(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(答案解析)(3)

一、选择题
1．设0,0a b >>，若4a b +=.则49a b +的最小值为（ ） A ．254 B ．252 C ．85 D ．125
2．已知正数a 、b 满足1a b +=，则
411a b a b +--的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8
3．已知实数x ，y 满足221x y x m -≤-≤⎧⎨
≤≤⎩且2z y x =-的最小值为-6，则实数m 的值为（ ）．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．8 4．已知正数x ，y 满足
1431x y +=+，则x y +的最小值为（ ） A ．53 B ．2 C ．73 D ．6
5．若实数x ，y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩
则2z x y =+的最大值为（ ）
A ．3-
B ．0
C ．1
D ．3
6．已知正实数a ，b 满足231a b +=，则
12a b +的最小值为（ ） A ．15
B ．823+
C ．16
D ．843+ 7．若正数a ，b 满足
111a b +=，则41611a b +--的最小值为（ ） A ．16 B ．25 C ．36 D ．49
8．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．2 D ．22 9．若正数x ，y 满足35x y xy += ，则43x y + 的最小值为（ ）
A ．275
B ．245
C ．5
D ．6
10．不等式ax 2+bx+2＞0的解集是
，则a+b 的值是（ ） A ．10 B ．﹣10 C ．14 D ．﹣14
11．已知直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，则124123
a b +++的最小值为（ ）
A
．720+B
．720- C
．720+ D
．720
-12．命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩，则y z x =的最小值为14，命题q :直线2x =的倾斜角为
2π，下列命题正确的是（ ） A ．p q ∧ B ．()()p q ⌝∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()p q ∧⌝
二、填空题
13．若实数a ，b 满足22221a b +=，则22141
a b ++的最小值为___________. 14．已知正实数a 、b 满足21a b +=，则
11a b a b +--的最小值为____________. 15．设点(),P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩
，所表示的区域内（含边界），则目
标函数4z x y =-的最大值是_________.
16．123,,x x x 为实数，只要满足条件1230x x x >>>，就有不等式
121233log 20202log 2020log 2020
x x x x x x k +≥恒成立，则k 的最大值是__________．
17．若x >1，y >1，且a b x y xy ==，则a +4b 的最小值为___________.
18．若x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则z =__________．
19．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2322
+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．
20．已知a ，b 为正实数，且4a +b ﹣ab +2＝0，则ab 的最小值为_____．
三、解答题
21．已知函数()21f x x x =-++．
（1）求不等式()5f x ≤的解集；
（2）若()f x 的最小值是m ，且3
m a b +=，求212a b +的最小值． 22．二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)＞2x ＋5.
23．已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<．
（1）求a ，b 的值；
（2）求关于x 的不等式()2
0ax ac b x bc +--<的解集． 24．若实数0x >，0y >，且满足8x y xy +=-.
（1）求xy 的最大值；
（2）求x y +的最小值
25．解关于x 的不等式：()2230x a a x a -++>．
26．已知关于x 的一元二次不等式()2
2600kx x k k -+<≠. （1）若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-，求k 的值；
（2）若不等式的解集是R ，求k 的取值范围.
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式可得最小值．
【详解】
0,0,4a b a b >>+=
()(49149149125
13134444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当49b a a b =，即812,55
a b ==时取等号. 故选：A ．
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
2．C
解析：C
【分析】 化简得出
441511a b a b b a +=+---，将代数式14a b +与+a b 相乘，展开后利用基本不等式可求得411a b a b
+--的最小值. 【详解】
已知正数a 、b 满足1a b +=，则
()414141511b a b a a b b a b a
--+=+=+---
()41454a b a b b a b a ⎛⎫=++-=+≥= ⎪⎝⎭
， 当且仅当2b a =时，等号成立， 因此，
411a b a b
+--的最小值是4. 故选：C.
