2.5.2直角三角形(二)-

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2021中考数学专题复习解直角三角形2

αCBA2021中考数学专题复习：锐角三角函数一、知识网络⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒⇒⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==+⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∠∠=∠∠=∠∠=∠⇒测量应用定义）边角关系：（三角函数边边关系：角角关系：依据的过程。

已知元素求出未知元素定义：由直角三角形的解直角三角形系互余两锐角三角函数关同角三角函数关系的三角函数值、、的邻边的对边正切：斜边的邻边余弦：斜边的对边正弦：定义22202200090tan 1604530tan c b a B A Con Sin Con Sin A A A A A Cos A A Sin ααααα 二、根本知识点与典型题型知识点1：锐角三角函数定义Rt △ABC 中，∠C=900,锐角A 的对边与斜边的比值叫∠A 的正弦，记作SinA=ca;锐角A 的邻边与斜边的比值叫∠A 的余弦，记作CosA=c b ; 锐角A 的对边与邻边的比值叫∠A 的正切，记作tanA=ba . 例1：〔1〕〔2021年贵州毕节〕在正方形网格中，ABC △的位置如下图，那么cos B ∠的值为〔〕A ．12B ．22C ．32D ．33〔2〕〔2021 湖北孝感〕如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，那么A ∠tan 的值是〔〕A ．56 B ．65C ．3102D ．10103 〔3〕〔2021湖南常德〕在Rt△ABC 中,∠C=90°,假设AC=2BC,那么sin A 的值是( )A ．12B ．2C ．55D ．52〔4〕〔2021浙江金华〕“赵爽弦图〞是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，那么tan α的值等于 ▲ .〔5〕如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，那么以下结论正确的选项是〔〕 A ．3sin 2A =B ．1tan 2A = C ．3cos 2B = D ．tan 3B =(6)在Rt △ABC 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 那么sinA 的值是 ( )锐角三角三角函数αA 、1515 B 、41 C 、31D 、415 知识点2：同角三角函数关系：〔1〕122=+ααCon Sin；〔2〕αααtan =Con Sin例2．〔1〕在A ABC 中，∠C=90°，sinB=53，那么cosA 的值是 ( ) A ．43 B ．34 C ．53 D ．54 〔2〕〔2021 黄冈〕在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，那么tanB ＝〔〕 A ．43 B ．34 C ．35 D ．45〔3〕〔2021湖南怀化〕在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=54，那么cosB 的值等于〔〕 A ．53 B. 54 C. 43D. 55〔4〕〔2021黔东南州〕x 为锐角，且31cos =α，求αααsin 1cos tan ++的值。

第23课时直角三角形

第23课时直角三角形一、【教学目标】1．了解直角三角形的概念；2．掌握直角三角形的性质及判定；3．掌握勾股定理及其逆定理的运用；二、【重点难点】重点：1．直角三角形的性质及判定；2．勾股定理及其逆定理的运用.难点：勾股定理的逆定理的运用.三、【主要考点】（一）、直角三角形的定义及符号表示1．定义：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形.2．符号表示：直角三角形ABC 用符号表示为Rt △ABC .（二）、直角三角形的性质和判定1．性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，30︒的角所对的直角边等于斜边的一半.（4）在直角三角形中，如果有一条直边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30︒.（5）勾股定理：直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即a 2+b 2=c 2.2．判定：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形.（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.（3）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a ，b ，c 有下面的关系：a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.（三）、重要结论1．S Rt △ABC =12ch =12ab .其中a ，b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高；2．Rt △ABC 的内切圆半径2a b c r +-=，外接圆半径2c R =.四、【经典题型】【23-1A 】如图23-1是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（）A ．4cm B.5cm C.6cm D.10cm解：在Rt △ABC 中，有AB 2=AC 2+BC 2，又∵AC =6cm ，BC =8cm ，∴AB =222286+=+BC AC =10.又根据折叠的性质有AE =BE ，∴BE =21AB =21×10=5(cm).选B.温馨提示：在直角三角形中，已知任意两边可以利用勾股定理求出第三边，但在运用的过程中要注意分清斜边和直角边；在折叠问题中，一定要掌握折叠时有哪些边是重合的，A 图23-1B C DE有哪些角是重合的.【23-2A 】我市某教师村有一块草坪如图23-2所示，已知AB =3m ，BC =4m ，CD =12m ，DA =13m ，且AB ⊥BC ，则这块草坪的面积是m 2.232-图解：连接AC ，∵AB ⊥BC ，∴∠B =90︒.在Rt △ABC 中，AC =22AB BC +=5(m).在△ACD 中，∵AC 2+DC 2=52+122=169，又AD 2=132=169，∴AC 2+DC 2=AD 2，∴△ACD 是Rt △，且∠ACD =90°，∴AC ⊥CD ，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =22AB BC AC CD ⋅⋅+=2125243⨯+⨯=36m 2.温馨提示：已知一个三角形的三边时，可以用勾股定理的逆定理来检验该三角形是否为直角三角形.设△ABC 的三边中a ≤b ≤c ，则①当a 2+b 2＞c 2时，△ABC 为锐角三角形；②当a 2+b 2=c 2时，△ABC 为直角三角形；③当a 2+b 2＜c 2时，△ABC 为钝角三角形.【23-3A 】一个承重架的结构如图23-3所示，如果∠1=155°，那么∠2=°．图23-312解：∠2=∠1-90︒=155︒-90︒=65︒.温馨提示：直角三角形的两个锐角互余.此处利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.【23-4A 】如图23-4，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF =6，BC =15，则△EFM 的周长为.图23-4解：∵CF ⊥AB ，∴∠BFC =90︒，又∵M 为BC 的中点，BC =15，∴FM =21BC =215.同理，EM =21BC =215，∴△EFM 的周长为FM +EM +EF =215+215+6=21.温馨提示：当题中有垂直条件时，应联想到直角三角形，若有斜边上的中点，应联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

青岛版数学初三上册教案第二章解直角三角形《解直角三角形的应用》教案

青岛版数学初三上册教案第二章解直角三角形2教学目标1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念．2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．3．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．学习重点将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．教学难点学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．教学过程一、寻疑之自主学习1．仰角：如图1，从低处观看高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角．2．俯角：如图1，从高处观看低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向．图1 图24．坡角：如图，坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比叫做坡度，用i表示，即i＝tanα＝hl．解惑之例题解析例1如图2-14（课本第54页），一架飞机执行海上搜救任务，在空中A处发觉海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km.求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1'）.例2 2021年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km 的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直截了当看到地球上的点在什么位置？如此的最远点与P 点的距离是多少？（地球半径约为6 400km ，结果精确到0.1km ）解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．∴ PQ 的长为答：当飞船在P 点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P 点约2009.6km解析：从飞船上能最远直截了当看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m ，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m ）解析： Rt △ABC 中，α =30°，AD ＝120，因此利用解直角三角形的知识求出BD ；类似地能够求出CD ，进而求出BC ．解：如图，α= 30°，β= 60°， AD ＝120．答：这栋楼高约为277.1m直角三角形边角之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要在工具.把实际问题转化为解直角三角形问题，关键是找出实际问题中的直角三角形.这一解答过程的思路是：例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5，求：（1）坝底AD 与斜坡AB 的长度.（精确到0.1m ）（2）斜坡CD 的坡角α.（精确到1°）例5 如图2-23（课本第59页），要测量铁塔的高度AB ，在地面上选取一个点C ，在A 、C 两点间选取一点D ，测得CD=14m ，在C 、D 两点处·OQ FP αA B C D α β分别用测角器测得铁塔顶端B的仰角为α＝30°和β=45°，测角仪支架的高度为1.2m，求铁塔的高度（精确到0.1m).三、尝试之知识巩固1．数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地点，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是___ _米．2．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为50)m，则下面结论中正确的是（C ）A．由楼顶望塔顶仰角为60°B．由楼顶望塔基俯角为60°C．由楼顶望塔顶仰角为30°D．由楼顶望塔基俯角为30°3．如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=1.5)m．4．如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于1)m+（根号保留）．5．(2021·十堰)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，现在，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是24 海里．四、课堂小结：1．仰角、俯角当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．2．坡度与坡角坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一样用i表示。

