北师大版高中数学选修2-1模块综合测评1.docx

模块综合测评(一)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“若p则q”的逆命题是( )
A．若q则p B．若綈p则綈q
C．若綈q则綈p D．若p则綈q
【解析】根据原命题与逆命题之间的关系可得：逆命题为“若q则p”，选A.
【答案】 A
2．已知命题p：在直角坐标平面内，点M(sin α，cos α)与N(1,2)在直线x＋y－2＝0的异侧；命题q：若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角．以下命题中为真命题的是( )
A．p或q真，p且q真B．p或q真，p且q假
C．p或q假，p且q真D．p或q假，p且q假
【解析】∵sin α＋cos α－2≤2－2＜0，∴点M(sin α，cos α)在直线x＋y－2＝0的左下侧．又∵1＋2－2＞0，∴N(1,2)在直线x＋y－2＝0的右上侧，故命题p为真．若向量a，b满足a·b＞0，则向量a，b的夹角为锐角，显然为假．因为当a，b同向时，设a·b＝1＞0，但是a，b夹角为0，所以命题q为假．
【答案】 B
3．设p：x＜－1或x＞1，q：x＜－2或x＞1，则綈p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】綈p：－1≤x≤1；綈q：－2≤x≤1，显然{x|－1≤x≤1}{x|－2≤x≤1}，所以綈p是綈q的充分不必要条件．
【答案】 A
4．已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 等于( )
A ．4
B ．2
C ．4或－4
D ．2或－2
【解析】 由已知可设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由抛物线的定义知2＋p
2
＝4，∴p ＝4.∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式得m 2＝16，∴m ＝±4. 【答案】 C
5．已知E 、F 分别是正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中BB 1、DC 的中点，则异面直线
AE 与D 1F 所成的角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．90° 【解析】 以A 1为原点，A 1B 1→
、A 1D 1→
、A 1A →
为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．不妨设正方体的棱长为2，则A (0,0,2)，E (2,0,1)，D 1(0,2,0)，F (1,2,2)，AE →＝(2,0，－1)，D 1F →＝(1,0,2)，所以AE →·D 1F →
＝0，所以AE ⊥D 1F ，即AE 与D 1F 所成的角为90°.
【答案】 D
6．抛物线y 2
＝4x 的焦点到双曲线x 2
－y 2
3
＝1的渐近线的距离是( )
【导学号：32550101】
A.12 B ．
32
C ．1
D ． 3
【解析】 由题意可得，抛物线的焦点为(1,0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，即±3x －y ＝0，由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离d ＝
|±3－0|2＝3
2
. 【答案】 B
7．如图1所示，空间四边形OABC 中，OA →
＝a ，OB →
＝b ，OC →
＝c ，点M 在OA
上，且OM ＝2MA ，点N 为BC 的中点，则MN →
等于( )
图1
A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c
C.12a ＋12b －12c D ．－23a ＋23b －12
c
【解析】 连接ON ，由向量加法法则，可知MN →
＝MO →
＋ON →
＝－23OA →＋12(OB →＋OC →)
＝－23a ＋12(b ＋c )＝－23a ＋12b ＋1
2
c .故选B.
【答案】 B
8．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则
线段MF 1的中点P 的轨迹是( )
A ．椭圆
B ．圆
C ．双曲线的一支
D ．线段
【解析】 ∵P 为MF 1中点，O 为F 1F 2的中点，
∴|OP |＝1
2|MF 2|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，
∴|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋1
2|MF 2|＝a .
∴P 的轨迹是以F 1，O 为焦点的椭圆． 【答案】 A
9．若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )
A.x 24－y 24＝1
B ．y 24－x 24＝1
C.y 24－x 2
8
＝1 D ．x 28－y 2
4
＝1
【解析】 由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知a ＝2，
∴双曲线的标准方程为y 24－x 2
b
2＝1.
根据题意，得2a ＋2b ＝2×2c ，即a ＋b ＝2c .
又∵a 2
＋b 2
＝c 2
，且a ＝2，⎩⎨⎧
a ＋
b ＝2
c ，
a 2
＋b 2
＝c 2
，
a ＝2，
解得b 2＝4，
∴适合题意的双曲线方程为y 24－x 2
4＝1，故选B.
【答案】 B
10．正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是A 1C 1的中点，则直线AD 与平面B 1DC 所成角的正弦值为( )
A.35 B ．45 C.34
D ．
55
【解析】 如图，取AC 的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系． 设各棱长为2，
则有A (0，－1,0)，D (0,0,2)，C (0，1,0)，B 1(3，0,2)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面B 1CD 的法向量， 则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
n ·CD →＝0，n ·CB 1
→＝0⇒⎩⎨
⎧
－y ＋2z ＝0，
3x －y ＋2z ＝0
⇒n ＝(0,2,1)．
∴sin 〈AD →
，n 〉＝
AD →·n
|AD →
||n |
＝45
. 【答案】 B
11．如图2，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2
4＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别
是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
图2 A. 2 B． 3
C.3
2
D．
6
2
【解析】由椭圆可知|AF1|＋|AF2|＝4，|F1F2|＝2 3.