【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．C
解析：C
【分析】
作出不等式组221x y x m -≤-≤⎧⎨
≤≤⎩
对应的区域，利用数形结合平移直线即可得到结论 . 【详解】
由题意可作图：
当2z y x =-经过点P 时，z 取最小值6，
此时P 符合：2x m y x =⎧⎨=-⎩
，即(,2)P m m -代入2z y x =-得： m -2-2m =-6,解得m =4
故选：C
【点睛】
简单线性规划问题的解题步骤：
(1)画出可行域;
(2)作出目标函数所表示的某条直线（通常选作过原点的直线），移动此直线并观察此直线经过可行域的哪个（些）点时，函数有最大（小）值；
(3)求（写）出最优解和相应的最大（小）值；
(4)下结论．
4．B
解析：B
【分析】 化简114[(1)]()131
x y x y x y +=++⨯+
-+，再利用基本不等式求解. 【详解】 由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331
x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 114114(5)1(52)123131
y x y x x y x y ++=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等.
所以x y +的最小值为2.
故选：B
【点睛】
方法点睛：利用基本不等式求最值时，常用到常量代换，即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式，再利用基本不等式求解.
5．D
解析：D
【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据目标函数的几何意义，结合图形，即可求出结果.
【详解】
由x ，y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩
作出可行域，如图.
则()()1,1,2,1B C ---，由1x y y x
+=⎧⎨=⎩得1
1,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 目标函数2z x y =+，化为2y x z =-+
则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.
由图可知，当直线2y x z =-+过点C 时，z 有最大值.
所以z 的最大值为：2213z =⨯-=
故选：D
【点睛】
方法点睛：解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;
二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;
三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 6．D
解析：D
【分析】
妙用“1”的代换，利用
()121223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
拼凑基本不等式，求和式的最小值即可. 【详解】 正实数a ，b 满足231a b +=， 则(
)121223888348a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+=+ ⎪⎝⎭仅当
34b a b a =
，即13,46a b -==时等号成立，故12a b +
的最小值为8+ 故选：D.
【点睛】
思路点睛：
利用基本不等式求最值时，需注意取等号条件是否成立.
（1
）积定，利用x y +≥，求和的最小值；
（2）和定，利用()24
x y xy +≤，求积的最大值； （3）已知和式（倒数和）或为定值时，妙用“1”拼凑基本不等式求最值.
7．A
解析：A
【分析】 由
111a b +=得：(1,1)1
a b a b a =>>-，代入41611a b +--化简，利用基本不等式可求函数最小值.
【详解】 由111a b +=得：(1,1)1
a b a b a =>>-，代入41611a b +--得到：
416416416(1)16111111
a a a
b a a a +=+=+-≥=------ 当且仅当：
4=16(1)1
a a --即32a =时取等号. 故选：A
【点睛】
本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 8．D
解析：D
【解析】
分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可．
详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2，
∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，
∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）≥2()()a b a c ++=22，
当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号．
故选D.
点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．
9．A
解析：A
【解析】
正数x ，y 满足35x y xy +=,则13155y x
+=，()1349362743433325555255x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
故答案为A.
点睛：这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法，解决这类问题一般有以下几种方法，其一，不等式的应用，这个题目用的是均值不等式，注意要满足一正二定三相等；其二，二元化一元，减少变量的个数；其三可以应用线线性规划的知识来解决，而线性规划多用于含不等式的题目中．
10．D
解析：D
【解析】
试题分析：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是
，说明方程ax 2+bx+2=0的解为，
把解代入方程求出a 、b 即可．
解：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是
即方程ax 2+bx+2=0的解为
故
则a=﹣12，b=﹣2．
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．
11．C
解析：C
【分析】
由题意可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5），将所求式子化为b 的关系式，由基本不等式可得所求最小值．
【详解】
直线l 的方程为2x +3y ＝5，点P （a ，b ）在l 上位于第一象限内的点，
可得2a +3b ＝5，a ，b ＞0，可得4a ＝10﹣6b ，（3b ＜5）， 则1216412311696a b b b
+=+++-+ 120=[（11﹣6b ）+（9+6b ）]（1611696b b
+-+） 120=
（7()61169611696b b b b -+++-+
）≥， 当且仅当()61169611696b b b b -+=-+时，即
b 156-=，
a 54
=
，上式取得最小值， 故选：C ．
【点评】
本题考查基本不等式的运用：求最值，考查变形能力和化简运算能力，属于中档题． 12．A
解析：A
【分析】 由约束条件作出可行域，由y z x
=
的几何意义求得最小值判断p 为真命题，由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题，再由复合命题的真假判断得答案．
【详解】 解：变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩
作出可行域如图：
目标式y z x =
表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率，由图可知，当过点()4,1D 时，min 14z =，即y z x =的最小值为14
，命题p 为真命题； 直线2x =的倾斜角为2
π正确，故命题q 为真命题． 所以p q ∧为真命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为假命题，()p q ∧⌝为假命题； 故选：A
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，考查复合命题的真假判断，属于中档题．
二、填空题
13．6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为：6【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各 解析：6
【分析】
由条件可得()22312a b ++=，则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭
由均值不等式可得答案.