直角三角形2

直角三角形2一．解答题（共40小题）1．如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．2．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．3．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE．4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．5．如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF ⊥AB交CB于F．（1）求证：CD∥EF；（2）若∠A=70°，求∠FEC的度数．7．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=5cm，AB=13cm，过点C作CD⊥AB于点D．（1）找出图中相等的锐角，并说明理由．（2）求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDA=90°，∴∠A+∠1=90°，∵∠1+ =90°，∴∠A=（）．同理可证，∴∠1=．（2）点A到直线BC的距离=cm．C到直线AB的距离为线段的长度．S△ABC=×=×（填线段名称）．∵AC=12，BC=5，AB=13，代入上式，解得CD=cm．8．（1）完成下面的填空：已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF=∠CFE证明：∵∠ACB=90°（已知），∴∠CAF+∠=90°（）．∵CD⊥AB（已知），∴∠FAB+∠=90°（）∵AF平分∠CAB（），∴∠CAF=∠FAB（）∴∠=∠（），∵∠CEF=∠（），∴∠CEF=∠CFE（）（2）请用不同于（1）的方法给予证明．9．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．10．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于F，求∠AFB的度数．11．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．12．如图，由一副三角尺拼成的图形，写出∠C，∠EAD，∠CBE的度数．13．如图，已知：BD，CE是△ABC的两条高．（1）求证：∠ABD=∠ACE；（2）若AB=AC，求证：DE∥BC．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．（1）求∠BDC的度数；（2）求AC的长度．15．证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：；求证：；证明过程：．16．如图，已知等边△ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为4，求BH的长．17．同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题；该逆命题是一个命题（填“真”或“假”）（2）若你的判断是真命题请写出证明过程（要求画图，并写出已知，求证）．若是假命题，请说明理由．18．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．19．如图，一艘轮船以每小时40海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了多少海里．20．一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交边BC 于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC=DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）22．已知：如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC的中点，且MN⊥DE，垂足为点N（1）求证：ME=MD；（2）如果BD平分∠ABC，求证：AC=4EN．23．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=6．（1）求证：EF⊥BD；（2）求EF的长．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点．（1）∠BCD的大小=（度）；（2）∠A的大小=（度）；（3）求∠ECD的大小．25．已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，点E、F分别是线段AB、CD的中点．求证：EF⊥CD．26．如图，四边形ABCD中，∠C=90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A=30°，DC=，求EC的长．27．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．28．如图1，已知∠ABC=90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．（1）求证：BE=BF；（2）如图2，连接CE，在不添加任何辅助线的条件下，直接写出图中所有的等腰三角形．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABD=2∠EBC，AD∥BC，求证：DE=2AB．30．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于点G．求证：（1）G是CE的中点；（2）∠B=2∠BCE．31．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，点F是BD的中点．（1）求证：EF⊥BD；（2）若∠BED=90°，求∠BCD的度数．（3）若∠BED=α，直接写出∠BCD的度数．（用含α的代数式表示）32．如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF=AB．33．如图，在四边形ABCD中，∠BCD=∠BAD=90°，AC，BD相交于点E，G，H 分别是AC，BD的中点．如果∠BEC=80°，求∠GHE的度数为？34．如图，∠ACB=∠ADB=90°，M、N分别为AB、CD的中点．求证：MN⊥CD．35．如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD⊥BC于过点D，作AB的平行线交AC于E．求证：DE=EC=AE．36．已知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点．求证：EF⊥BD．37．如图1，点P是∠AOB的内部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D是OP的中点．求证：∠MDN=2∠MON．小尧同学思路如下：因为PM⊥OA，垂足是M，D是OP的中点．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得到MD=OD，…课后，小尧同学发现上题中，当“点P是∠AOB的外部任意一点”结论也成立，请你证明其正确．如图2，P是∠AOB的外部任意一点，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别是M、N，D 是OP的中点．求证：∠MDN=2∠MON．38．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD为高，且CD，CE三等分∠ACB．（1）求∠B的度数；（2）求证：CE是AB边上的中线，且CE=AB．39．如图所示，一根长2.5米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，此时OB的距离为0.7米，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移动多少距离？（2）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由．40．如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）若EF=3，BC=8，求△EFM的周长；（2）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠EMF的度数．直角三角形2参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．如图，∠A=∠D=90°，AB=DE，BF=EC．求证：Rt△ABC≌Rt△DEF．【分析】先由BF=EC得到BC=EF，再根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DEF．【解答】证明：∵BF=EC，∴BF+FC=FC+EC，即BC=EF，∵∠A=∠D=90°，∴△ABC和△DEF都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．【分析】（1）根据已知条件，用HL公理证：Rt△ABC≌Rt△DCB；（2）利用Rt△ABC≌Rt△DCB的对应角相等，即可证明△OBC是等腰三角形．【解答】证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°AC=BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB=∠DCB∴OB=OC∴△OBC是等腰三角形【点评】此题主要考查学生对直角三角形全等的判定和等腰三角形的判定与性质的理解和掌握．3．如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD=AF，AC=AE．求证：BC=BE．【分析】根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，∴CD=EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt △ABF，∴BD=BF，∴BD﹣CD=BF﹣EF，即BC=BE．【解答】证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD=AF，AC=AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）．∴CD=EF．∵AD=AF，AB=AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF（HL）．∴BD=BF．∴BD﹣CD=BF﹣EF．即BC=BE．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．利用三角形全等提供的条件证明三角形全等是常见的方法，注意掌握．4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE=BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．【分析】猜想：BF⊥AE先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD=∠CAE，从而得出∠BFE=90°，即BF⊥AE．【解答】解：猜想：BF⊥AE．理由：∵∠ACB=90°，∴∠ACE=∠BCD=90°．又BC=AC，BD=AE，∴△BDC≌△AEC（HL）．∴∠CBD=∠CAE．又∴∠CAE+∠E=90°．∴∠EBF+∠E=90°．∴∠BFE=90°，即BF⊥AE．【点评】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质．猜想问题一定要认真观察图形，根据图形先猜后证．5．如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【分析】（1）根据∠1=∠2，得DE=CE，利用“HL”可证明Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，由Rt△ADE≌Rt△BEC得，∠3=∠4，从而得出∠4+∠5=90°，则△CDE是直角三角形．【解答】解：（1）全等，理由是：∵∠1=∠2，∴DE=CE，∵∠A=∠B=90°，AE=BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC；（2）是直角三角形，理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3=∠4，∵∠3+∠5=90°，∴∠4+∠5=90°，∴∠DEC=90°，∴△CDE是直角三角形．【点评】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF ⊥AB交CB于F．（1）求证：CD∥EF；（2）若∠A=70°，求∠FEC的度数．【分析】（1）根据垂直于同一条直线的两直线平行证明；（2）根据直角三角形的性质求出∠ACD，根据角平分线的定义求出∠ACE，结合图形求出∠DCE，根据平行线的性质解答即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF；（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ACD=90°﹣70°=20°，∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB，∴∠ACE=45°，∴∠DCE=45°﹣20°=25°，∵CD∥EF，∴∠FEC=∠DCE=25°．【点评】本题考查的是平行线的判定和性质、直角三角形的性质，掌握两直线平行、内错角相等、直角三角形的两锐角互余是解题的关键．7．如图，直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=12cm，BC=5cm，AB=13cm，过点C作CD⊥AB于点D．（1）找出图中相等的锐角，并说明理由．（2）求出点A到直线BC的距离以及点C到直线AB的距离．解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDA=90°，∴∠A+∠1=90°，∵∠1+ ∠2=90°，∴∠A=∠2（同角的余角相等）．同理可证，∴∠1=∠B．（2）点A到直线BC的距离=5cm．C到直线AB的距离为线段CD的长度．S△ABC=AC×BC=AB×CD（填线段名称）．∵AC=12，BC=5，AB=13，代入上式，解得CD=cm．【分析】（1）由于在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，故得出有关相等的角；（2）根据直角三角形的面积计算CD的长．【解答】解：（1）∵CD⊥AB（已知），∴∠CDA=90°，∴∠A+∠1=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2（同角的余角相等）．同理可证，∴∠1=∠B．故答案为：∠2；∠2；同角的余角相等；∠B；（2）点A到直线BC的距离=5cm．C到直线AB的距离为线段CD的长度．S△ABC=AC×BC=AB×CD．∵AC=12，BC=5，AB=13，代入上式，解得CD=cm．故答案为：5；CD；AC；BC；AB；CD；．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质及其面积公式解答．8．（1）完成下面的填空：已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F，求证：∠CEF=∠CFE证明：∵∠ACB=90°（已知），∴∠CAF+∠CFA=90°（直角三角形的两个锐角互余）．∵CD⊥AB（已知），∴∠FAB+∠AED=90°（直角三角形的两个锐角互余）∵AF平分∠CAB（已知），∴∠CAF=∠FAB（角平分线定义）∴∠CFA=∠AED（等角的余角相等），∵∠CEF=∠AED（对顶角相等），∴∠CEF=∠CFE（等量代换）（2）请用不同于（1）的方法给予证明．【分析】（1）根据给定证明过程，标注理论依据即可得出结论；（2）由直角三角形的两个锐角互补可得出∠CAB+∠B=90°、∠CAB+∠ACD=90°，由等角的余角相等可得出∠ACD=∠B，根据角平分线的定义结合三角形外角的性质可证出∠CEF=∠CFE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°（已知），∴∠CAF+∠CFA=90°（直角三角形的两个锐角互余）．∵CD⊥AB（已知），∴∠FAB+∠AED=90°（直角三角形的两个锐角互余）∵AF平分∠CAB（已知），∴∠CAF=∠FAB（角平分线定义）∴∠CFA=∠AED（等角的余角相等），∵∠CEF=∠AED（对顶角相等），∴∠CEF=∠CFE（等量代换）．答案为：CFA；直角三角形的两个锐角互余；AED；直角三角形的两个锐角互余；已知；角平分线定义；CFA；AED；等角的余角相等；AED；对顶角相等；等量代换．（2）∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．∵CD⊥AB，∴∠CAB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B．∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAB．∵∠CEF=∠CAF+∠ACD，∠CFE=∠FAB+∠B，∴∠CEF=∠CFE．【点评】本题考查了直角三角形的性质、角平分线定义、对顶角以及三角形外角的性质，解题的关键是：（1）根据给定证明过程，标注解题的依据；（2）利用三角形外角的性质找出∠CEF=∠CAF+∠ACD、∠CFE=∠FAB+∠B．9．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．【分析】（1）先判断出∠ACD+∠BCD=90°，进而得出∠B+∠BCD=90°，即可得出结论；（2）先求出∠ACD，进而利用折叠得出∠A'CD，再利用直角三角形的性质得出∠BCD，即可得出结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB；（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=34°，由（1）知，∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=56°，由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°；②当∠B=n°时，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，折叠的直线，等式的性质，判判断出CD⊥AB是解本题的关键．10．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B的平分线AD、BE交于F，求∠AFB的度数．【分析】先根据∠C=90°，求得∠CAB+∠CBA=90°，再根据AD、BE平分∠CAB、∠CBA，即可得到∠FAB+∠FBA=45°，最后根据三角形内角和定理即可得到∠AFB=135°．【解答】解：∵∠C=90°，∴∠CAB+∠CBA=90°，∵AD、BE平分∠CAB、∠CBA，∴∠FAB+∠FBA=45°，∴∠AFB=135°．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．11．