因为四边形AF1BF2为矩形，
所以|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝12，
所以2|AF1||AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)2－(|AF1|2＋|AF2|2)＝16－12＝4，
所以(|AF2|－|AF1|)2＝|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|＝12－4＝8，所以|AF2|－|AF1|＝22，
因此对于双曲线有a＝2，c＝3，
所以C2的离心率e＝c
a
＝
6
2
.
【答案】 D
12．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E 相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则双曲线E的方程为( )
A.x2
3
－
y2
6
＝1 B．
x2
4
－
y2
5
＝1
C.x2
6
－
y2
3
＝1 D．
x2
5
－
y2
4
＝1
【解析】 由已知得k AB ＝
－15－0
－12－3
＝1.
设E ：x 2a 2－y 2
b 2＝1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22
b 2＝1， 则
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)
a 2
－
(y 1－y 2)(y 1＋y 2)
b 2
＝0，
而⎩⎨
⎧
x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，
所以y 1－y 2x 1－x 2＝4b 25a 2＝1，b 2＝54
a 2.①
又c 2＝a 2＋b 2＝9，②
联立①②解得a 2＝4，b 2＝5，∴E 的方程为x 24－y 2
5＝1.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．命题“任意x ∈R ，都有x 2＋x －4＞0”的否定________． 【解析】 全称命题的否定为特称命题． 【答案】 存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0－4≤0.
14．已知命题p ：函数y ＝(c －1)x ＋1在R 上单调递增；命题q ：不等式x 2
－x ＋c ≤0的解集是∅.若p 且q 为真命题，则实数c 的取值范围是________．
【解析】 p 且q 为真命题⇒p 是真命题，q 是真命题．
①p 是真命题⇒c －1＞0⇒c ＞1，②q 是真命题⇒Δ＝(－1)2
－4c ＜0⇒c ＞14
，
故p 且q 为真命题⇒c ＞1⇒c ∈(1，＋∞)．
【答案】 (1，＋∞)
15．如图3所示，正方形ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点
E 到平面ABC 1D 1的距离是________．
图3
【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，∴A (1,0,0)，B (1，1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E ⎝
⎛
⎭⎪⎫1，12，1.
设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )．∴n ·AB →
＝0，且n ·BC 1→
＝0，即(x ，
y ，z )·(0,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·(－1,0,1)＝0.∴y ＝0，且－x ＋z ＝0，令x ＝1，则z ＝1，∴n ＝(1,0,1)．
∴n 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
22，0，22，又EC 1→＝⎝
⎛⎭⎪⎫－1，12，0，∴点E 到平面ABC 1D 1的距离为|EC 1→
·n 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎝
⎛⎭⎪⎫－1，12，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，22＝22.
【答案】
22
16．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过点P (－1,0)的直线l 交抛物线C 于两点A ，B ，点Q 为线段AB 的中点，若|FQ |＝2，则直线的斜率等于________．
【解析】 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，联立⎩⎨⎧
y ＝k (x ＋1)，
y 2
＝4x ，
消去y 得
k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，
由根与系数的关系知，x A ＋x B ＝－2k 2－4
k 2
，
于是x Q ＝
x A ＋x B
2
＝2
k
2－1，
把x Q 带入y ＝k (x ＋1)，得到y Q ＝2
k
，
根据|FQ |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2k 2＝2，解出k ＝±1. 【答案】 ±1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知命题p ：不等式|x －1|＞m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．
【导学号：32550102】
【解】 由于不等式|x －1|＞m －1的解集为R ， 所以m －1＜0，m ＜1；
又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 所以5－2m ＞1，m ＜2.
即命题p ：m ＜1，命题q ：m ＜2.
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 和q 中一真一假． 当p 真q 假时应有⎩⎨
⎧
m ＜1，
m ≥2，
m 无解．
当p 假q 真时应有⎩⎨
⎧
m ≥1，
m ＜2，
1≤m ＜2.
故实数m 的取值范围是1≤m ＜2.
18．(本小题满分12分)已知p ：{x |x ＋2≥0且x －10≤0}，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
【解】 p ：{x |－2≤x ≤10}，綈p ：A ＝{x |x ＜－2或x ＞10}， 綈q ：B ＝{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，m ＞0}．
因为綈p 是綈q 的必要不充分条件， 所以綈q ⇒綈p ，綈p 綈q .所以B
A .
分析知，B
A 的充要条件是
⎩⎨⎧
m ＞0，
1－m ≤－2，1＋m ＞10
或⎩⎨⎧
m ＞0，
1－m ＜－2，1＋m ≥10，
解得m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)．
19．(本小题满分12分)如图4所示，已知PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，
PA ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：
图4
(1)MN ∥平面PAD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC . 【证明】
如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Axyz .设PA ＝AD ＝a ，AB ＝b .