【详解】
实数a ，b 满足22221a b +=，即2212a b +=，所以()22312a b ++=
则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭
()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝ 当且仅当22
22141b a a b +=+, 又2212a b +=，即22120a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时，取得等号. 故答案为：6
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
14．【分析】将所求代数式变形为将所求代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】已知正实数满足则当且仅当时即当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其
12
【分析】 将所求代数式变形为1121121a b a b b b
+=+----，将所求代数式与()1b b +-⎡⎤⎣⎦相乘，展开后利用基本不等式可求得
11a b a b +--的最小值. 【详解】
已知正实数a 、b 满足21a b +=，则
1211112112121a b b b a b b b b b
--++=+=+-----(
)111111122112222b b b b b b b b -⎛⎫=+-+-=+-≥=⎡⎤ ⎪⎣⎦--⎝⎭
.
当且仅当1b -=
时，即当1b =时，等号成立， 因此，11a b a b +--
12
.
12. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．【分析】根据线性约束条件画出可行域将目标函数化为直线方程通过平移即可求得目标函数的最大值【详解】由题意作出可行域如图目标函数可化为上下平移直线数形结合可得当直线过点A 时z 取最大值由可得所以故答案为： 解析：163
【分析】
根据线性约束条件，画出可行域，将目标函数化为直线方程，通过平移即可求得目标函数的最大值.
【详解】
由题意作出可行域，如图，
目标函数4z x y =-可化为4y x z =-，
上下平移直线4y x z =-，数形结合可得，当直线过点A 时，z 取最大值，
由2103x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得54,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以54164333max z =⨯
-=. 故答案为：
163
. 【点睛】
方法点睛：求线性目标函数的在约束条件下的最值问题的求解步骤是：①作图，画出约束条件（不等式组）所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l ； ②平移，将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值，解有关的方程组求出最优点的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值. 16．【分析】根据对数的运算性质可得设原不等式可化为由可得令小于等于的最小值即可【详解】由题意设则又所以原不等式可化为由可得则原不等式可化
为又当且仅当时等号成立所以即的最大值为故答案为：【点睛】关键点点睛
解析：3+【分析】 根据对数的运算性质，可得1212lg 2020log 2020lg lg x x x x =
-，23
232lg 20202log 2020lg lg x x x x =-，1313
lg 2020log 2020lg lg x x k k x x =
-，设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，原不等式可化为12k a b a b +≥+，由0,0a b >>，可得()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭
，令k 小于等于()12a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
的最小值即可. 【详解】 由题意，121
122
lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x x x x x =
=-，2322332lg 20202lg 20202log 2020lg lg lg x x x x x x =
=-，131133
lg 2020lg 2020log 2020lg lg lg x x k k k x x x x ==-， 设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，则13lg lg x x a b -=+，
又lg 20200>，所以原不等式可化为12k a b a b
