《高等数学》复习重点.doc

第一部分、《基础知识》
一、整式运算
1. 整式加减法（合并同类项）
2. 整式乘法与因式分解
（1）法则：nb na mb ma b a n b a m b a n m +++=+++=++)()())(( 如：6)62()3()3)(2(22--=-+-=-+x x x x x x x （2）乘法公式：
2
22222)())((b ab a b a b a b a b a +±=±-=-+ 如：25)5)(5(2-=-+x x x ，96)3(22+-=-x x x ，168)4(22++=+x x x （3）因式分解（实际上是整式乘法的逆运算） A.提取公因式法。

如：)2(22
2
2
2x xe e x xe x x x -=- B.公式法。

如：)2)(2()2(),
1)(1(122+-=--+=-x x x x x x
C.十字相乘法，如：)3)(2(652--=+-x x x x 3. 整式除法 (1)整除：
6
1
)
6)(1(1653
3
)
3)(3(3922-=+-+=+---=+-+=+-x x x x x x x x x x x x x （2）带余除法：
1
1111111111222++-=+++-=++-=+x x x x x x x x x 1
111223+--=++x x x x x
二、分式运算：关键在于通分和约分
1. 通分：①同分母分式相加；②异分母分式相加减；③整式与分式相加减； ①同分母分式相加:分母不变，分子相加减。

22
221)31()1(13111-=--=--++=--+-+x x
x x x x x x x ②异分母分式相加减
222222222222)
1(4)1(22)1()1(2)1(2212x x x x x x x x +=+-+++=+-++ ③整式与分式相加减
2
32322221111)1(1x x x x x x x x x x x x x x +=+-+=+-++=+- 2. 约分（主要在分式乘除运算中使用） 三、解方程与解方程组 1.解方程举例:
3
,1,0)3)(1(,0322,0)2(,0442,2,0)2)(2(,0421********=-==-+=--===-=+-=-==+-=-x x x x x x x x x x x x x x x x
2.解方程组举例 （1）代入消元法：
⎩⎨⎧==⎩⎨
⎧=-==-==-+=-+=-+⎩⎨
⎧=+-=0
1,322,2,0)1)(2(0
21121)2(1)1(1221121222y x y x x x x x x x x x y x x y 方程组的解为：于是，）得：）代入（解：把（ 由此可得，抛物线12
-=x y 与直线1=+y x 的交点为（-2，3）和（1，0）。

（2）加减消元法
⎩⎨
⎧=--=--)
2(006.001.06)1(001.006.08 y x y x
解：将原方程化为
⎩⎨
⎧====-=+=++⎩⎨
⎧=+=+80
120120,6005)5()3()5(200140077)4()3()4(6006)3(8006y x x x y x y x y x y x 原方程组的解为：得：得：
四、解不等式与不等式组 五、幂的运算
ab b a b
a b a b
a b a x x x x
x x
x x ===⋅-+)(;;
六、指数运算
x
x x x x x b a b a ab b a ⎪⎭
⎫ ⎝⎛==,
)( 七、对数运算
x n x y x y
x
y x xy n ln ln ,ln ln ln
,ln ln ln =-=+=
八、三角函数基本公式 1.同角三角函数基本公式
x
x x x
x
x x x x
x x x x x x x x x sin cos cot cos sin tan 1
sec cos csc cot 11csc sin sec tan 11cot tan 1cos sin 222222=
=
==+==+==+
2.倍角公式：
2
2cos 1sin sin 212cos 22cos 1cos 1cos 22cos sin cos 2cos ,cos sin 22sin 222222x
x x x x
x x x x
x x x x x -=
⇔-=+=
⇔-=-== 3.特殊角的三角函数值
x 0 6
π
4
π
3
π
2
π
π
sinx 0 2
1 2
2 2
3 1 0 cosx 1 23 2
2
2
1 0
-1 tanx 0
33 1 3 ∞
cotx
∞
3
1
3
3 0
∞
九、求极限的基本方法（10种基本方法）
1.极限值等于函数值)()(lim 00
x f x f x x =→，如：2
11112112lim 1
=+-=+-→x x x
2.观察法，如：
2
arctan lim ,2
arctan lim ln lim ,ln lim ,lim ,0lim ,01
lim
0π
π
-
==
+∞=+∞=+∞===-∞
→+∞
→→+∞→+∞→-∞→∞→+
x x x x e e x x x x x x x x x x
3.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>∞=<=++++++--∞→m
n m n b a m
n b x b x b a x a x a m m m n n n
x .,,0lim 00
1101
10
∞=++-=++-=++-∞→∞→∞→1
132lim 21
132lim 01
132lim 3243332x x x x x x x x x x x x
4.出现
型时，分子分母要有理化或约分。

