高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.2“杨

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

1．杨辉三角的特点

(1)在同一行中，每行两端都是__，与这两个1等距离的项的系数____． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的__，即________． 2．二项式系数的性质

(1)对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与____________的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n

n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －r n .

(2)增减性与最大值：当k ＜

n ＋1

2

时，二项式系数是逐渐____的，由对称性可知它的后

半部分是逐渐____的，且在中间取到最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数____取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数______________相等，且同时取到最大值．

3．各项二项式系数的和

(1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n

n ＝__.

(2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5

n ＋…＝__. 预习交流

(1)(1＋2x )2n

的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )． A ．第n －1项 B ．第n 项 C ．第n ＋1项 D ．第n 项，第n ＋1项

(2)(x ＋1)10

的展开式中的各项系数和是( )．

A ．0

B ．1

C ．－1

D ．210

答案：

1．(1)1 相等 (2)和 C r n ＋1＝C r －1n ＋C r

n

2

．(1)首末两端等距离 (2)增大 减小 2C n n 12C n n

-，12C

n n

+

3．(1)2n

(2)2n －1

预习交流：(1)提示：C (2)提示：D

一、与杨辉三角有关的问题

如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)等于( )．

A ．144

B ．146

C ．164

D ．461 思路分析：该数列从第3项开始每隔一项等于前两项的和．解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和．

下列是杨辉三角的一部分．

(1)你能发现组成它的相邻两行数有什么关系吗？ (2)从图中的虚线上的数字你能发现什么规律？

解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数

据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系．然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解．注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察．

二、二项式系数的性质

(1＋2x )n

的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．

思路分析：求(a ＋bx )n

的展开式中系数最大的项，通常用待定系数法，即先设展开式中

的系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，再设第k ＋1项系数最大，则由不等式组⎩⎪⎨

⎪⎧

A k ＋1≥A k ，

A k ＋1≥A k ＋2，

确

定k 的值．

1．在(a －b )20

的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( )．

A ．第15项

B ．第16项

C ．第17项

D ．第18项

2．若⎝

⎛⎭

⎪⎫x 3＋1x 2n (n ∈N *

)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为

( )．

A ．462

B ．252

C ．210

D ．10

(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数

时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．

三、二项式系数、展开式系数的求和

1．(2012山东临清三中模拟，理14)设(3x 13＋x 12)n

的二项展开式中各项系数之和为t ，

二项式系数和为h ，若h ＋t ＝272，则二项展开式含x 2

项的系数为__________．

思路分析：本题主要考查二项式系数与各项系数的区别，用赋值法求各项系数和，利用公式求二项式系数和．

2．设函数f (x ，y )＝⎝

⎛⎭

⎪⎫1＋m y x (m ＞0，y ＞0)．若f (4，y )＝a 0＋a 1y ＋a 2y 2＋a 3y 3＋a 4y

4，且a 0＋a 1

＋a 2＋a 3＋a 4＝81，则a 0＋a 2＋a 4＝__________.

思路分析：由a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝81表示的为各项系数和，可令y ＝1求得m 值．a 0＋a 2＋a 4为奇数项系数和，可令y ＝－1，结合已知求出．

1．(2012北京昌平期末考试，理13)已知(x －m )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7

的展开式中x 4的系数是－35，则m ＝__________，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝__________.

2．已知(2x －1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n

展开式中偶数项的二项式系数和为32，若偶

数次项的系数和为h ，奇数次项的系数和为t ，则h 2－t 2

＝__________.

赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有

利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项．一般地，对于多项式f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n

，各项系数和为f (1)，奇次项系数和为12[f (1)

－f (－1)]，偶次项系数和为1

2

[f (1)＋f (－1)]，a 0＝f (0)．

答案：

活动与探究1：C 解析：由题图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 2

3，

第4项是C 13，…，第15项是C 29，第16项是C 1

9.

∴S (16)＝C 12＋C 22＋C 13＋C 23＋…＋C 19＋C 2

9

＝(C 12＋C 13＋…＋C 19)＋(C 22＋C 23＋…＋C 2

9)

＝(C 22＋C 12＋C 13＋…＋C 19－C 22)＋(C 33＋C 23＋…＋C 2

9) ＝C 210＋C 3

10－1＝164.

迁移与应用：解：(1)杨辉三角的两条腰都是由数字1组成的，其余的数都等于它肩上的两个数之和．