+≥+， 由1230x x x >>>，可得0,0a b >>，则原不等式可化为()12k a b a b ⎛⎫≤++
⎪⎝⎭， 又(
)1221233b a a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+=+ ⎪⎝⎭2b a a b =时，等号成立，
所以3k ≤+k
的最大值为3+
故答案为：3+
【点睛】 关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为
()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭
.本题中利用对数的运算性质，将三个对数转化为以10为底的对数，进而设12lg lg a x x =-，23lg lg b x x =-，可将原不等式化为12k a b a b
+≥+，进而结合,a b 的范围可得到()12k a b a b ⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭
.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
17．9【分析】首先由已知确定然后利用基本不等式求最小值【详解】因为所以又所以所以当且仅当时等号成立所以的最小值为9故答案为：9【点睛】易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件 解析：9
【分析】
首先由已知确定1,1a b >>，然后利用基本不等式求最小值．
【详解】
因为a b x y xy ==，所以1a y x -=，1b x y -=，又1,1x y >>，所以10,10a b ->->， 111(1)(1)()b a b a b x y x x -----===，所以(1)(1)1a b --=，
4(1)4(1)559a b a b +=-+-+≥=，当且仅当14(1)a b -=-时等号成立，
所以4a b +的最小值为9．
故答案为：9．
【点睛】
易错点睛：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
18．【分析】画出满足条件的平面区域结合的几何意义以及点到直线的距离求出的最小值即可【详解】画出满足约束条件的平面区域如图所示：而的几何意义表示平面区域内的点到点的距离显然到直线的距离是最小值由得最小值是
【分析】
画出满足条件的平面区域，结合z =z 的最小值即可．
【详解】
画出x ，y ，z 满足约束条件4802400x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，的平面区域，如图所示：
而22(4)z x y =++()40-，
的距离， 显然()40-，
到直线240x y -+=的距离是最小值， 由84
45541d -+==+，得最小值是55
， 45． 【点睛】 本题主要考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题．
19．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题 解析：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【分析】
利用“1”的替换求出2x y +的最小值
92，再解不等式23922m m -≤即可. 【详解】 因为121122192()(2)(5)(54)2222
y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当22y x x y
=， 即32
x y ==时等号成立，所以23922m m -≤，解得332m -≤≤. 故答案为：3
,32
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.
20．【分析】利用基本不等式转化为再利用换元法设转化为关于的一元二次不等式求的最小值【详解】当时等号成立设解得：或即的最小值为故答案为：
【点睛】本题考查基本不等式一元二次不等式重点考查转化与变形计算能力属
解析：10+【分析】
利用基本不等式转化为20ab +≤
0t =>，转化为关于t 的一元二次不等式，求ab 的最小值.
【详解】
0,0a b >>，
4a b ∴+≥=，当4a b =时等号成立，
20ab ∴+≤，
0t =>，2420t t -+≤，
2420t t --≥
，解得：2t ≥
2t ≤-
0t >，
2t ∴≥+
(
2210ab ≥+=+
ab ∴
的最小值为10+
故答案为：10+【点睛】
本题考查基本不等式，一元二次不等式，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.
三、解答题
21．（1）[]23，-；（2）92
． 【分析】
（1）将()f x 解析式中绝对值符号去掉，求得分段函数解析式；再在每一段中求得()5f x ≤时的解集；从而得出答案；
（2）先由（1）求出()f x 的最小值3m =，所以得1a b +=；再将
212a b
+构造成符合基本不等式的形式，从而求其最小值.
