高等数学基础版习题

不定积分是一组导数相同的原函数，定积分 则是一个数值。
求一个函数的原函数，叫做求它的不定积分；
求一个函数相应于闭区间的一个带标志点划 分的黎曼和关于这个划分的参数趋于零时的 极限，叫做这个函数在这个闭区间上的定积 分。
整理课件
下面主要讲下不定积分的求解；求定积 分，可先求不定积分，再利用牛顿-莱 布尼兹公式，可得结果。
1
整理课件
3、分部积分法
d d
(1) Pm (x)为m次多项式， eax ,sin axቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ cos ax (2) ln x, arctan x, arcsin x， Pm (x) (3) eax， cos x,sin x (3)会出现循环，注意， 选取的函数不能改变。
I1
认真观察被积函数，找特点，应用 恰当的方法，再求解
•1、直接积分法。
所谓直接积分法，就是被积函数比较简单的情况下 ，可直接利用基本积分公式（3.1-P131）或积分基 本性质（3.2-P133）（这两个一定要记牢）求解或 者稍微拆分变型一下再求积分。
整理课件
习题3.1——1 求不定积分
3
1 x dx
0
2
2 x2d cos x
0
2
2
x
2
cos
x 2
0
2
0
x cos
x 2
dx
x
80 xd sin 2
8
x
sin
x 2
0
0
sin
x 2
dx
8
16 cos x 2
0
8 16
整理课件
4
1
0
x
arctan
xdx
1 1arctan xdx2
20
1 2
x2
arctan
x
1 0
1 2
ln
x2
2x
2
2
d x 1 x 12 1
1 ln x2 2x 2 2 arctan x 1 2 整理课件
整理课件
令u 4 x
整理课件
2 sec xdx
3
1 x dx
9 4x2
4 sin nxcosnxdx
整理课件
第二换元积分法
第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。 常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：
(1) a2 x2：x a sin t；x a cos t (2) x2 a2：x a tan t；x a cot t； (3) x2 a2：x a sec t；x a csc t；
可先求 tan 2 xdx
我们知道 tan 2 x sin 2 x 1 cos2 x sec2 x 1 cos2 x cos2 x
tan 2 xdx sec2 x 1 dx sec2 xdx dx tan x x c
4 tan 2
0
xdx
tan
x
x
4 0
1
4
6
习题 3.4——2 求不定积分
3
arctan 1 x2
x
dx
令u
arcsin
x, 则du
1 1 x2
dx
arctan x 1 x2 dx
udu
1u 2 2
c
1 2
arcsin
x2
c
整理课件
8 sec2 x tan3 xdx
、令u tan x,则du sec2 xdx
sec2 x tan3 xdx u3du 1 u4 c 1 tan4 x c
1 2
1 x2d arctan x
0
1 1 x2 dx
8 2 0 1 x2
8
1 2
x
arctan
x
1 0
1
42
整理课件
习题3.4——7 求不定积分
2
x2
x
1 2x
2
dx
=
x2
x-2+1 2x
2
dx
1 d x2 2x 2
1
2 x2 2x 2 dx 2 x2 2x 2 dx
32
3 sin x cos3
0
x
1
2 u 3du
1
1 u4 4
1
2 1
1 4
1 2
4
1
15 64
41e x
dx 1 ln x
令u ln x, du 1 dx,1 0, e 1 x
e
1x
dx
1
1 ln x 0
du 2 1 u
1
u
1 0
2
2 1
整理课件
试做以下几题
1 tan xdx
1 3
dx
4 1 x 1
令t 1 x即x 1 t2 ,则dx 2tdt, 3 1 ,1 0 42
1 3 4
dx 1 x 1
0 2tdt
1 2
t 1
2
0 1 2
t
t 1
dt
2
0 1 2
1
t
1
1
dt
2 t
ln
t
1
0 1 2