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．【解答】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．12．如图，由一副三角尺拼成的图形，写出∠C，∠EAD，∠CBE的度数．【分析】根据三角形内角和定理求出∠EAD，根据三角形外角性质求出∠CBE即可．【解答】解：∠C=90°，∠EAD=90°﹣30°=60°，∠CBE=180°﹣45°=135°．【点评】本题考查了三角形外角性质和三角形内角和定理的应用，能求出∠EAD 和∠CBE的度数是解此题的关键．13．如图，已知：BD，CE是△ABC的两条高．（1）求证：∠ABD=∠ACE；（2）若AB=AC，求证：DE∥BC．【分析】（1）先根据BD，CE是△ABC的两条高得出∠AEC=∠ADB=90°，再由直角三角形的性质即可得出结论；（2）根据AB=AC可知∠ABC=∠ACB，由SAS定理可得出△BDC≌△CEB，故可得出BE=CD，由此可得出结论．【解答】证明：（1）∵BD，CE是△ABC的两条高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∴∠A+∠ACE=90°，∠A+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠ACE；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．在△BDC与△CEB中，，∴△BDC≌△CEB（AAS），∴BE=CD，∵AB=AC，∴AE=AD，∴∠AED=∠ADE，∵∠A+∠AED+∠ADE=180°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠AED=∠ABC，∴DE∥BC．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，熟知直角三角形两角互补的性质是解答此题的关键．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若∠A=30°，CD=2．（1）求∠BDC的度数；（2）求AC的长度．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质求出AD=BD，求出∠DBA=∠A=30°，根据三角形外角的性质求出即可；（2）求出∠CBD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BD，即可求出AC．【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，∴BD=AD，∴∠DBA=∠A=30°，∴∠BDC=∠DBA+∠A=60°；（2）∵∠C=90°，∠BDC=60°，∴∠CBD=90°﹣∠BDC=30°，∴BD=2CD=4，∴AD=BD=4．∴AC=AD+DC=6．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．15．证明命题：直角三角形30°角所对的边是斜边的一半，请写已知，求证，并证明．已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；求证：BC=AB；证明过程：延长BC到D，使CD=BC，连接AD，∵∠C=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB．．【分析】延长BC到D，使CD=BC，连接AD，求出△ADB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出BD=AB，即可得出答案．【解答】已知：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：BC=AB，证明：延长BC到D，使CD=BC，连接AD，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB，故答案为：△ABC中，∠C=90°，∠A=30°；BC=AB；延长BC到D，使CD=BC，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BD，∴AD=AB，∵∠ACB=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD=AB，∵BC=CD=BD，∴BC=AB．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和等边三角形的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键．16．如图，已知等边△ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为4，求BH的长．【分析】根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：在Rt△ADF中，∵∠A=60°，∠DFA=90°，∴∠ADF=30°，∵D是AB的中点，∴AD=，∴AF=，∴CF=AC﹣AF=4﹣1=3，在Rt△FHC中，∵∠C=60°，∠FHC=90°，∴∠HFC=30°，∴HC=，∴BH=BC﹣HC=4﹣1.5=2.5．【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据30°对的边是斜边的一半解答．17．同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”（1）请写出它的逆命题在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半；该逆命题是一个真命题（填“真”或“假”）（2）若你的判断是真命题请写出证明过程（要求画图，并写出已知，求证）．若是假命题，请说明理由．【分析】（1）写出逆命题，并判断是真命题；（2）首先写出已知、求证，画出图形，借助等边三角形的判定和性质证明或借助三角形的外接圆证明．【解答】解：（1）原命题的逆命题为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，该逆命题是一个真命题；故答案为：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半，真；（2）已知，在Rt△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°．求证：BC=AB．证明：证法一：如图1所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB，∠BAD=60°．∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD，∴BC=CD=AB，即BC=AB．证法二：如图2所示，取AB的中点D，连接DC，有CD=AB=AD=DB，∴∠DCA=∠A=30°，∠BDC=∠DCA+∠A=60°．∴△DBC为等边三角形，∴BC=DB=AB，即BC=AB．证法三：如图3所示，在AB上取一点D，使BD=BC，∵∠B=60°，∴△BDC为等边三角形，∴∠DCB=60°，∠ACD=90°﹣∠DCB=90°﹣60°=30°=∠A．∴DC=DA，即有BC=BD=DA=AB，∴BC=AB．证法四：如图3所示，作△ABC的外接圆⊙D，∠C=90°，AB为⊙O的直径，连DC，有DB=DC，∠BDC=2∠A=2×30°=60°，∴△DBC为等边三角形，∴BC=DB=DA=AB，即BC=AB．【点评】本题考查的是直角三角形30度角的性质和等边三角形的判定、互逆命题的定义，熟练掌握直角三角形30度角的性质的证明是关键．18．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．【分析】（1）先过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求得∠PAD的度数是30°，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解；（2）作PD⊥AB，利用直角三角形性质求出PD长，和3海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．【解答】解：（1）过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD=90°﹣60°=30°且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=7（海里）．（2）作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB=15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠PBD=30°，∴PD=PB=3.5＞3，∴该船继续向东航行，没有触礁的危险．【点评】此题考查的是解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．正确证明△APB是等腰三角形是解决本题的关键．19．如图，一艘轮船以每小时40海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30°方向上，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60°方向上．当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了多少海里．【分析】根据三角形外角和定理可求得BC的值，然后放到直角三角形BCD中，借助60°角的余弦值即可解答．【解答】解：∵CD⊥DB，∠CBD=60°，∴∠DCB=30°∴DB=BC，∴BC=2DB，又∵∠BCA=60°﹣30°=30°，∴BC=BA，∴BC=2×40=80（海里），∴DB=40海里，答：当轮船到达灯塔C的正东方向D处时，又航行了40海里【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．20．一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．【分析】作PD⊥AB，利用直角三角形性质求出PD长，和3.8海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．【解答】解：有触礁危险．理由如下：解：作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB=15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠PBD=30°，∴PD=PB=3.5＜3.8，∴该船继续向东航行，有触礁的危险．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，关键找出题中的等腰三角形，然后再根据直角三角形性质求解．21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，边AB的垂直平分线交边BC 于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC=DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）【分析】先根据线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得：DF与BE的关系，最后根据直角三角形30度的性质得AC和AE的关系，从而得出结论．【解答】证明：连接AE，∵DE是AB的垂直平分线（已知），∴AE=BE，∠EDB=90°（线段垂直平分线的性质），∴∠EAB=∠EBA=15°（等边对等角），∴∠AEC=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），∴DF=BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），Rt△ACE中，∵∠AEC=30°（已知），∴AC=AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），∴AC=DF（等量代换）．【点评】本题考查了直角三角形含30度角的性质、直角三角形斜边中线及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是关键，属于基础题．22．已知：如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，点M是BC 的中点，且MN⊥DE，垂足为点N（1）求证：ME=MD；（2）如果BD平分∠ABC，求证：AC=4EN．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到DM=BC，EM=BC，等量代换即可证明；（2）证明△ABD≌△CBD，根据全等三角形的性质得到AD=CD，根据直角三角形的性质，等腰三角形的性质证明．【解答】证明：（1）∵BD是边AC上的高，∴∠BDC=90°，∵点M是BC的中点，∴DM=BC，同理，EM=BC，∴ME=MD；（2）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，．∵BD是边AC上的高，∴∠ADB=∠CDB=90°．在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AD=CD，∵CE是边AB上的高，∴∠CEA=90°，∴AC=2ED，∵ME=MD，MN⊥DE，∴DE=2EN，∴AC=4EN．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．23．已知，如图，∠ABC=∠ADC=90°，点E、F分别是AC、BD的中点，AC=10，BD=6．（1）求证：EF⊥BD；（2）求EF的长．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求BE=DE，根据等腰三角形的性质，可得结论；（2）根据题意可得BE=5，BF=3，根据勾股定理可求EF的长【解答】证明：（1）连接BE，DE∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，∴BE=AC，DE=AC∴BE=DE∵点F是BD的中点，BE=DE∴EF⊥BD（2）∵BE=AC∴BE=5∵点F是BD的中点∴BF=DF=3在Rt△BEF中，EF===4【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是本题的关键．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点．（1）∠BCD的大小=22.5（度）；（2）∠A的大小=22.5（度）；（3）求∠ECD的大小．【分析】（1）求出∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，（2）根据等角的余角相等求得∠A的大小；（3）根据三角形内角和定理求出∠B=67.5°，根据直角三角形斜边上中线性质求出BE=CE，推出∠BCE=∠B=67.5°，代入∠ECD=∠BCE﹣∠BCD求出即可．【解答】解：（1）∵∠ACD=3∠BCD，∠ACB=90°，∴∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，故答案是：22.5°；（2）∵∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD=22.5°，故答案是：22.5；（3）∵∠ACD=3∠BCD，∠ACB=90°，∴∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°，∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∴∠B=180°﹣90°﹣22.5°=67.5°，∵∠ACB=90°，E是斜边AB的中点，∴BE=CE，∴∠BCE=∠B=67.5°，∴∠ECD=∠BCE﹣∠BCD=67.5°﹣22.5°=45°．【点评】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出∠BCE和∠BCD 的度数，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．25．已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，点E、F分别是线段AB、CD的中点．求证：EF⊥CD．【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可以求得DE=CE，再根据等腰三角形的性质可以得到EF⊥CD，从而可以证明结论成立．【解答】证明：连接DE、CE，∵△ABC中，∠ACB=90°，E是AB中点，∴CE=AB，同理可得，DE=AB，∴DE=CE．∵△CDE中，F是CD中点，∴EF⊥CD．【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．26．如图，四边形ABCD中，∠C=90°，AD⊥DB，点E为AB的中点，DE∥BC．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）连接EC，若∠A=30°，DC=，求EC的长．【分析】（1）直接利用直角三角形的性质得出DE=BE=AB，再利用DE∥BC，得出∠2=∠3，进而得出答案；（2）利用已知得出在Rt△BCD中，∠3=60°，DC=，得出DB的长，进而得出EC的长．【解答】（1）证明：∵AD⊥DB，点E为AB的中点，∴DE=BE=AB．∴∠1=∠2．∵DE∥BC，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴BD平分∠ABC．（2）解：∵AD⊥DB，∠A=30°，∴∠1=60°．∴∠3=∠2=60°．∵∠BCD=90°，∴∠4=30°．∴∠CDE=∠2+∠4=90°．在Rt△BCD中，∠3=60°，DC=，∴DB=2．∵DE=BE，∠1=60°，∴DE=DB=2．∴EC===．【点评】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，正确得出DB，DE的长是解题关键．27．如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD，E为AB的中点，（1）如图1，求证：△ECD是等腰三角形；（2）如图2，CD与AB交点为F，若AD=BD，EF=3，DE=4，求CD的长．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到CE=AB，DE=AB，得到CE=DE，证明结论；（2）过点E作EH⊥CD，根据三角形的面积公式求出EH，根据勾股定理求出DH，根据等腰三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，又∵E为AB的中点，∴CE=AB，DE=AB∴CE=DE，即△ECD是等腰三角形；（2）∵AD=BD，E为AB的中点，∴DE⊥AB，已知DE=4，EF=3，∴DF=5，过点E作EH⊥CD，∵∠FED=90°，EH⊥DF，∴EH==，∴DH==，∵△ECD是等腰三角形，∴CD=2DH=．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．28．如图1，已知∠ABC=90°，△ABC是等腰三角形，点D为斜边AC的中点，连接DB，过点A作∠BAC的平分线，分别与DB，BC相交于点E，F．。