【详解】 解：（1）21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩
，
()5f x ≤等价于1,215x x ≤-⎧⎨-+≤⎩或1235x -<<⎧⎨≤⎩或2215x x ≥⎧⎨-≤⎩
， 解得21x -≤≤-或12x -<<或23x ≤≤．
故不等式()5f x ≤的解集为[]23，
-. （2）由（1）可知3m =，则1a b +=， 则21212559()22222
22b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当23a =，13b =时，等号成立）． 故212a b +最小值为92
． 【点睛】
本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质，考查运算求解能力，属于基础题型. 22．(1)2()1f x x x =-+;(2)()
(),14,-∞-+∞
【分析】
(1) 设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，利用待定系数法即可求出f （x ）；
(2) 利用一元二次不等式的解法即可得出．
【详解】
(1).设二次函数f （x ）＝ax 2+bx+c ，
∵函数f （x ）满足f （x+1）﹣f （x ）＝2x ， ∴ f(x ＋1)－f(x)=()()211a x b x c ++++-()2ax bx c ++=2ax+a+b=2x
∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ，解得11
a b =⎧⎨=-⎩．且f （0）＝1．∴ c=1 ∴f （x ）＝x 2﹣x+1．
(2) 不等式f （x ）＞2x+5，即x 2﹣x+1＞2x+5，化为x 2﹣3x ﹣4＞0．
化为（x ﹣4）（x+1）＞0，解得x ＞4或x ＜﹣1．
∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法，熟练掌握其方法是解题的关键，属于中档题.
23．（1）13a b =⎧⎨=⎩
；（2）分类讨论，答案见解析． 【分析】
（1）根据题意利用根与系数的关系列方程求出a 、b 的值；
（2）不等式化为2(3)30x c x c +--<，求出对应方程的解，利用分类讨论写出不等式
的解集．
【详解】
（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2430ax x -+=的两根， 由根与系数的关系有4131b a b a
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩， 解得13
a b =⎧⎨=⎩． （2）不等式2()0ax ac b x bc +--<可化为2(3)30x c x c +--<，
即(3)()0x x c -+<．
其对应方程的两根为13x =，2x c =-
①当3c ->即3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；
②当3c -<即3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；
③当3c -=即3c =-时，原不等式的解集为∅；
综上所述：当3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；
当3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；
当3c =-时，原不等式的解集为∅；
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，考查运算求解能力，求解时注意进行分类讨论．
24．（1）4；（2）4.
【分析】
（1）由于0x >，0y >
，根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法，即可求出xy 的最大值；
（2）根据题意，由0x >，0y >，根据基本不等式得出28()(
)2x y x y xy +-+=≤，通过解一元二次不等式，即可求出x y +的最小值.
【详解】
解：（1）∵0x >，0y >，
∴8xy x y -=+≥
80xy +≤，
即2)0≤
，解得：02<，
04xy ∴<≤（当且仅当2x y ==时取等号），
∴xy 的最大值为4.
（2）∵0x >，0y >，
28()()2
x y x y xy +∴-+=≤，
即2()()802
x y x y +-++≥， 整理得：2()()3204x y x y +++-≥，
∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣，
∴4x y +≥（当且仅当2x y ==时取等号），
所以x y +的最小值为4.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值，以及一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力.
25．见解析
【分析】
由题意，将不等式()2230x a a x a -++>变形为2(0)()x a x a -->，分三种情况讨论，分别求解不等式的解集，即可得到答案．
【详解】
将不等式()2230x a a x a -++>变形为()()20x a x a -->.
当a <0或1a >时，有a < a 2，所以不等式的解集为{|x x a <或2}x a >；
当a =0或1a =时，a = a 2=0，所以不等式的解集为{|,x x R ∈且}x a ≠；
当0< a <1时，有a > a 2，所以不等式的解集为2
{|x x a <或}x a >；
【点睛】
本题主要考查了含参数的一元二次不等式的求解问题，其中解含参数的一元二次不等式的步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式；（2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.
26．（1）25-；（2）⎛-∞ ⎝⎭
，. 【分析】
（1）由不等式的解集为{}
32x x x <->-或知0k <,且3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，代入可解.
（2）不等式的解集为R ，知二次函数图像恒在x 轴下方，则利用0k <且24240k ∆=-<可解
【详解】
（1）∵不等式的解集为{}
32x x x <->-或
∴3-，2-是方程2260kx x k -+=的两根，且0k <
∴25
k =- （2）∵不等式的解集为R
∴0k <且24240k ∆=-<
∴6
k <-
∴k 的取值范围是(-∞， 【点睛】
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系．
(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．。