高考数学压轴专题2020-2021备战高考《复数》单元汇编含答案

新数学《复数》试卷含答案(1)
一、选择题
1．设i 是虚数单位，则2320192342020i i i i +++⋅⋅⋅+的值为（ ）
A ．10101010i --
B ．10111010i --
C ．10111012i --
D ．10111010i -
【答案】B 【解析】 【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案. 【详解】
解：设2320192342020S i i i i =+++⋅⋅⋅+,
可得：24201920320023420192020iS i i i i i =++++⋅⋅⋅++，
则242019
23020(1)22020i S i i i i i
i -=++++⋅⋅⋅+-， 2019242019
2020
23020(1)
(1)202020201i i i S i i i i i i
i
i i i
--=+++++⋅⋅⋅+-+-=-，
可得：2
(1)(1)(1)20202020202112
i i i i i S i i i i ++-=+-=+-=-+-，
可得：2021(2021)(1)1011101012
i i i S i i -+-++===---， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
2．已知i 是虚数单位，4
4
z 3i (1i)=-+，则z (= )
A ．10 B
C ．5
D 【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】
42
44
z 3i 3i 13i (1i)(2i)
=
-=-=--+Q ，z ∴== 故选B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
3．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v
向左平移一个单位后得到
00
O P u u u u v
，则P 0对应的复数为( )
A ．1－i
B ．1－2i
C ．－1－i
D ．－i
【答案】D 【解析】 【分析】
要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000
OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数 【详解】
因为00O P OP
=u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数，
即0
OP u u u v 对应的复数是()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．
4．在复平面内，若复数z 满足|z ＋1|＝|1＋i z |，则z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线
【答案】A 【解析】 【分析】
设()z x yi x y R =+∈、，代入11z iz +=+，求模后整理得z 在复平面内对应点的轨迹是直线． 【详解】
设()z x yi x y R =+∈、，
()
2
211x yi x y ++=
++，()()
2
2111iz i x yi y x +=++=
-+
()
()
2
2
2211x y y x ++-+＝
y x =-，
所以复数z x yi =+对应点的轨迹为直线，故选A. 【点睛】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，动点的轨迹问题，是基础题．
5．设i 是虚数单位，则()
()
3
211i i -+等于(
)
A ．1i -
B ．1i -+
C ．1i +
D ．1i --
【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】
()
()
3
22
1(1)(1)2(1)1221i i i i i i i i
i -----===-++
故答案选B 【点睛】
本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
6．已知i 是虚数单位，则131i
i +=+（ ） A ．2i - B ．2i +
C ．2i -+
D ．2i --
【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的除法运算计算复数的值即可. 【详解】
由复数的运算法则有：
13(13)(1)422(1)(11)2
i i i i
i i i i ++-+===++-+. 故选B . 【点睛】
对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.
7．已知复数z，则|z|＝( )
A．1
4
B．
1
2
C．1 D．2
【答案】B 【解析】【分析】【详解】
解：因为===，因此|z|＝1 2
8．已知
2
a i
b i
i
+
=+，,a b∈R，其中i为虚数单位，则+a b=（）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数除法运算法则化简原式可得2ai b i
-=+，再利用复数相等列方程求出,a b的值，从而可得结果.
【详解】
因为
2
2
22
2
a i ai i
ai b i
i i
+--
==-=+
-
，,a b∈R，
所以
22
11
b b
a a
==
⎧⎧
⇒
⎨⎨
-==-
⎩⎩
，则+1
a b=，故选B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
9．设复数
2
1
i
x
i
=
-
（i是虚数单位），则11223320202020
2020202020202020
C x C x C x C x
+++⋅⋅⋅+=
（）
A．1i+B．i-C．i D．0【答案】D
【解析】
【分析】
先化简1x +，再根据所求式子为2020(1)1x +-，从而求得结果． 【详解】 解：复数2(1i
x i i
=
-是虚数单位）， 而11223320202020
20202020
202020202020(1)1C x C x C x C x x +++⋯+=+-， 而2
121(1)111(1)(1)
i i i i x i i i i i -++++=
===--+-， 故11223320202020202020202020
202020202020(1)11110C x C x C x C x x i +++⋯+=+-=-=-=， 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查复数的乘除法运算、二项式定理的应用，属于中档题．
10．若复数z 满足2(12)1i z z +=+，则其共轭复数z 为（ ） A ．1188
i + B ．1188
i -+
C ．1188
i --
D ．
1188
i - 【答案】B 【解析】 【分析】 计算得到18
i
z --=，再计算共轭复数得到答案. 【详解】
21111
(12)1,,44888
i i z z z z i i --+=+∴=
==-+-Q . 故选：B . 【点睛】
本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.
