AF =
BC
BE
，所以B选项错误；
同理C选项也错误．
故选D．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例．
2．关于某一点成中心对称的两个图形，下列说法中，正确的个数有（）
①这两个图形完全重合；②对称点的连线互相平行③对称点所连的线段相等；④对称点的连线相交于一点；⑤对称点所连的线段被同一点平分⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对称中心图形的性质分别判断得出即可．
【详解】
①这两个图形能够完全重合，此选项错误；
②对称点的连线应相交于一点，故此选项错误；
③对称点所连的线段不一定相等，此选项错误；
④对称点的连线相交于一点，此选项正确；
⑤对称点所连的线段被同一点平分，此选项正确；
⑥对应线段互相平行或在同一直线上，且一定相等，此选项正确．
故正确的有3个．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了对称图形的性质，根据其定义得出是解题关键．
二、填空题
3．在ABCD中, ∥A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段, 则ABCD的周长为_____.
【答案】20cm或22cm；
【分析】
∵A的平分线分BC成4cm和3cm的两条线段，设∵A的平分线交BC于E点，有两种可能，BE=4或3，证明∵ABE 是等腰三角形，分别求周长．
【详解】
解：设∵A的平分线交BC于E点，
∵AD∵BC，
∵∵BEA=∵DAE，
又∵BAE=∵DAE，
∵∵BEA=∵BAE
∵AB=BE．而BC=3+4=7．
①当BE=4时，AB=BE=4，∵ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（4+7）=22；
②当BE=3时，AB=BE=3，∵ABCD的周长=2×（AB+BC）=2×（3+7）=20．
所以∵ABCD的周长为22cm或20cm．
故答案为22cm或20cm．
【点睛】
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：
①平行四边形两组对边分别平行；
②平行四边形的两组对边分别相等；
③平行四边形的两组对角分别相等；
④平行四边形的对角线互相平分．
三、解答题
4．证明平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.已知（如图）1l∥2l∥3l，
求证：AB DE BC EF
.
【答案】见解析.
【分析】
通过作平行，将问题转化为两个相似三角形的对应边成比例的问题，即可得证．
【详解】
证明：如图，过点E 作直线MN∵AC ，交1l 、3l 于点G 、H ，
∵1l ∵2l ∵3l ，MN∵AC ，
∵四边形ABEG 、BCHE 是平行四边形
∵AB=GE,BC=EH,
且DGH ,GHF GDF DFH ∠=∠∠=∠
∵∵DGE∵∵FHE ， ∵
DE GE AB EF HE BC
== 即AB DE BC EF = 原题得证．
【点睛】
本题考察了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质与判定．通过条件将问题转化为两个相似三角形的问题是解题关键．
5．为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条AB 、BC 、CD 、DE ，做成折线ABCDE ，如图1，且在折点B 、C 、D 处均可自由转出．
（1）如图2，小明将折线调节成50B ∠=︒，85C ∠=︒，35D ∠=︒，判断AB 是否平行于ED ，并说明理由；
（2）如图3，若35C D ∠=∠=︒，调整线段AB 、BC 使得//AB CD 求出此时B 的度数，要求画出图形，并写出计算过程．
（3）若85C ∠=︒，35D ∠=︒，//AB DE ，请直接写出此时B 的度数．
【答案】（1）平行，理由见解析；（2）35°或145°，画图、过程见解析；（3）50°或130°或60°或120°
【分析】
（1）过点C 作CF ∵AB ，根据∵B =50°，∵C =85°，∵D =35°，即可得CF ∵ED ，进而可以判断AB 平行于ED ； （2）根据题意作AB ∵CD ，即可∵B =∵C =35°；
（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∵B 的度数．
【详解】
解：（1）AB 平行于ED ，理由如下：
如图2，过点C 作CF ∵AB ，
∵∵BCF =∵B =50°，
∵∵BCD =85°，
∵∵FCD =85°-50°=35°，
∵∵D =35°，
∵∵FCD =∵D ，
∵CF ∵ED ，
∵CF ∵AB ，
∵AB ∵ED ；
（2）如图，即为所求作的图形．
∵AB∵CD，
∵∵ABC=∵C=35°，
∵∵B的度数为：35°；
∵A′B∵CD，
∵∵ABC+∵C=180°，
∵∵B的度数为：145°；
∵∵B的度数为：35°或145°；（3）如图2，过点C作CF∵AB，
∵AB∵DE，
∵CF∵DE，
∵∵FCD=∵D=35°，
∵∵BCD=85°，
∵∵BCF=85°-35°=50°，
∵∵B=∵BCF=50°．
答：∵B的度数为50°．
如图5，过C作CF∵AB，则AB∵CF∵CD，
∵∵FCD=∵D=35°，
∵∵BCD=85°，
∵∵BCF=85°-35°=50°，
∵AB∵CF，
∵∵B+∵BCF=180°，
∵∵B=130°；
如图6，∵∵C=85°，∵D=35°，
∵∵CFD=180°-85°-35°=60°，
∵AB∵DE，
∵∵B=∵CFD=60°，
如图7，同理得：∵B=35°+85°=120°，
综上所述，∵B 的度数为50°或130°或60°或120°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运用． 6．如图，已知点()A 4,0，()B 0,3，点C 是直线AB 上异于点B 的任一点，现以BC 为一边在AB 右侧作正方形BCDE ，射线OC 与直线DE 交于点P ，若点C 的横坐标为m ．
()1求直线AB 的函数表达式．
()2若点C 在第一象限，且点C 为OP 的中点，求m 的值．
()3若点C 为OP 的三等分点(即点C 分OP 成1：2的两条线段)，请直接写出点C 的坐标．
【答案】（1）3y x 34=-
+；（2）48m 25=；（3）2457,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或963,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭或96147,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭或2493,.2525⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】