如： 12
11lim 2)11(lim )
11)(11()
11(lim
11lim
)2(6132lim )3)(3()2)(3(lim 965lim )1(000
33223=-++=-++=-++--+-++=--+=+-=+---=-+-→→→→→→→x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x
5.利用重要极限公式1sin lim 0=→x
x
x 求极限，如：
2
111lim 1)1sin(lim )1)(1()1sin(lim 1)1sin(lim
11121=
+--=+--=--→→→→x x x x x x x x x x x x
6.利用重要极限公式e x x
x =+→1
)1(lim 求极限，如：
2
2
21
1
31
313])
21(lim [)21(lim ])31
1(lim [)311(lim ---→→∞→∞→=-=-=+=+e x x e x x x x x
x x x x x
7.利用无穷小的性质求极限，如：
01arctan lim ,01sin lim 2
02
0==→→x
x x x x x 8.利用等价无穷小替换求极限，如： 常用的无穷小量替换：
.
2
1
~cos 10);1ln(,1,arctan ,arcsin ,tan ,sin ~02x x x x e x x x x x x x -→+-→时，时，
2326lim 31sin )26(lim 2222
=++=++∞→∞→n
n n
n n n n n n n 9.分段函数求极限，如：
处的连续性。

在并判断函数，求极限函数0)()(lim ),(lim ),(lim ,0,)
1ln(0,10,
sin )()1(1
01=⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧>+=<=→→-→x x f x f x f x f x x x x x x x
x f x x x 解：1sin 1
)
1sin(sin lim
)(lim
11
=--==-→-→x x x f x x
处连续。

在又0)()
0()(lim ,1)0(1)(lim 1
lim )1ln(lim )(lim 1sin lim )(lim 2
ln 1
)
11ln()1ln(lim
)(lim 0
0000011=∴===∴==+====+=+=→→→→→→→→→+++--x x f f x f f x f x x x x x f x
x
x f x x x f x x x x x x x x x 处连续？为何值时，函数在问已知函数0,,0,1sin 0,0,sin )()2(=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>=<+=x b a x x x x b x a x x
x f 0
,1)0()(lim )(lim 0)(0
1
sin lim )(lim 1sin lim )(lim )0(0
0000=-=∴==∴===+=⎪⎭
⎫
⎝⎛+==+
--+--→→→→→→b a f x f x f x x f x x x f a a x x x f b
f x x x x x x 处连续。

在且解： 10.用罗比达法则求极限，如：
051lim )5()(ln lim 5ln lim 12lim )2()(lim 2lim 000==''==+=''-=-+∞→+∞→+∞→-→-→-→x
x x x x e e x e e x e e x x x x x x x x x x x x
十、导数定义
x
x f x x f x y
x f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim
lim
)(00000 注意：分子分母中的x ∆是相同的无穷小量。

十一、 基本求导公式（16个） 1.0='C
2.1)(-='μμμx x
3.)1,0(ln )(≠>='a a a a a x x
4.x x e e =')(
5.)1,0(ln 1
)(log ≠>='a a a
x x a 6.x
x 1)(ln =
' 7.x x cos )(sin =' 8.x x sin )(cos -='
9.x
x x 22
cos 1
sec )(tan =
='
10.x
x x 2
2
sin 1csc )(cot -=-=' 11.x x x tan sec )(sec =' 12.x x x cot csc )(csc -=' 13.2
11)(arcsin x
x -=
'
14.2
11)(arccos x
x --
='
15.2
11
)(arctan x
x +=' 16.2
11)cot (x x arc +-='
十二.求导法则
1.)()(])()([x g x f x g x f '±'='±;
2.)(])([x f k x kf '=';
3.v u v u uv '+'='][;
4.2
v v u v u v u '-'='
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡； dx
x dg x dg x g df dx x g df x g x g f x g f )
()()]([)]([)()]([])([.5⋅=''='或
十三.基本积分公式（13个） 1.C x dx C dx +==⎰
⎰1,0 2.)1(1
11
-≠++=+⎰
u C x u dx x u u
3.
C x dx x +=⎰ln 1
4.C a
a dx a x
x
+=⎰ln 5.C e dx e x
x +=⎰
6.C x dx x +-=⎰cos sin
7.C x dx x +=⎰
sin cos
8.C x dx x +=⎰
tan sec 2
9.C x dx x +-=⎰
cot csc 2
10.⎰
+=C x xdx x sec tan sec 11.⎰
+-=C x xdx x csc cot csc
12.
C x dx x
+=-⎰
arcsin 112
13.
⎰+=+C x dx x arctan 11
2
十四.不定积分的性质
1.)(])([x f dx x f ='⎰或dx x f dx x f d )()(=⎰
2.
C x f dx x f +='⎰)()(或C x f x df +=⎰)()( 3.dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰
+=
+)()()]()([
4.dx x f k dx x kf ⎰
⎰
=)()( 十五.基本积分方法
1. 直接积分法:C x e dx x e x
x ++=-⎰
cos 52)sin 52(
2. 凑微分法: (1)
⎰⎰
++=
+)()(1
)(b ax d b ax f a
dx b ax f
如：C e x d e dx e x
x x +-=--=---⎰
⎰)(
C e x d e dx e x
x x +==
⎰⎰55551)5(51 C e x d e dx e x x x +=-=---⎰⎰23232
33
1)23(31 C x dx x dx x ++=+=+⎰⎰)47sin(7
1
)47cos(71)47cos( C x x d x dx x dx x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+⎰⎰⎰2arctan 21
2)
2
(1121)2/(114141222 ()
C
x C u du
u u x x d x dx
x dx x dx x ++=
+=+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
+=+⎰⎰⎰
⎰
⎰2
arctan 22arctan 2
2
11
222/2/)
2/(11
2221121)
2
1(2121
2
2
2
2
2回代令
n
n n n dx x f n
dx x x f ⎰⎰=
-)(1)().2(1 3. 设元法 形如
dx b ax f ⎰+)(
的积分。