新苏科版八年级上册初中数学 2-5 课时3 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半教学课件

2
所以△EFM 的周长=5+4+4=13.
拓展与延伸
如图，已知 Rt△CDE ≌ Rt△ACF,则∠DCE + ∠ACF =___9_0_°__，即 ∠ACB=__9_0_°___. ① 设小方格的边长为 1 ,则 AB=___1_0__； ② 取 AB 的中点 M ,连接 CM,则 CM=___5____, 理由是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .
2
等于斜边的一半）．
新课讲解
练一练
在 Rt△ABC 中，如果斜边 AB 为 4 cm，那么斜边上的中线 CD =___2___cm．
课堂小结
定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
当堂小练
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CA=CB，如果斜边 AB= 5cm，那么斜边上的高CD=____2_.5____cm．
新课导入
你能用折纸的方法将一个直角三角形分成两个等腰三角形吗？
新课导入
1．任意剪出一张直角三角形纸片（如图1）．
你还有其他发现吗？
图1
图2
图3
2．剪得的纸片是否能折成图2的形状？
3．△ACD 与 △BCD 为什么是等腰三角形？请说明理由．
新课讲解
知识点1 直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半
在直角三角形中，30°的内角所对的直角边等于斜边的一半.
新课讲解
证明：如图，作斜边上的中线 CD.
∵∠ACB = 90°，∠A=30°，
∴∠B=60°．
∵∠ACB = 90°，CD是斜边上的中线，
∴CD
=
1 2
AB
=BD．
∴△BCD 是等边三角形（有一个角是60°的

