现浇钢筋混凝土A型楼梯挠度计算分析

现浇钢筋混凝土A型楼梯挠度计算分析
摘要：现浇钢筋混凝土楼梯的挠度计算时一般会忽略踏步刚度，导致计算结果与实际值相比偏大较多。

通过有效的理论的分析，结合有限元模型计算，印证了实际刚度计算分析结果的合理性和准确性，并对实际数据进行拟合，得出楼梯设计中考虑踏步时的刚度计算公式，为工程中计算楼梯挠度提供修正参数。

关键词：混凝土现浇楼梯挠度计算踏步刚度有限元分析挠度折减系数刚度放大系数
Abstract: Calculation of the deflection of the cast-in-place reinforced concrete stairs will generally ignore the stepping stiffness, the calculated results and the actual value is too large more. Through the analysis of the effective theory, combined with the finite element model, confirms the reasonableness and accuracy of the actual stiffness calculated results and the actual data fitting obtained staircase design, consider stepping stiffness formula for the project the calculated the stairs deflection correction parameters.Keywords: place concrete stairs deflection calculation of finite element analysis of the steppingstiffness deflection amplification factor reduction coefficient of stiffness
1引言
在实际工程中，楼梯作为主要的消防疏散通道，是主体结构中非常重要的组成部分，楼梯结构对于主体结构的影响，在汶川地震后已经得到充分的重视。

在部分框架结构中，楼梯的强弱程度甚至会改变主体结构的刚度分布。

在构件设计中，楼梯计算中一般是由挠度来控制的[1]，工程设计人员往往会发现现浇钢筋混凝土楼梯的实际挠度与计算结果不相符，究其原因，主要是计算模型和构件截面的影响。

本文结合两端简支楼梯即国家标准图集11G101-3中所述A型楼梯[2]对此问题进行分析，并给出可靠的分析结果。

2斜板的计算挠度与水平板的挠度计算关系
一般情况下，对于楼梯挠度计算，模型假定是按照水平跨度来考虑，这和楼梯的斜向放置实际上是有区别的，下面先简析平板和斜板计算挠度的不同。

对于水平简支梁如图2.1，其挠度公式为[3][4]
图2.1 水平简支梁示意图
（2.1）
——梁上均布荷载
——梁计算跨度
——梁材料弹性模量
——梁截面惯性矩，以计算
因为实际计算中因为支座条件的不同会导致的不断变化，所以设计人员更习惯用来表示。

对于普通的简支梁
（2.2）
所以（2.3）
下面的公式一般用来表达，但是在实际应用过程中也可以用来表示，注意两者的转换，所以下文中对工程有实际意义的应该是系数，因此文中主要讨论的是与平板相比较的刚度放大系数或者挠度折减系数的计算。

对于斜向板，如图2.2所示，当不断变化，其竖向挠度计算：荷载等效到斜杆上，然后得出垂直于斜杆的荷载，计算出垂直于斜杆的挠度，其竖向分量即为竖向挠度。

图2.2 斜向简支梁示意图
在极小的单元体内，竖向均布荷载为，总值为，等效到斜杆上，沿着斜杆的竖向荷载受杆长变化，总值不变，所以均布荷载为，再将分解成沿着杆件和垂直于杆件的两个力，如图2.3，这样很容易得出垂直于杆件的挠度计算公式：
图2.3 斜向简支梁荷载分解示意
代入挠度公式得出垂直于杆件的挠度（轴向压缩引起的挠度忽略不计）：
（2.4）
所以竖向挠度：（2.5）
对于普通的挠度计算中，多数设计人员习惯按照水平跨度计算挠度，容易忽
视系数。

这样会使得计算结果小于实际值。

对于我们一般的楼梯而言，多数在倾斜角在30度附近，不考虑斜向布置角度时，位移会偏小10%～20%，对于自行车坡道1：4的坡道时，会偏差5%。

3A型楼梯板考虑踏步时，影响其刚度的因素
分析了因为斜板导致的挠度计算差异后，再来考虑截面因素。

从挠度计算公式可以看出，对于构件本身影响挠度的几个因素中，是恒定的，只有与实际几何尺寸有关，可以推测出的变化引起了挠度的变化，利用虚力原理推导出的莫尔法[5]，即弹性体或弹性系统的位移可以按照下式计算：
（3.1）
楼梯可看成是一般的弯曲构件，后两项的影响极小，将挠度计算可简化成下式：
图3.1 踏步示意
按照图3.1，如果将板跨度分成n份，那么[3]
对于第跨内，
，（3.4）
（3.5）
（3.6）
（3.7）
如果足够大，那么对于变化比较小，真正促使整个挠度发生折减的就是考虑踏步刚度后的等效的与不考虑踏步刚度的的变化，与折减系数相关的表达式可以表达成：
（3.8）
（3.9）
（3.10）
所以
由此可以看出影响现浇楼梯挠度计算时可以考虑的折减系数的主要两个参数是：和。