解法：设u b ax =+，则du a
u
a b u a d dx a b u a x u b ax 2)1(,1,222
=-=-==+， 于是
du u uf a
du a u u f dx b ax f ⎰⎰⎰==+)(2
2)
()(，再用其他方法积分。

注意：设元的目的是去掉“
”。

如：
C
x x C
u u du u du u u du u u udu u dx x udu
u d dx u x u x u x dx
x ++---++-=+-=+-+=+=+=+-=+=+==-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
)]11ln(1[2)]1ln([2)111(21112122111112)1(,1,1,11
11
222回代于是，则解：设 4. 分部积分法(公式法和列表法)：
分部积分公式:dx v u uv dx v u ⎰⎰'-='或du v uv dv u ⎰
⎰-=
x
x
x
x x
x e n x
ln arctan arcsin cos sin
注意：（1）被积函数是两类基本初等函数乘积时，使用分部积分法。

（2）u 和v '顺序的选择方法：反三角函数（x x arctan ,arcsin ），对数函数（x ln ），幂函数（n x ），三角函数（x x cos ,sin ），指数函数（x
e ），将排在前面的那类函数选作u ，后面的那类函数选作v '。

例1.dx e x x
⎰
2
解1:公式法
=-=⋅-=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx xe e x xdx
e e x dx e e x de x dx e x x
x
x x x x x x 22222
222
解2：此题还可以用列表法求积分
C
e xe e x dx e xe e x dx
xe e
x dx e x x x x x x x x x
x ++-=+-=-=⎰⎰⎰222222222
例2.dx x x ⎰
+)1ln( 解：用列表法
C x x x x x C x x x x x dx x x x x dx x x x x dx x x x x dx
x x ++-+-+=
+++--+=++--+=++--+=+-+=+⎰⎰⎰⎰)1ln(2
1
2141)1ln(21)]1ln(21
[21)1ln(21)111(21)1ln(211
1121)1ln(21121)1ln(21)1ln(222222222
第二部分、各章节考点
第一章：1.函数的定义域
2.函数的对应法则
第二章：极限与连续
1.十种求极限的方法
2.无穷小的概念（高阶无穷小、低阶无穷小、等价无穷小）
3.函数连续的概念（分段函数）
4.零点定理证明题（证明方程在某个区间上有根）
第三章：导数和微分
1.导数定义
2.基本求导公式和法则
3.复合函数求导数和隐函数求导数（微分）（利用对数求导数）
4.边际和弹性的概念
第四章：微分中值定理和导数的应用
1.拉格朗日中值定理（填空或选择）
2.洛比达法则求极限（5分计算题）
3.单调性证明（5分）
4.凹凸性和拐点
5求最大（小）值及其应用题
6.渐近线
第五章、一元函数积分学
1.不定积分（一个函数的全体原函数）的概念和性质
2.四种积分方法
（1）直接积分法
（2）凑微分法
（3）设元法
（4）分部积分法
3.微分方程（可分离变量微分方程）
4.变上限积分求导公式
5.定积分的换元法（换元必换限）
6.无穷反常积分（填空或选择）
7.利用定积分求平面图形的面积
8.利用积分求旋转体的体积
第六章、多元函数微积分
1.二元函数的一阶偏导数、二阶偏导数
2.二元函数的全微分
3.二元复合函数求导数
4.隐函数求导数
5.二元函数的极值和最值（大题9分）
6.二重积分的计算（5分）
第三部分、计算题（60分）要求：先练习后讲解。

