5.3诱导公式(1)课件-高一上学期数学人教A版

sin 4 .
随堂检测
1．下列各式不正确的是( B )
A．sin(α＋180°)＝－sin α B．cos(－α＋β)＝－cos(α－β) C．sin(－α－360°)＝－sin α D．cos(－α－β)＝cos(α＋β) 解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故 B 项错误． 答案：B
2.若 sin(π＋α)＝－1，则 sin(4π－α)的值是( B ) 2
A．12
B．－12
C．－
3 2
D．
3 2
解析：由题知，sin α＝1，所以 sin(4π－α)＝－sin α＝－1.
2
2
答案：B
3．tan 690°＝___3_3____. 解析：tan 690°＝tan(2×360°－30°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－ 33. 答案：－ 3
2
(2) sin( 7 ) sin 7 sin( ) ( sin ) 1 .
6
6
6
ห้องสมุดไป่ตู้62
(3) tan(1140 ) tan1140 tan(60 3 360 ) tan 60 3.
(4) cos( 77 ) cos 77 cos(5 6 2 ) cos 5
4
4
4
42
(3)tan(240 ) tan240 tan(180 60 ) tan60 3.
探究三：角π－α与 α 的三角函数值之间的关系
思考 4：仿照上面的方法，角π－α的终边与角
α的终边关于 y轴 对称.设角π－α的终边与
单位圆交于点 P4 ，则 P4 的坐标是 (x, y). y
5.3诱导公式（1）
《必修》（第一册）P188 ~ P191
复习引入
1. 诱导公式一（即α＋2kπ（k∈Z）的诱导公式）：
sin( k 2 ) sin ；
cos( k 2 ) cos ； tan( k 2 ) tan . 其中 k Z ．
这组诱导公式说明了：终边相同的角的同一三角函数的
tan120 tan(180 60) tan60 3.
反思归纳
利用诱导公式一～四求任意角三角函数值的步 骤：
负化正 大 化 小
小化锐 锐求值
上述过程体现了由未知到已知的化归思想.
练习
课本191页
1.将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题 中横线上：
（1）
cos
13
9
cos
4
9
；（2）
课本191页
2.利用公式求下列三角函数值：
(1) cos(420)； (2) sin( 7 )；(3) tan(1140)；
6
(4) cos( 77 )；(5) tan 315； (6) sin( 11 ).
6
4
解：(1) cos(420) cos420 cos(60 360 ) cos60 1 .
sin(1+
)
sin1
；
（3）
sin(
5
)
sin
5
；（4） tan(70 6) tan 70 6.
（5）
cos
6
7
cos
7
；（6） tan1000 21
tan 79 39.
解析：(1)cos13 cos( 4 ) cos 4 .
9
9
9
(2)sin(1+ ) sin( 1) sin1.
函数；
（3）化 0 ,360 间角的三角函数为锐角的三角函数．
简记为：负化正，正化小，化到锐角就行了.
课外作业
《必修第一册》P194“复习巩固”１（１）（６）， ２，3. 《金版学案》 P139 A.5.
练习
利用诱导公式求1下列三角函数值： （1） sin150 2 ；（2） cos120
1 2
；
（3）
tan(
3
4
)
1
.
解析：(1)sin150 sin（180 30 ) sin30 1 .
2 (2)cos120 cos（180 60 ) cos60 1 .
2
(3)tan( 3 ) tan 3 = tan( ) (tan ) 1.
值 相等 .利用这组诱导公式，可以把求任意角的三角函数值，
转化为求 0 ~ 2 范围的角的三角函数值.
2.如图，设 是一个任意角 , 它的终边与单位圆交于点 P( x, y，) 那么：
sin y ， cos x ， y
tan = x (x 0) .
问题：在初中我们学过求锐角的三角函数
值，而利用诱导公式一，可以将求任意角的
诱导公式四（即 的诱导公式）：
弧度制
角度制
sin( ) sin ，
sin(180 ) sin ，
cos( ) cos ，
， cos(180 ) cos
tan( ) tan .
tan(180 ) tan .
诱导公式四有什么特点，如何记忆？
左右两边是同名的三角函数，右边的符号由 π－α 是第二象限角来确定.
归纳总结
诱导公式二（即 的诱导公式）：
弧度制
角度制
， sin( ) sin
， sin(180 ) sin
， cos( ) cos
， cos(180 ) cos
. tan( ) tan
. tan(180 ) tan
诱导公式二有什么特点，如何记忆？
左右两边是同名的三角函数，右边的符 号由 π+α 是第三象限角来确定.
4
4
4
4
思考 5：诱导公式一～四都叫做诱导公式，它们 分别反映了 k 2（k Z），π＋α，－α，π－α的 三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括 一下这四组公式的共同特点和规律吗？
归纳总结
k 2（k Z），－α，π±α的三角函数值等于α的同名 函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的 符号.用一句话概括：“函数名不变，符号看象限”.
6
6
63
探究二：角－α与 α 的三角函数值之间的关系 思考 3：仿照上面的方法，角－α的终边与角α
的终边关于 x轴 对称.设角－α的终边与单
位圆交于点 P3 ，则 P3 的坐标是 (x, y).
由三角函数的定义，有
sin
y, cos
x, tan
y x
；
sin() y ， cos() x
， -1
课本191页 化简：(2) cos3( ) sin(2 ) tan3( ).