1 2 ln
1 2
1 2 ln 2
12 ln2 ex 1dx 0
tan2 t 1 tan2 t
3
1
3 c
x2
1 x2
15
x 1dx x
令t x 1即x t 2 1, dx 2tdt
x 1dx
x
t
2t 2
2
dx 1
2
1
t
2
1
1
dx
2t
2
arctan
t
c
2 x 1 2 arctan x 1 c
整理课件
习题3.4——4 求定积分
11
令t ex 1,即ex t 2 1, dx 2tdt , 0 0, ln 2 1 t2 1
ln2 0
ex 1dx
1 2t 2dt 0 t2 1
2
1 0
1
t
2
1
1
dt
2t
arctan
t
1 0
2 1
4
2
2
整理课件
试做以下几题
1
dx x2 a2
2 x2
dx 1 x2
3
x
dx xn
1 0
x2 x2
1dx 1
11 0
x
2 2
1
dx
1
dx
0
1 0
x
2 2 1
dx
x
1 0
2
arctan
x
1 0
1
2
整理课件
试做以下几题
1 2csc2x sec x tan x
2
cos 2x cos2 x sin2
x
dx
3
x
x4 2
dx 1
4
x2
1
a2
dx
整理课件
2、换元法
3.4有详细介绍。这儿主要用习题说明下。 第一换元积分法，也叫凑微法，就是不能直接用基 本积分公式，我们凑出一个满足基本积分公式的复 合被积函数。
u 1 u
1 u
u
1
1
du
ln
u
ln
1 u
c
ln x4 ln 1 x4 c 4 ln x ln 1 x4 c
整理课件
求定积分用换元法时特别要注意自变量之间的对应关系
以及范围。
习题3.4——3 求定积分
2 3 sin x cos3 x 0
令u cos x, du sin xdx,0 1, 1
整理课件
习题3.4——2 求不定积分
14
1 x2 x4
dx
令x tan t; dx sec2 tdt
1 x2 x4
dx
sec3 tan 4
t t
dt
cos t sin4 t
dt
1 sin 4
t
d
sin
t
1 sin t 41
4 1
c
1 3 sin 3
t
c
1 3 sin 3
t
c
3
1
3 c
(4)n ax b：n ax b t
(5)n ax b：n ax b t cx d cx d
(6)当被积函数含有x m ax2 bx c，有时倒代换x 1也奏效。
整理课件
t
用第二类换元法中的那些变换形式。 像一些简单的，应灵活运用。 如：同时出现 x和 1 x时，可令x tan2 t； 同时出现 x和 1 x时，可令x sin2 t或 cos2 t； 同时出现 1 x2和arcsin x时，可令x sint； 同时出现 1 x2和arccos x时，可令x cost
4
4
二、令u sec x, du sec x tan xdx
sec2 x tan3 xdx u u2 1 du 1 u4 1 u2 c 1 sec4 x 1 sec2 x c
42
4
2
对不对？？？
11
x
dx
1 x4
令u x4 , du 4x3dx
dx
x 1 x4
1 4
du
x2
(
1 x2
1 )dx x
1 x2
dx
1 x
dx
1 x
ln
x
c
5
2 1
x2 x
dx
1
1
1 x
2
dx
dx
1
1 x2
dx
x
arctan
x
c
8
1
dx cos
2x
1
dx 2 cos 2
x 1
1 2
dx cos 2
x
1 2
sec
2
xdx
1 2
tan x c
整理课件
习题3.3——2 求定积分
3 4 tan 2 xdx 0
eax
sin
bx dx
eax a2 b2
(a sin
bx
b cos bx)
C
I2
eax
cos bx
dx
eax a2 b2
(a cos bx
b sin
bx)
C
整理课件
习题3.4——5 求不定积分
1 x 1exdx x 1exdx x 1dex x 1e x e xd x 1
x 1e x e x c
xe x c
4 ln 2 xdx x ln 2 x xd ln 2 x x ln 2 x 2 ln xdx
x ln2 x 2 x ln x dx
x ln 2 x 2x ln x 2x c
整理课件
习题3.4——6 求定积分
3 x2 sin x dx