一、求极限
1.(201
2.10)已知极限21lim 1e 2bx
x x →∞
⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
,则b=
A.1
B.2
C.3
D.4
2.(2012.10)0
1
lim ln(1+)sin
__________.x x x
→⋅= 3.(2012.10)极限11
lim
ln x x x x
→-=________.
4.(2012.10)求极限0
11lim sin x x x
x
→+--.
5.(2012.4)求极限0
tan lim
sin x x x
x x
→--.
6.(2012.1)求数列极限2
2
1lim(62)sin
.31
n n n →∞
++
7. (2011.7)数列极限1
2lim 21
n n n +→∞+=______________
8. (2011.7)求极限10
lim(1sin 2)x
x x →+.
9. (2011.7)求极限3
03x sin 3x
lim
x x →-.
10．（2011.1）极限x
t t x
x ⎰
→0
20
d sin lim
=_________.
二、求导数和微分（复合函数求导数和隐函数求导数）
1．（2013.1）设函数()()
2931f x x x x =++，则高阶导数()(12)f x = A ．12!
B ．11!
C ．10!
D ．0
2．（2013.1）设函数arcsin e x y =，求d y ．
3．（2013.1）设函数20
11d ln arctan ,12d x x y
y x x x
=+=--求.
4.（2012.1）设函数f (x )=2
1x +arctan x -ln(x +2
1x +)，求导数f ′(1).
5. （2011.7）求函数2
()(sin ln cosln )f x x x x =-的二阶倒数(1)f ''.
6．（2011.1）设函数y =sin(2x +2x
)，则d y =_________.
7．（2011.1）设二元函数z =cos(2y -x ),则y
x z
∂∂∂2=_________.
8．（2011.1）设函数y =x
arctan
e ,求导数y ＇.
9．（2011.1）设函数f (x )=(1+x 2
)arctan x ,求f (x )的三阶导数.
10.（2010.7）设y =y (x )是由方程e x -e y
=sin(xy )所确定的隐函数,求微分d y . 11.（2010.7）设函数z =22y x +,则偏导数
=∂∂x
z
_________. 12.（2010.7）设函数z=x y cot arc ,求二阶偏导数22x z ∂∂,y x z
∂∂∂2.
13.（2010.1）设函数y =ln sin x ,则y ″=_______________. 14.（2010.1）设z=y
x 322e
-,则y
x z
∂∂∂2=_______________.
15.（2010.1）方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求y
z
x z ∂∂∂∂,. 16.（2010.1）设y =x sin x
+x arctan e x
，求y ′. 三、求单调区间和极值（利用一阶导数） 1.(2012.4)求函数3212
()2333
f x x x x =
-++的极值. 2. (2011.7)函数f(x)= 2
3
(32)1x --的极小值点为（ ）
A ．x=-1 B. x=0 C. 32
D. 不存在
3．(2011.1)函数f (x )=2e x
x
的单调减少区间是_________.
4．(2011.1)求函数f (x )=2
1
e x x 的极值.
5.(2010.7)函数f (x )=52)1(-x 的单调减少区间为_________. 四、求最大值和最小值（利用一阶导数）
1.(201
2.4)函数()arctan f x x x =-在闭区间[-1,1]上的最大值是______. 2.(2012.1)函数f (x )=x -2cos x 在区间[0,
2
π
]上的最小值是_________. 3.(2010.7)函数f (x )=x 4
-4x +3在区间[0,2]上的最小值为_________. 五、求凹凸区间和拐点（利用二阶导数） 1.(2013.1)求曲线2e x y x =的凹凸区间及拐点．
2.(2011.7)求曲线2
1
1y x =
+在闭区间（0，+错误！未找到引用源。