从概念上讲挠度折减系数随着的增大而减小，即同样的踏步，越大，折减系数越大，即踏步对整体刚度影响越小；也就是同样的板厚，越大，折减系数越小，即踏步对整体刚度影响越大。

同时，对于相同的，随着踏步倾斜角越趋近于45o，踏步对斜板的刚度影响越大，折减系数越小。

利用有限元软件Ansys[6]进行计算，用的是单元plane42，按照保持斜边305mm不变（一般踏步宽260mm，高160mm，其斜边长305mm），
图3.2 有限元模型
对于不同的板厚，当改变其楼梯倾斜角度时，与普通平板相比其挠度折减系数如表3.1。

表3.1 不同板厚的A型楼梯当踏步斜边相同、倾斜角变化时与普通平板相比时的挠度折减系数
从表中数据可以看出，当斜边不变，相同的板厚其倾斜角越大，其挠度计算时折减系数也就越大，即踏步对刚度的影响越小；当板厚越大，相同的倾斜角下其板厚越大，其挠度计算时折减系数也就越大，即踏步对刚度的影响越小。

其它数据不一一提供，根据上述数据进行公式拟合，可以得出
（3.11）
——梯板厚度
——踏步斜向长度，——踏步宽度——踏步高度
——楼梯倾斜角度，
为验证公式的正确性，以斜边定值为351mm，板厚80mm，150mm，300mm 为例分别计算，如表3.2所示。

表3.2 A型楼梯利用公式计算的挠度折减系数与模型计算值误差分析
误差基本上在2%之内，能够满足工程计算的要求。

综上，A型斜向梯板的挠度计算公式可用如下公式表示：
（3.12）
（3.13）
（3.14）
式中所示均为原始数据，即水平跨度、梯板实际厚度。

公式中体现的是挠度折减系数，实质上也可以理解为因为刚度的放大而导致的折减，公式变换后：
（3.15）
而是因为等效厚度的增大，此处的等效厚度仅适用于刚度，而不适用于强度，强度应该由最薄处也就是梯板的原始厚度计算。

所以：（3.16）
根据以上公式，可以计算出常见的楼梯挠度折减系数，即式3.13中的，如表3.3所示。

表3.3 常见A型楼梯挠度折减系数
利用一些软件计算楼梯挠度的时候，楼梯刚度不够，可以考虑踏步刚度的影响。

4小结
根据以上讨论，可以得出以下结论：
楼梯计算挠度时，必须考虑角度，当考虑踏步刚度影响时，其挠度计算折减系数可参照公式3.13确定，在规范规定的倾斜角度下，A型楼梯折减系数可参考表3.3；
楼梯的挠度计算是在正常使用状态下计算的，可以考虑其踏步刚度，所以本文提供的等效厚度计算公式是适用的。

对于极限状态的计算即承载力计算，承载力是由最小截面控制的，不可考虑等效厚度。

参考文献
[1]GB 50010-2010混凝土结构设计规范[S]. 北京：中国建筑工业出版社2011.
[2]中国建筑标准设计研究院编. 11G101-2 混凝土结构施工图平面整体表示方法制图规则和构造详图(现浇钢筋混凝土板式楼梯)[S]. 北京：中国计划出版社. 2011.
[3]刘鸿文编. 材料力学[M]. 北京：高等教育出版社. 2005.
[4]龙驭球包世华编. 结构力学教程[M]. 北京：高等教育出版社. 1998
[5]范钦珊材料力学编. 材料力学教程[M]. 北京：高等教育出版社. 1996
[6]Ansys公司,Ansys使用手册[M].北京：Ansys公司.2000.
注：文章内所有公式及图表请用PDF形式查看。