高考数学二轮专题复习知能专练六三角函数的图象与性质5.doc

知能专练（六） 三角函数的图象与性质

一、选择题

1．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2

B.2π3

C ．π

D ．2π

解析：选C ∵y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴最小正周期T ＝2π

2

＝π.

2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )

A ．f (x )的一个周期为－2π

B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π

3对称

C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π

6

D ．f (x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2，π单调递减 解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝

8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝

cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝

⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函

数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭

⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 错误．

3．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x

1－cos x

的部分图象大致为( )

解析：选 C 令函数f (x )＝

sin 2x

1－cos x

，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝

－2x 1－

－x ＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x

1－cos x

为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝

sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π

1－cos π

＝0，故排除A 、D ，选C.

4．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则

sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ

|tan θ|的值是( )

A ．1

B ．－1

C ．3

D ．4

解析：选B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋

cos θ|cos θ|＋

tan θ

|tan θ|

＝－1＋1－1＝－1.

5．(2017·嘉兴模拟)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<

π

2

在区间⎣

⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点( )

A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

2，纵坐标不变

B ．向左平移π

3

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

2，纵坐标不变

D ．向左平移π

6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

解析：选A 由题意知，A ＝1；由2πω＝5π6＋π6，得ω＝2；由2×π3－π62＋φ＝π

2＋2k π(k

∈Z)，0<φ<π2，得φ＝π3，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.只要把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位

长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．

6．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫5π8＝

2，f ⎝

⎛⎭

⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )

A ．ω＝23，φ＝π

12

B ．ω＝23，φ＝－11π

12

C ．ω＝13，φ＝－11π

24

D ．ω＝13，φ＝7π

24

解析：选A 法一：由f ⎝

⎛⎭

⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①

由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，② 由①②得ω＝－23＋4

3

(k ′－2k )．

又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝2

3.

又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π

12.选项A 符合．

法二：∵f ⎝

⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝

⎛⎭⎪⎫11π8

－5π8＝3π，

∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫2

3

x ＋φ

. 由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.

又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π

12.故选A.

二、填空题