）内的拐点. 3.(2010.7)求曲线y =x 2
ln x 的凹凸区间及拐点. 4.(2012.1)确定常数a,b 的值，使得点(1,
12
)为曲线y =32
114x ax bx +++的拐点.
5.(2011.1)试确定常数a ,b 的值,使得(1,3)是曲线y =ax 3
+3x 2
+b 的拐点.
六、求渐近线（水平渐近线和铅直渐近线） 1．(2013.1)曲线2
3x
y x
=
+ A ．仅有铅直渐近线
B ．仅有水平渐近线
C ．既有水平渐近线又有铅直渐近线
D ．无渐近线
2．(2011.1)曲线y =2ln 33
-+x
x 的水平渐近线为( ) A ．y =-3 B ．y =-1 C ．y =0
D ．y =2
3.(2012.1)曲线y =2223
1
x x x ---的铅直渐近线为_________.
4.(2011.7)曲线2
(1)
x
y x =
-的铅直渐近线为__________ 七、求积分（凑微分法、设元法、分部积分法） 1.（2013.1）求不定积分-2e d x x x ⎰．
2．（2013.1）设函数21
,01()1,0x x f x x x ⎧≥⎪
+=⎨⎪+<⎩
，计算定积分11
()d f x x -I =⎰.
3．（2013.1）计算定积分1
20
2
d 1x x x
I =-⎰.
4.（2012.1）无穷限反常积分
4
2d 1x
x x
+∞
+⎰
=_________. 5.（2012.1）求不定积分3
ln d x x x ⎰
.
6.（2012.1）计算定积分I =320
cos cos d .x x x π
-⎰
7. 定积分
2
22||
2x x dx x -++⎰=_________
8. 求无穷限反常积分220x x
dx
I e e +∞-=+⎰.
9．无穷限反常积分⎰
∞
-0
2d e x x =_________.
10．定积分
⎰
--2
2
2d 4x x =_________.
八、二重积分（5分）
1．（2013.1.20）计算二重积分d d D x x y I =⎰⎰，其中区域D 由曲线21
y y x x ==，及直线x =2围
成．
2.（2012.1.23）计算二重积分I =4
11D
x +⎰⎰
d x d y ，其中D 是由曲线y =x 3，x =l 及x 轴所围成
的区域，如图所示.
3.（2011.7.23） 计算二重积分D
I xdxdy =⎰⎰，其中D 是由直线2y x =，3y x =-与x 轴
所围成的区域，如图所示.
4.（2011.1.20）计算二重积分⎰⎰=
D
y x I d d 2,其中D 是
由直线y =2-x 与抛物线y =x 2
所围成的平面区域.
5.（2010.1.23）计算二重积分⎰⎰
+=-D
x y x x I d d 1
e 2
)
1(,其中D 是由曲线y =x 2-1及直线y =0,x =2所围成的区域
.
九、应用题（9分） （一）导数应用题
1.（2013.1.24）设某企业生产一定量的某产品时可用两种原料，第一种为x （千吨），第二种为y （千吨），其电能消耗量N （万度）与两种原料使用量的关系为
222246105N x xy y x y =++--+
问如何使用两种原料方可使电能消耗达到最低，并求此时的最低能耗．
2.（2011.1.24）某工厂生产两种产品I 和II,销售单价分别为10元与9元,生产x 件产品I 与
生产y 件产品II 的总费用为C =400+2x +3y +0.01(3x 2+xy +3y 2)(元). 问两种产品的产量各为多少时，才能使总利润最大？
3.（2010.7.24）设某厂生产q 吨产品的成本函数为C (q )=4q 2-12q +100,该产品的需求函数为q =30-.5p ,其中p 为产品的价格. (1)求该产品的收益函数R (q )； (2)求该产品的利润函数L (q )；
(3)问生产多少吨该产品时,可获最大利润?最大利润是多少？ （二）积分应用题：（利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积） 1.（2012.1.24）设D 是由曲线y =e x ，y =e -x 及直线x =l 所围成的平面区域， 如图所示.
(1)求D 的面积A .
(2)求D 绕x 轴一周的旋转体体积V x .
2.（2011.7.24）设D 是又曲线x y ln =，直线e y =及x 轴围成的平面区域，如图所示。

（1）求D 的面积。

（2）求D 绕y 轴一周的旋转体的体积y V 。

3.（2011.1.22）求曲线y =ln x 及其在点(e,1)的切线与x 轴所围成的平面图形的面积A .
十、证明题（5分）
1．(2013.1)证明当x>0时，3
arctan x-3
x x >．
2.（2012.1）证明：当x >0时，e 2x
>1+2x .
3.（2010.7）证明方程x 3-4x 2+1=0在区间(0,1)内至少有一个实根.
4.（2011.1）设函数f (u )可导,)(x
y
f z =,证明: 0=∂∂+∂∂y z y
x z x . 5.（2011.7） 设a ，b 为常数，证明2222
2222220
sin cos cos sin a x b xdx a x b xdx π
π
+=+⎰
⎰。