八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ第2课时教学课件湘教版

一个门框尺寸如图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框C通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通2过m．
∴ 只能试试斜着能否通过，
对要角求线出AACC的的A长长1最，m大怎，样B因求此呢需？
3.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺
B
地毯，地毯的长度至少需____7____米
C
A
4．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处.另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高____1_5______米.
5．在Rt△ABC中, ∠C=90°, ∠A ，∠ B， ∠C 的对边分别为 a,b,c. (1) 已知: a=5, b=12, 求c. c=12. (2) 已知: b=6,•c=10 , 求a. a=8. (3) 已知: a=7, c=25, 求b. b=24. (4) 已知: a=7, c=8, 求b . b= 15.
A
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°，
D
∴ AC2+ BC2＝AB2， 2.42+ BC2＝2.52，
∴BC＝0.7m. 由题意得：DE＝AB＝2.5m，
C
BE
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m.
在Rt△DCE中，∵∠DCE=90°， ∴ DC2+ CE2＝DE2 ，22+ CE2＝2.52， ∴CE＝1.5m, ∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m.

鲁教版九年级上册数学第二章直角三角形的边角关系解直角三角形在实际中的一般应用

【点拨】∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴
AD
＝
AC·sin50°≈2×0.77≈1.5(m)．
5．如图，AB是伸缩式遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不射入窗户，则AB的长是 ________m．(假设夏至的正午时刻阳光与地平面
的夹3角为60°)
6．如图，已知电线杆 AB 直立于地面上，它的影子恰好落在土坡的坡面 CD 和地面 BC 上，如果 CD 与地面成 45°角，∠A ＝60°，CD＝4 m，BC＝(4 6－2 2) m，则电线杆 AB 的长为________m.
12．【2019·宿迁】宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，车轮半径为 32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点 B的距离BE为15cm.
(1)求坐垫E到地面的距离；
解：如图①，过点E作EM⊥CD于点M. 由题意知∠BCM＝64°，EC＝BC＋ BE＝60＋15＝75(cm)， ∴EM＝EC·sin∠BCM＝75×sin64°≈67.5(cm)． ∵CD与地面l平行，∴CF＝32cm. 故坐垫E到地面的距离为EM＋CF≈67.5＋32＝99.5(cm)．
参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
解：如图，过点H作HN⊥BA于点N，并延长交DC 于点M，则DC⊥MN. 由题意可知MN＝CA＝10m，MC＝EF＝1.6m，HF ＝GE＝6m. ∵∠BHN＝45°，BA⊥MH， ∴BN＝NH.
设 BN＝NH＝x m， ∵HF＝6 m，∠BFN＝30°，
(2)根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的 0.8时，坐骑比较舒适，小明的腿长约为80cm，现将坐垫 E 调整至坐骑舒适高度位置 E′ ，求 EE′ 的长．(结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90， cos64°≈0.44，tan64°≈2.05)

七年级(下)数学培优班--第10讲直角三角形(二) 教师版

【分析】 ⑴ 可知斜边为 5 ，直角三角形中斜边上的中线长为 2.5 ，斜边上的高为： 3 4 2.4 ； 5
⑵ 若 3 为直角边长， 4 为斜边长，则另一条直角边长为： 42 32 7 ；
若 3 和 4 为两条直角边长，则斜边长为： 32 42 5 ； ⑶ 在 RtABC 中，∵ A 90 ，∴ b2 c2 a2 ，即 c2 a2 b2 .故 c 152 122 9 ．
SABCD
S△ABC
S△ACD
1 2
AB
BC
1 2
AC
C★★☆☆☆ ⑴ 如图1 ，已知 △ABC 中， ACB 90 ， A 30 ， CD 4 ， D 为 AB 的中点，则 AC 的长是____________． ⑵ 如图 2 ，已知 Rt△ABC 中， ACB 90 ， CD 是高， A 30 ， BD 2 ，则 CD ____________， AB ____________． ⑶ 如图 3 ，在矩形 ABCD 中， AB 2BC ，在 CD 上取一点 E ，使 AE AB ，则 EBC 的度数为____________．
C
A
D
B
【分析】设 AD x ，则 BD 8x ，列方程得 25 x2 49 8 x2 ，解得 x 5 ，故 BAC 60 ．
2
【例题5】 ★★★☆☆ 如图，一游人由山脚 A 沿坡角为 30 的山坡 AB 行走 600m ，到达一个景点 B ，再由 B 沿山坡 BC 行走 200m 到达山顶 C ，若在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为 45 ，则山高 CD 等于____________．（结果用根号表示）
⑶ 如图 3 ，四边形 ABCD 中， B 90 ， AB 3 ， BC 4 ， CD 12 ， AD 13，则四边形 ABCD 的面积为____________.