(1)P (0,0，a )，A (0,0,0)，D (0，a,0)，C (b ，a,0)，B (b,0,0)． 因为M 、N 分别为AB ，PC 的中点， 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫b 2，a 2，a 2.
所以MN →
＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，a 2，a 2，
AP →
＝(0,0，a )，AD →
＝(0，a,0)， 所以MN →
＝12AD →＋12
AP →
.
又因为MN ⊄平面PAD ，所以MN ∥平面PAD . (2)由(1)可知：P (0,0，a )，C (b ，a,0)， M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b 2
，0，0，D (0，a,0)． 所以PC →
＝(b ，a ，－a )，PM →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，0，－a ，PD →
＝(0，a ，－a )．
设平面PMC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 1·PC →＝0n 1
·PM →＝0
⇒⎩⎨⎧
bx 1
＋ay 1
－az 1
＝0，
b
2x 1
－az 1
＝0，
所以⎩⎨
⎧
x 1＝2a b z 1，y 1
＝－z 1
.
令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．
设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨
⎪⎧
n 2·PC →＝0，n 2
·PD →＝0，
⇒⎩⎨
⎧
bx 2＋ay 2－az 2＝0，
ay 2－az 2＝0，
所以⎩⎨
⎧
x 2＝0，y 2＝z 2.
令z 2＝1，则n 2＝(0,1,1)．
因为n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0，所以n 1⊥n 2.所以平面PMC ⊥平面PDC .
20．(本小题满分12分)已知点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足PA →
·PB →
－y 2＋8＝0.
(1)求动点P 的轨迹方程；
(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．
【解】 (1)由题意可知，PA →
＝(－x,4－y )，PB →
＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0，∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程． (2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧
y ＝x ＋2，x 2
＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，
∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4， ∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝(x 1＋2)(x 2＋2)x 1x 2＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4x 1x 2＝－4＋4＋4
－4
＝－1，
∴OC ⊥OD .
21．(本小题满分12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过F
的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →
.
(1)求椭圆C 的离心率； (2)如果|AB |＝
15
4
，求椭圆C 的方程． 【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.
联立⎩⎨⎧
y ＝3(x －c )，x 2a 2
＋y
2b 2
＝1，
得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.
解得y 1＝－3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(c －2a )
3a 2＋b 2.
因为AF →
＝2FB →
，所以－y 1＝2y 2. 即3b 2(c ＋2a )3a 2＋b 2＝2·－3b 2(c －2a )
3a 2＋b 2
.
得离心率e ＝c a ＝23.
(2)因为|AB |＝
1＋13|y 2－y 1|，所以23·43ab 23a 2＋b
2＝154. 由c a ＝23得b ＝53a ，所以54a ＝15
4，得a ＝3，b ＝ 5. 椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5
＝1.
22．(本小题满分12分)如图5①，正三角形ABC 的边长为2a ，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别为AC 和BC 边上的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角
A ­DC ­
B ，如图5②.
① ②
图5
(1)试判断翻折后的直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角B ­AC ­D 的余弦值； (3)求点C 到平面DEF 的距离．
【解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (a,0,0)，A (0,0，a )，C (0，3a,0)，F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
，32
a ，0，E ⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，32
a ，a 2.
(1)AB →＝(a,0，－a )，EF →
＝⎝
⎛⎭⎪⎫a
2
，0，－a 2＝12(a,0，－a )，
∴EF →
＝12
AB →
.∴EF →∥AB →.∴EF ∥AB .
又AB ⊄平面DEF ，EF ⊂平面DEF ，∴AB ∥平面DEF . (2)易知DB →
＝(a,0,0)是平面ADC 的一个法向量． 设平面ACB 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 而AB →
＝(a,0，－a )，BC →
＝(－a ，3a,0)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
n ·AB →＝xa －az ＝0，
n ·BC →＝－ax ＋3ay ＝0.
令x ＝1，得z ＝1，y ＝
33，∴平面ACB 的一个法向量为n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1，33，1. ∴n ·DB →＝a .∴cos 〈n ，DB →
〉＝
a a ·
1＋13
＋1
＝217
.
∴二面角B ­AC ­D 的余弦值为
217
. (3)平面DEF 内的向量DE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，3
2a ，0.
设平面DEF 的一个法向量为m ＝()x ，y ，z ，则
⎩⎪⎨⎪
⎧
m ·DE →＝32ay ＋a
2
z ＝0，
m ·DF →＝a 2x ＋32ay ＝0.
令y ＝3，则z ＝－3，x ＝－3.
∴平面DEF 的一个法向量m ＝(－3，3，－3)． 又DC →
＝(0，3a,0)， ∴DC →·m ＝3a .
∴点C 到平面DEF 的距离d ＝
|DC →
·m |
|m |
3a
9＋3＋9＝
21
7
a.
＝。