（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图，作OG∵BC 于G ，OH∵OB 于H ．只要证明∵OCG∵∵CPD ，利用全等三角形的性质可得OG=CD ，由此构建方程即可解决问题；
（3）在第一象限和第二象限分两种情形，分别构建方程求出m 即可解决问题；
【详解】
解：()1设直线AB 的解析式为()y kx b k 0=+≠，
把()A 4,0，()B 0,3代入得到{4k b 0
b 3+==，
解得343
k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线AB 的解析式为3y x 34
=-+． ()2如图，作OG BC ⊥于G ，OH OB ⊥于H ．
四边形BCDE 是正方形，
BC//ED ∴，
OCG CPD ∠∠∴=，
CO CP =，OGC CDP 90∠∠==， OCG ∴∵CPD ，
OG CD ∴=，
AB 5∴=，
OA OB 12OG AB 5
⋅∴==， CH m =， 4cos BCH cos BAO 5∠∠==
， 5BC m 4
∴=， 5CD m 4
∴=， 512m 45
∴=， 48m 25
∴=． ()3①当点C 中第一象限，OC 2PC =时， OCG ∵CPD ，
OG ∴：CD 2=：1，
5
5
BC m
4
=，
56
m
45
∴=，
24
m
25
∴=，
∵C（24
25
，
57
25
）
②当点C中第一象限，PC2OC
=时，．OCG∵CPD，
OG
∴：CD1
=：2，
24
CD
5
∴=，
5
BC m
4
=，
524
m
45
∴=，
96
m
25
∴=，
∵C（96
25
，
3
25
）
③当点C中第二象限，PC2OC
=时，．OCG∵CPD，
OG
∴：CD1
=：2，
24
CD
5
∴=，
5
BC m
4
=-，
524
m
45
∴-=，
96
m
25
∴=-，
∵C（
96
25
-，
147
25
）.
④当点C中第二象限，OC2PC
=时，OCG∵CPD，
OG
∴：CD2
=：1，
5
5
BC m
4
=-，
56
m
45
∴-=，
24
m
25
∴=-，
∵C（
24
25
-，
93
25
）
综上所述，满足条件的点C坐标为
2457
,
2525
⎛⎫
⎪
⎝⎭
或
963
,
2525
⎛⎫
⎪
⎝⎭
或
96147
,
2525
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
或
2493
,.
2525
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
【点睛】
本题考查一次函数综合题、正方形的性质、锐角三角函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
7．如图在∥ABC中，∥C=90°，AC=3cm，BC=4cm，点P是边BC上由B向C运动（不与点B、C重合）的一动点，P点的速度是1cm/s，设点P的运动时间为t，过P点作AC的平行线交AB与点N，连接AP，（1）请用含有t的代数式表示线段AN和线段PN的长，
（2）当t为何值时，∥APN的面积等于∥ACP面积的三分之一？
（3）在点P的运动过程中，是否存在某一时刻的t的值，使得∥APN的面积有最大值，若存在请求出t的值并计算最大面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）PN=3
4
t，AN =5﹣
5
4
t；（2）当t为
4
3
s时，∵APN的面积等于∵ACP面积的三分之一；（3）t=2
时，∵PAN的面积最大，最大值为3
2
．
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理求出AB，再利用平行线分线段成比例定理，求出PN、BN即可解决问题；
（2）由题意：12•PN•PC ＝13×12
•PC•AC ，推出AC ＝3PN ，由此构建方程即可解决问题； （3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.
【详解】
（1）在Rt∵ABC 中，∵∵C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，
（cm ），
∵PN∵AC ，PB=t ， ∵
PB BC =BN BA =PN AC
， ∵4t =5BN =3
PN ， ∵BN=54t ，PN=34
t ， ∵AN=AB ﹣BN=5﹣54
t ． （2）由题意：12•PN•PC=13×12•PC•AC ， ∵AC=3PN ， ∵3=334⨯
t ， ∵t=43
， ∵当t 为2s 时，∵APN 的面积等于∵ACP 面积的三分之一．
（3）由题意：S ∵APN =
12•PN•PC=12•34t （4﹣t ）=﹣38（t ﹣2）2+32， ∵﹣38
＜0， ∵t=2时，∵PAN 的面积最大，最大值为
32． 【点睛】
本题考查三角形综合题、勾股定理、平行线分线段成比例定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用方程的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
8．西成高铁的开通，使得以前的“蜀道难”变的不再难了，从西安出发的列车，经过4小时左右即可到达成都．周末小华和小亮计划去成都游玩，准备一起去北客站乘车．为了赶时间，他们通过 “滴滴打车”叫了一辆快车前往北客站．如图，是小华和小亮一起去北客站乘坐快车的费用y （元）与行驶路程x （千米）之间的函数图象．
请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）求线段AB 所在直线的函数关系式；
（2）已知该滴滴打车在高峰时期低速行驶时，每分钟加收0.6元，小华和小亮到达北客站时，共付费43.2元，其中低速行驶8分钟，求小华他们的出发地离北客站有多少千米？
【答案】（1） 2.2 3.2y x =+；（2）16千米
【详解】
解：（1）设线段AB 所在直线的函数关系式为y kx b =+，
根据题意，将点()()4,12,9,23A B 代入得
412923k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得 2.23.2k b =⎧⎨=⎩
， ∵线段AB 所在直线的函数关系式为 2.2 3.2y x =+；
（2）根据题意得2.2 3.20.6843.2x ++⨯=，解得16x =，
答：小华他们的出发地到北客站的路程有16千米．。