2直角三角形----知识讲解(提高)及其练习含答案

直角三角形----知识讲解（提高）【学习目标】1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用. 【要点梳理】要点一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中已知线段的长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.（3）理解勾股定理的一些变式：222a c b =-，222b c a =-， ()222c a b ab =+-.（4）勾股数：满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助：① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41……② 如果a b c 、、是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.③22121n n n -+，，（1,n n >是自然数）是直角三角形的三条边长； ④2222,21,221n n n n n ++++（n 是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤2222,,2m n m n mn -+ （,m n m n >、是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.，所以.要点三、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点四、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如c ）.（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系.若222c a b =+，则△ABC 是∠C ＝90°的直角三角形；若222c a b ≠+，则△ABC 不是直角三角形.要点诠释：当222a b c +<时，此三角形为钝角三角形；当222a b c +>时，此三角形为锐角三角形，其中c 为三角形的最大边. 要点五、互逆命题与互逆定理如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.一个定理是真命题，每一个定理不一定有逆定理，如果这个定理存在着逆定理，则一定是真命题. 要点六、直角三角形全等的判定（HL ）在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简称“斜边、直角边”或“HL ”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了.（2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”.【典型例题】类型一、勾股定理1、（春•卢龙县期末）已知两条线段的长为3cm和4cm，当第三条线段的长为_________ cm时，这三条线段能组成一个直角三角形．【思路点拨】本题从边的方面考查三角形形成的条件，涉及分类讨论的思考方法，即：由于“两边长分别为3和5，要使这个三角形是直角三角形，”指代不明，因此，要讨论第三边是直角边和斜边的情形．【答案】5或．【解析】解：①当第三边是直角边时，根据勾股定理，第三边的长==5，三角形的边长分别为3，4，5能构成三角形；②当第三边是斜边时，根据勾股定理，第三边的长==，三角形的边长分别为3，，亦能构成三角形；综合以上两种情况，第三边的长应为5或，故答案为5或．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，解题时注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边，当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．2、（春•黔南州期末）长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．【答案与解析】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，△ADE中，DE2=AE2+AD2，即x2=（10﹣x）2+16．∴x=（cm ）．答：DE 的长为cm.【总结升华】注意此类题中，要能够发现折叠的对应线段相等．类型二、勾股定理的逆定理3、如图所示，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，AD ＝23，CD ＝3，BC ＝5，求∠ADC 的度数．【答案与解析】解：∵ AB ⊥AD ，∴ ∠A ＝90°，在Rt △ABD 中，222222(23)16BD AB AD =+=+=． ∴ BD ＝4， ∴ 12AB BD =，可知∠ADB ＝30°，在△BDC 中，22216325BD CD +=+=，22525BC ==， ∴ 222BD CD BC +=，∴ ∠BDC ＝90°， ∴ ∠ADC ＝∠ADB+∠BDC ＝30°+90°＝120°．【总结升华】利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理．举一反三：【变式1】△ABC 三边a b c ，，满足222338102426a b c a b c +++=++，则△ABC 是（） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形【答案】D ；提示：由题意()()()222512130a b c -+-+-=，51213a b c ===，，，因为222a b c +=，所以△ABC 为直角三角形.【变式2】（春•厦门校级期末）在四边形ABCD 中，AB=AD=2，∠A=60°，BC=2，CD=4．求∠ADC 的度数．【答案】解：连接BD ，∵AB=AD=2，∠A=60°， ∴△ABD 是等边三角形， ∴BD=2，∠ADB=60°， ∵BC=2，CD=4，则BD 2+CD 2=22+42=20，BC 2=（2）2=20，∴BD 2+CD 2=BC 2， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=150°．类型三、勾股定理、逆定理的实际应用4、如图所示，在一棵树的10m 高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20m 处的池塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？【思路点拨】其中一只猴子从B →C →A 共走了(10+20)=30m ，另一只猴子从B →D →A 也共走了30m ，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．【答案与解析】解：设树高CD 为x ，则BD ＝x －10，AD ＝30－(x －10)＝40－x ，在Rt △ACD 中，22220(40)x x +=-，解得：x ＝15．答：这棵树高15m ．【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA ，然后利用勾股定理作等量关系列方程求解．举一反三：【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)【答案】解：如图②所示，由题意可得： 12AA '=，12392A B π'=⨯⨯= 在Rt △AA ′B 中，根据勾股定理得： 22222129225AB AA A B ''=+=+= 则AB ＝15．所以需要爬行的最短路程是15cm ．5、（春•武昌区期中）某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口1小时后相距20海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？【答案与解析】解：1小时“远航”号的航行距离：OB=16×1=16海里；1小时“海天”号的航行距离：OA=12×1=12海里，因为AB=20海里，所以AB 2=OB 2+OA 2，即202=162+122，所以△OAB 是直角三角形，又因为∠1=45°，所以∠2=45°，故“海天”号沿西北方向航行或东南方向航行．【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．类型四、原命题与逆命题6、下列命题中，逆命题错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形是平行四边形C．平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】C；【解析】解：A的逆命题是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．由平行四边形的判定可知这是真命题；B的逆命题是：平行四边形的两对邻角互补，由平行四边形的性质可知这是真命题；C的逆命题是：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故是错误的；D的逆命题是：平行四边形的两组对边分别相等地，由平行四边形的性质可知这是真命题；故选C．【总结升华】分别写出每个命题的逆命题，再判断其真假即可．此题主要考查学生对逆命题的定义的理解，要求学生对基础知识牢固掌握．举一反三：【变式】下列命题中，逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．如果两个实数相等，那么它们的平方数相等C．等腰三角形两底角相等D．两个全等三角形的对应角相等【答案】C；解：A的逆命题是：相等的角是对顶角是假命题，故本选项错误，B的逆命题是：如果两实数的平方相等，那么两实数相等是假命题，故本选项错误，C的逆命题是：两底角相等的三角形是等腰三角形是真命题，故本选项正确，D的逆命题是：对角线相等的两个三角形是全都三角形是假命题，故本选项错误，故选C．类型五、直角三角形全等的判定——“HL”7、已知：如图，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，AE⊥BE，垂足为E．求证：AD=AE．【思路点拨】证明线段相等，可证线段所在的三角形全等，结合本题，证△ADB≌△AEB即可．【答案与解析】证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠ADB=90°，∵AE⊥EB，∴∠E=∠ADB=90°，∵AB平分∠DAE，∴∠EAB=∠DAB；在△ADB与△AEB中，90EAB DABE ADBAB AB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD=AE．【总结升华】此题考查线段相等，可以通过全等三角形来证明，要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．8、如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图①过A的直线与斜边BC不相交时，求证：EF=BE+CF；（2）如图②过A的直线与斜边BC相交时，其他条件不变，若BE=10，CF=3，求：FE长．【答案与解析】（1）证明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠EBA，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△ABE≌△CAF．∴EA=FC，BE=AF．∴EF=EA+AF．（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠CAF=∠ABE，在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，∴△ABE≌△CAF．∴EA=FC=3，BE=AF=10．∴EF=AF-CF=10-3=7．【总结升华】此题根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；（2）根据（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根据对应边相等就可以求出EF 了．此题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．直角三角形——巩固练习（提高）【巩固练习】一.选择题1．若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为( )A.5B.7C.5或7D.72．（•诏安县校级模拟）下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C． D．a=15，b=8，c=173．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）4.cba,,为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高，下列说法：①222,,cba能组成一个三角形②cba,,能组成三角形③hbahc,,++能组成直角三角形④hba1,1,1能组成直角三角形其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45.已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A. 1B. 2C. 5D. 无法确定6. 下列定理中，有逆定理的是（）A．四边形的内角和等于360° B．同角的余角相等C．全等三角形对应角相等 D．在一个三角形中，等边对等角二.填空题7．如图，在55⨯的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，这样的点C 共个．8．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是1234S S S S ，，，，则1234S S S S +++=______．9.（春•普宁市期末）如图，已知AB ⊥CD ，垂足为B ，BC=BE ，若直接应用“HL”判定△ABC ≌△DBE ，则需要添加的一个条件是．10.（春•滑县期末）如果三角形的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，则三角形为三角形．11. 如图，已知AD 是△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于F ，且BF ＝AC ，FD ＝CD.则 ∠BAD ＝_______.12.在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R ，S ，PR=PS ，AQ=PQ ，则下面三个结论：①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是．三.解答题13.（春•黄冈期中）a，b，c为三角形ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判别这个三角形的形状．14.如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC 才能和△APQ全等．15.（春•建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为；（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为；（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．【答案与解析】一.选择题 1.【答案】C ；【解析】x 可能是直角边，也可能是斜边.2.【答案】C ；【解析】解：A 、满足勾股定理：72+242=252，故A 选项不符合题意；B 、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B 选项不符合题意； C 、不满足勾股定理，不是勾股数，故C 选项符合题意； D 、满足勾股定理：152+82=172，故D 选项不符合题意．故选：C ．3.【答案】C ；【解析】22222272425152025+=+=，. 4.【答案】C ；【解析】因为222a b c +=，两边之和等于第三边，故222,,c b a 不能组成一个三角形，①错误；因为a b c +>，所以c b a ,,能组成三角形，②正确；因为ab ch =，所以2222222a ab b h c ch h +++=++，即()()222a b h c h ++=+，③正确；因为2222222222222111a b c c a b a b a b c h h +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以④正确.5.【答案】A ；【解析】因为知道AD 的长，所以只要求出AD 边上的高，就可以求出△ADE 的面积．过D作BC 的垂线交BC 于G ，过E 作AD 的垂线交AD 的延长线于F ，构造出Rt △EDF ≌Rt △CDG ，求出GC 的长，即为EF 的长，然后利用三角形的面积公式解答即可6. 【答案】D.二.填空题7. 【答案】8；【解析】如图所示：有8个点满足要求.8．【答案】4；【解析】123413S S S S +=+=，故12344S S S S +++=. 9．【答案】AC=DE ；【解析】解：AC=DE ，理由是：∵AB ⊥DC ， ∴∠ABC=∠DBE=90°，在Rt △ABC 和Rt △DBE 中，，∴Rt △ABC ≌Rt △DBE （HL ）．故答案为：AC=DE ．10.【答案】直角；【解析】解：∵a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c∴a 2+b 2+c 2﹣6a ﹣8b ﹣10c+50=0即a 2﹣6a+9+b 2﹣8b+16+c 2﹣10c+25=0∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2+（c ﹣5）2=0 ∴a=3，b=4，c=5∵a 2+b 2=c 2∴三角形为直角三角形．11.【答案】45°；【解析】证△ADC 与△BDF 全等，AD ＝BD ，△ABD 为等腰直角三角形. 12.【答案】①②．【解析】解：连接AP ，在Rt△ASP 和Rt△ARP 中， PR=PS ，PA=PA ，所以Rt△ASP≌Rt△ARP，所以①AS=AR 正确；因为AQ=PQ ，所以∠QAP=∠QPA，又因为Rt△ASP≌Rt△ARP，所以∠PAR=∠PAQ，于是∠RAP=∠QPA，所以②PQ∥AR正确；③△BRP≌△CSP，根据现有条件无法确定其全等．故答案为：①②．三.解答题13.【解析】解：由a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，得：（a2﹣10a+25）+（b2﹣24b+144）+（c2﹣26c+169）=0，即：（a﹣5）2+（b﹣12）2+（c﹣13）2=0，由非负数的性质可得：，解得，∵52+122=169=132，即a2+b2=c2，∴∠C=90°，即三角形ABC为直角三角形．14.【解析】解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP=BC时，∵∠C=∠QAP=90°，在Rt△ABC与Rt△QPA中，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），即AP=BC=5cm；②当P运动到与C点重合时，AP=AC，在Rt△ABC与Rt△QPA中，，∴Rt△QAP≌Rt△BCA（HL），即AP=AC=10cm，∴当点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．综上所述，当P运动到AP=BC、点P与点C重合时，△ABC才能和△APQ全等．15.【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，∴DC==6（m），则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．故答案为：32m；（2）如图2，当BA=BD=10m时，则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），故AD==4（m），则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；故答案为：（20+4）m；（3）如图3，∵DA=DB，∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，∴DC2+AC2=AD2，即x2+82=（6+x）2，解得；x=，∵AC=8m，BC=6m，∴AB=10m，故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．。