解：cos3 ( ) sin(2 ) tan3( )
cos3 sin tan3[( )]
cos3 sin [ tan3 ( )]
cos3 sin tan3
cos3
sin
sin3 cos3
3
4．化简：scions－3ππ－＋αα·tan(2π－α)＝___1__.
解析：原式＝－cossinππ－－αα ·tan(－α)
＝－－csions
αα·－csions
α α
＝－1.
答案：－1
5.已知
cos
π－α 6
＝
3，则 3
cos
α＋5π 6
3 ＝____3____．
解析：
cos α＋56π
6
6
6
6
cos( ) cos 3 .
6
62
课本191页 2.利用公式求下列三角函数值： (5) tan 315；(6) sin( 11 ).
4
解：(5) tan 315 tan(45 360 ) tan(45 ) tan 45 1.
(6) sin( 11 ) sin 11 sin(3 2 ) sin 3
y 1
P1(x, y)
1
tan()
y x
.
比较 sin(－α)与 sinα，cos(－α)
0 x
-1 P3 (x, y)
与 cosα、tan(－α)与 tanα，你又
有什么发现？
归纳总结
诱导公式三（即 的诱导公式）： sin() sin ， cos() cos ， tan() tan . 诱导公式三有什么特点，如何记忆？
4
4
4
4
sin( ) sin 2 .
4
4
2
例题
课本190页
例2
：化简： cos(180 0 ) sin( 360 0 )
tan( 180 0 ) cos(180 0 )
.
解：tan( 180 ) tan[( 180 )] tan( 180 )
tan.
cos(180 ) cos[(180 )] cos(180 )
左右两边是同名的三角函数，右边的符号由 －α 是第四象限角来确定.
练习
利用诱导公式求下列三角函数值：
（1） sin(30 )
1 2
；（2）
cos(
5
4
)
2 2
；
（3） tan(240 ) 3 .
解析：(1)sin(-30 ) -sin30 1 .
2
(2)cos(- 5 ) cos 5 cos( ) cos 2 .
说明：（1）注意符号取法：把α 看成锐角时，取 k 2（ k ） Z，π+α，－α，π－α的三角函数值的符 号； （3）以上公式具有一般性，与α终边所在位置无关； （4）α具有广泛意义，可以是具体角，也可以是一
个角式子，如10 .
例题
课本189页
例1：利用公式求下列三角函数值：
(1) cos225； (2) sin 8 ；(3)sin(16 )； (4) tan(2040).
由三角函数的定义，有
1
sin
y, cos
x, tan
y x
；
P4
(x, y)
-1
sin( ) y ，cos( ) x ， 0
P1(x, y) 1 x
tan( )
y x
.
-1
比较 sin(π－α)与 sinα，cos(π－α)与 cosα， tan(π－α)与 tanα，你又有什么发现？
归纳总结
＝cos
π－
π－α 6
＝－cos π6－α ＝－
33.
答案：－ 3 3
课堂小结
1. 熟悉诱导公式，将 k 2（k Z），π+α，－α，π－α的 三角函数值化为α的三角函数值.
2.用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数， 其一般步骤是： （1）化负角的三角函数为正角的三角函数；
（2）化大于 360 的正角的三角函数为 0 ,360 间角的三角
练习
利用诱导公式二求下列三角函数值：
（1）sin
5
４
２ 2
；（2）cos24０
1 2
；
（3）
tan
7
6
3 3
.
解析：(1)sin
5
４
sin(
+４ )
sin
４
２ .
2
(2)cos240 cos(180 60 ) cos60 1 . 2
(3)tan 7 tan( + ) tan 3 .
cos.
所以，原式 cos sin cos. ( tan )( cos )
练习
课本191页
化简：(1) sin( 180 ) cos( ) sin( 180）;
(2) cos3( )sin(2 ) tan3( ).
解：(1) sin( 180 ) cos( ) sin( 180） sin[( 180 )]cos sin(180 ) sin(180 ) cos sin ( sin ) cos sin sin2 cos.
三角函数值转化为求 0～2π间角的三角函数
值，那么求 0～2π间角的三角函数值能否转
化为求锐角三角函数值呢？
思考１：设
0≤α≤
2
，则
y
2 2k
2
～π间的角，可写成
3
；π～ 2 间的角，
(k Z )
O
x
0 (2
)
可写成 ；
2
～0
间的角，可写成
.
3
2
探究一：角π+α与 α 的三角函数值之间的关系 思考 2：角π＋α的终边与角α的终边关于 原点 对 称.设角α的终边与单位圆交于点 P1(x, y) ，角π＋α的终 边与单位圆交于点 P2 ，则 P2 的坐标是 (x, y) .
3
3
解：(1) cos225 cos(180 45) cos45 2 .
2
(2) sin 8
sin(2
2
)
sin
2
sin（
）
sin
3.
3
3
3
3
32
(3) sin( 16 )
3
sin16 3
sin(5 ) 3
(sin ) 3
3. 2
(4) tan(2040) tan 2040 tan(6360 120)
(3)sin( ) sin .
5
5
(4) tan(70 6) tan 70 6.
(5)cos 6 cos( ) cos .
7
7
7
(6) tan1000 21 tan(280 21 2 360 ) tan(79 39 360 )
tan(79 39) tan 79 39.
由三角函数的定义，有
y
； sin y,cos x, tan y x
sin( ) y， cos( ) x ，
y
1
-1 0
P1(x, y)
1 x
tan( ) x .
P2 (x, y)
-1
比较 sin(π＋α)与 sinα，cos(π＋α)与 cosα，
tan(π＋α)与 tanα，你有什么发现？