11．已知z C ∈，2z i z i ++-=，则z 对应的点Z 的轨迹为（ ） A ．椭圆 B ．双曲线
C ．抛物线
D ．线段
【答案】D 【解析】 【分析】
由复数模的几何意义，结合三角不等式可得出点Z 的轨迹. 【详解】
2z i z i ++-=的几何意义为复数z 对应的点Z 到点()0,1A -和点()0,1B 的距离之和为2，即ZA ZB AB +=，另一方面，由三角不等式得ZA ZB AB +≥.
当且仅当点Z 在线段AB 上时，等号成立.
因此，点Z 的轨迹为线段. 故选：D. 【点睛】
本题考查复数模的几何意义，将问题转化为距离之和并结合三角不等式求解是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
12．设(
)(
)
2
2
25322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C ．z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()2
222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定. 【详解】
()2
222110t t t ++=++>Q ，z ∴不可能为实数，所以D 错误；
z ∴对应的点在实轴的上方，又z Q 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下
方，所以C 正确；
21
3,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误；
21
,25302
t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.
故选：C 【点睛】
此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.
13．在复平面内，复数21i
z i
=+ (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】D 【解析】
分析：首先求得复数z ，然后求解其共轭复数即可.
详解：由复数的运算法则有：()()()()2121211112
i i i i i z i i i i --=
===+++-， 则1z i =-，其对应的点()1,1-位于第四象限. 本题选择D 选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14．复数(1)(2)z ai a i =-+在复平面内对应的点在第一象限，其中a R ∈，i 为虚数单位，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
B ．)+∞
C ．(,-∞
D ．(
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于0，列出不等式组，即可求解. 【详解】
由题意，复数2
(1)(2)3(2)z ai a i a a i =-+=+-在复平面内对应的点在第一象限，
所以2
3020
a a >⎧⎨->⎩，解得0a <<，即实数a 的取值范围是. 故选：A . 【点睛】
本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查了推理与运算能力.
15．已知i 为虚数单位，,a b ∈R ，复数12i
i a bi i
+-=+-，则a bi -=（ ） A ．
1255
i - B ．
1255i + C ．
2155
i - D ．
21i 55
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
由复数的除法运算，可得(1)(2)12
(2)(2)55
i i i i i i a b i=+++-=--+，即可求解a b i -，得到答
案． 【详解】
由题意，复数
12i
i a bi i
+-=+-，得(1)(2)1312(2)(2)555i i a b i=i i i i i i ++++-=-=--+， 所以1
2
55
a b i=i -+，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的基本运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
16．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z i
=（ ） A ．12i - B ．12i +
C ．12i -+
D ．12i --
【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得z ，代入z
i
，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】
由题意，2z i =-+，
则
22(2)()12z i i i i i i i -+-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
17．已知复数z 在复平面内对应点是()1,2-，i 为虚数单位，则2
1
z z +=-（ ） A ．1i -- B ．1i +
C ．312i -
D ．312
i +
【答案】D 【解析】
21z z +=-323
122
i i i -=+- ，选D.
18．复数z 11i
i
-=+，则|z |=( )
A ．1
B ．2
C D ．【答案】A 【解析】 【分析】
运用复数的除法运算法则,先计算出z 的表达式,然后再计算出z . 【详解】
由题意复数z 11i
i
-=+得221(1)12=1(1)(1)2i i i i i i i i ---+=
==-++-,所以=1z . 故选A
【点睛】
本题考查了运用复数的除法运算求出复数的表达式,并能求出复数的模,需要掌握其计算法则,较为基础.
19．若复数满足，则复数的虚部为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果.
详解：因为，所以，
因此复数的虚部为，选B.
点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
20．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（）
A．-1 B．1 C．0 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.
【详解】
为纯虚数，故且，即.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.。