考点16 直角三角形【无答案】

考点16 直角三角形数学中考中，直角三角形一直是一个较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为：直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点。

出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向等。

一、直角三角形的性质和判定二、勾股定理及其逆定理三、勾股定理与弦图、拼图考向一：直角三角形的性质和判定一．直角三角形的性质与判定性质直角三角形的两个锐角互余直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边长的一半判定有一个角是90°的三角形时直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形直角三角形摄影定理图形常见的三个应用方向1．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ，使点B 恰好落在边AC 上点E 处，若∠B ＝65°，则∠ADE 的大小为（）A ．40°B ．50°C ．65°D ．75°2．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，若点D 恰好在边BC 的垂直平分线上，则∠C 的度数为（）1. 等积法（求斜边上的高）2. 同角的余角相等（得∠A=∠BCD ）3. 射影定理在圆中因为直径所对圆周角=90°，转化得此图形，进而利用以上3个结论！A．36°B．30°C．40°D．45°3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的平分线，DF ∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（）A．5.5B．6.5C．7.5D．64．如图，一架梯子AB斜靠在竖直墙上，点M为梯子AB的中点，当梯子底端向左水平滑动到CD位置时，滑动过程中OM的变化规律是（）A．变小B．不变C．变大D．先变小再变大5．如图，在△ABC中，点D在AB边上且CD＝CB，BE⊥AC于点E，AB＝8，CE＝6，∠ABE＝30°，则AD的长等于（）A．1B．1.5C．1.6D．26．如图所示，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝13，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM的长为（）A．4B．5C．6D．5.57．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD，若∠BAD＝52°，则∠EBD＝°．8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝15°，∠ADB＝30°，AB＝3，则CD＝cm．9．如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的长度．考向二：勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理形勾股定理方向去想。

初二直角三角形复习同步讲义

初二直角三角形复习同步讲义-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN授课类型T(知识点梳理) C 直角三角形的复习T （学法与能力主题）授课日期及时段教学内容一、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半二、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形三、勾股定理和它的逆定理：1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形注意：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。

（请画图）4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形边角线判定直角三角形222c b a =+两锐角互余CD=AD=BD (斜边上的中线等于斜边的一半)应用：①斜边上的中线把Rt △分成两等腰三角形；②等腰Rt △斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt △。

①若∠A+∠B=90°，则△ABC 为Rt △; ②若222c b a =+，则△ABC 为Rt △;③若CD=AD=BD ，则△ABC 为Rt △;黄金直角三角形2:3:1::=c b a等腰直角三角形2:1:1::=c b a四、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在注意：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。

解直角三角形

解直角三角形一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；●会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．重点难点：●重点：掌握解直角三角形的一般方法和步骤，在以后的学习和实际生活、生产中经常运用．●难点：把实际生活、生产中存在的和平面图形计算的有关问题转化为解直角三角形问题．学习策略：●本节课的主要内容是解直角三角形的概念及应用解直角三角形的知识去解决实际问题.学习本节知识主要把握好三个关系——边边关系、边角关系、锐角之间的关系，把锐角三角函数、勾股定理同实际问题有机结合起来，核心是找到可解的直角三角形.●解直角三角形的口诀：有斜(斜边)用弦(正弦、余弦)，无斜边用切(正切)，宁乘勿除，取原(原始数据)避中(中间数据).二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对知识回顾——复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）锐角三角函数的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A所对的直角边称为∠A的对边，另一条直角边称为∠A的邻边．锐角A的与的比叫做∠A的正弦，记作；锐角A的与的比叫做∠A的余弦，记作；锐角A的与的比叫做∠A的正切，记作．（二）特殊角的三角函数值锐角αsinαcosαtanα30°45°60°（三）锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）互余关系：..........................sin cos(90)cosA=-=o，..........................cos sin(90)sinA=-=o；（2）平方关系：22.............sin cosA A+=；（3）倒数关系：.............tan tan(90)1A-=og或.............1tantanA=；（4）相除关系：..........................sintancosA=．知识点一：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：（1）边之间的关系： (勾股定理).（2）锐角之间的关系： + =90°.（3）边角之间的关系：知识要点——预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。

初中数学_2.5解直角三角形的应用教学设计学情分析教材分析课后反思

初中数学_2.5解直⾓三⾓形的应⽤教学设计学情分析教材分析课后反思《解直⾓三⾓形》复习学案复习⽬标：1、加深对锐⾓三函数定义的理解2、运⽤解直⾓三⾓形的⽅法解决实际问题课前延伸案：1、解直⾓三⾓形的依据：三边关系：_________________________锐⾓之间的关系:___________________________边⾓之间的关系（锐⾓三⾓函数）sinA ＝__________________cosA＝__________________tanA＝__________________2、特殊⾓的三⾓函数值3、（1）仰⾓与俯⾓：(2) 坡度：tanα=__________l⽔平线课内探究案⼀、巩固基础：1、在Rt△ABC中，若∠C=90°（1）已知BC=1 ，AC= ，解此直⾓三⾓形。

（2）已知c= ，∠A=60°，解此直⾓三⾓形。

2、已知：在△ABC中∠A=45°,∠B=30°,BC=20，求AB（结果保留根号）．3、已知：在△ABC中∠A=30°,∠B=135°,AC=20，求AB（结果保留根号）．38ACB⼆、提⾼能⼒：1.将2中“BC=20”改为“AB=20”求BC的长度？{已知：在△ABC中∠A=45°,∠B=30°,AB=20，求BC（结果保留根号）．} 2.将3中“AC=20”改为“AB=20”求AC的长度？{已知：在△ABC中∠A=30°,∠B=135°,AB=20，求AC（结果保留根号）}三、实际应⽤：⼩明⼩亮到欢乐海旅游，两⼈分别在相距20⽶C 、B两处测得瞭望塔的仰⾓分别为45°和30°，⼆⼈⾝⾼都是1.5m，且B 、 C 、D在⼀条直线上，求：瞭望塔的⾼度（保留根号）．ADCBC四、课堂检测：1、如图，某拦河坝横截⾯的原设计⽅案为AH ∥BC ，坝⾓∠ABC=60°, 坝顶到坝脚的距离AB=6m ，为了提⾼拦河坝的牢固程度，现将坝⾓改为45°，由此A 点需向右平移⾄D 点，求AD 的长。

直角三角形的性质第二课时

探讨“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”引入及其验证新课程标准的观念强调我们教师要变“教教材”为“用教材”。

在阅读到浙教版八年级上册2.5直角三角形（第二课时）时，对于定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”给出及其验证，笔者有许多不解之处。

现将笔者思考内容与诸君探讨，以供评析。

教材内容：从回顾上节课例2的结论“等腰直角三角形斜边上的高线等于斜边的一半”入手。

提出“等腰直角三角形斜边上的高也是斜边上的中线”，那么对于一般的直角三角形是否也有此性质呢？通过合作学习“任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长度。

你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？”来给出性质的验证。

教材内容分析：由回顾特殊直角三角形等腰直角三角形具有的性质引入，问一般直角三角形是否也具有一般性质，由特殊到一般，作出这样的猜想，符合学生的认知规律。

猜想得出后，教材中采取测量实验验证的方法。

八年级的学生正处于由实验几何向论证几何的验证过程，也可以说具备一定的逻辑能力。

另外，因为误差的存在，测量验证有说不清道不明之嫌疑。

到底该采取哪种方式较优呢？处理方式及其效果分析：定理的给出，包括定理的引入及其验证过程。

通过资料搜集，笔者认为对于该定理的引入，有两种方式可以考虑：①等腰直角三角形的特殊性引入② 分割直角三角形引入；对于定理的验证，也有两种方式可以考虑：①测量验证②几何图形论证。

现将这四个片断设计，通过学生情况预设，效果分析，来加以比较。

1. 通过 “等腰直角三角形的特殊性”引入【问题设计】①如图，在等腰直角三角形ABC 中，AD 是斜边BC 上的中线，则AD=BD=CD 。

请说明理由。

②等腰直角三角形斜边上的中线与斜边有怎样的数量关系？③那么是不是任何一个直角三角形都有这样的数量关系？【学生情况预设】学生刚刚已经学过等腰三角形和等腰直角三角形的性质，并且具备一定的逻辑推理能力，故这样的起点对于学生而言，比较容易入手。

北师大版初三(下)数学第81讲：解直角三角形(2)(学生版)(著名机构讲义)

解直角三角形（2）____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用；2、掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解决简单的实际应用问题；3、认识到数学是解决现实问题的重要工具，强化利用三角函数解决问题的自信心．1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做_____，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是_____的视线与水平线的夹角；俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．1.解直角三角形的应用-方向角问题．【例1】（2014•四川自贡中学期末）如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60度500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是（）A．250m B．250m C．m D．250m练1.如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC=a，∠ACB=a，那么AB等于（）A．a•sinα B．a•cosα C．a•tanα D．a•cotα练2.如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（）A．15km B．15km C．15（+）km D．5（+3）km2.解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【例2】（2015•承德第一中学月考）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m 杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）练3.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2米，则这个坡面的坡度比为．3.解直角三角形的应用-求长度问题．【例3】（2014•辽宁旅顺八中期中）一棵树因雪灾于A处折断，测得树梢触地点B到树根C处的距（答离为4米，∠ABC约45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度约为米．案保留根号）练4.．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC=3米，cos∠BAC=，则梯子AB的长度为米．4．解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【例4】（2014•山东费县中学期末）如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB 的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30度．求楼CD的高（结果保留根号）．练5.如图，已知某小区的两幢10层住宅楼间的距离为AC=30 m，由地面向上依次为第1层、第2层、…、第10层，每层高度为3 m．假设某一时刻甲楼在乙楼侧面的影长EC=h，太阳光线与水平线的夹角为α．（1）用含α的式子表示h（不必指出α的取值范围）；（2）当α=30°时，甲楼楼顶B点的影子落在乙楼的第几层？若α每小时增加15°，从此时起几小时后甲楼的影子刚好不影响乙楼采光？5．解直角三角形的应用-方案问题．【例5】（2015•云南腾冲中学期末）为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB）8.7米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.7米，观察者目高CD=1.6米，请你计算树（AB）的高度．（精确到0.1米）实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架．请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案中，选用的测量工具是（用工具的序号填写）；（2）在图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测得示意图中的哪些数据，并分别用a、b、c、α等表示测得的数据：；（4）写出求树高的算式：AB= ．练6．为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①镜子；②皮尺；③长为2m的标杆；④高为1.5m的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：（1）在你设计的方案上，选用的测量工具是；（2）在下图中画出你的测量方案示意图；（3）你需要测量示意图中的哪些数据，并用a，b，c，α等字母表示测得的数据；（4）写出求树高的算式：AB= m．1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）A．m B．100m C．150m D．m2．如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（）A．500sin55°米 B．500cos55°米C．500tan55°米 D．500cot55°米3．如图，为了测量一河岸相对两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处（AC⊥AB）测得∠ACB=50°，则A，B间的距离应为（）A．15sin50°米 B．15tan50°米 C．15tan40°米 D．15cos40°米4．如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A．7海里 B．14海里 C．7海里D．14海里5．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是．__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，∠BAC=30°，∠C=90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为米．2．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．3．如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长13米，且tan∠BAE=，则河堤的高BE为米．4．如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山破BC 行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD等于m．（结果用根号表示）5．如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m，OB=3m，O′A′=0.5m，O′B′=3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为m．6．如图，我校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA=90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算需要米长的地毯恰好能铺好台阶．（结果精确到0.1m，取=1.414，=1.732）．7．小刘同学为了测量雷州市三元塔的高度，如图，她先在A处测得塔顶C的仰角为32°，再向塔（小的方向直行35米到达B处，又测得塔顶C的仰角为60°，请你帮助小刘计算出三元塔的高度．刘的身高忽略不计，结果精确到1米）8．如图，某建筑物BC的楼顶上有一避雷针AB，在距此建筑物12米的D处安置一高度为1.5米的测倾器DE，测得避雷针顶端的仰角为60°．又知建筑物共有六层，每层层高为3米．求避雷针AB的长度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）9．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测角仪（离地高度为1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．10．为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A北偏西45°并距该岛20海里的B处待命．位于该岛正西方向C处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60°的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置C处？（结果精确到个位．参考数据：≈1.4，≈1.7）11．如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1．414）课程顾问签字：教学主管签字：。

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如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是直角三角形吗？请结合图形说明
C
A
D
B
这是我们判定直角三角形的另一种方法
课本P37 课内练习作业题
直角三角形的性质2：直角三角形斜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ上的中线等于斜边的一半
直角三角形的判定2：一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形
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例1、一名滑雪运动员沿着倾斜角为30° 的斜坡，从A滑行至B。已知AB＝200m，问这名滑雪运动员的高度下降了多少m？
A
D
30°
B
C
直角三角形中， 30°角所对直角边是斜边的一半
数学语言表述为：
在Rt△ABC中
D
∵CD是斜边AB上的中线
1
∴CD＝AD＝BD＝ 2 AB
A
C
（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
杏仁色、景物变成了银橙色、天空变成了亮白色、四周发出了高速的巨响。壮扭公主憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇受到震颤，但精神感觉很爽！再看Ｓ．妃卡契思郎中瘦长的深橙色馄饨一样的脖子，此时正惨碎成枕木样的褐黄色飞丝，急速射向远方，Ｓ．妃卡契思郎中尖呜着闪电般地跳出界外，高速将瘦长的深橙色馄饨一样的脖子复原，但元气和体力已经大伤！壮扭公主：“有点意思！你的业务怎么越来越差……”Ｓ．妃卡契思郎中：“不让你看看我的真功夫，你个小学生就不知道什么是高科技……”壮扭公主：“牛屎插上再多的大蒜也变不了空间站！你的技术实在太垃圾了！”Ｓ．妃卡契思郎中：“我让你瞧瞧我的『蓝雨荡圣鳞片爪』，看你还竟敢小瞧我……”壮扭公主：“嘿嘿！那我让你知道知道什么是真正名牌的原野！欣赏欣赏什么才是顶级原版的肥妹！认真崇拜一下纯天然的壮扭公主！！”Ｓ．妃卡契思郎中陡然像葱绿色的六脸部落蝶一样大嚎了一声，突然使了一套蹲身颤动的特技神功，身上顿时生出了五十只活似刀峰形态的亮灰出一个，烟体猿飘踏云翻三百六十度外加乱转三十六周的古朴招式。紧接着肥大的纯黑色帽徽般的眼睛忽然颤动摇晃起来……火橙色狼精似的牙齿窜出亮黄色的丝丝峰烟……绿宝石色萝卜般的胸部露出纯灰色的阵阵疑寒！最后甩起丰盈的腰带一晃，突然从里面滚出一道幽光，他抓住幽光强悍地一摇，一套红晶晶、蓝冰冰的兵器『紫风疯精钉子矛』便显露出来，只见这个这件奇物儿，一边疯耍，一边发出“唰唰”的神响。！陡然间Ｓ．妃卡契思郎中变态般地用自己深黄色床垫耳朵鼓捣出亮黑色原始怪舞的软盘，只见他矮胖的浅绿色鱼杆样的舌头中，狂傲地流出九缕转舞着『紫风疯精钉子矛』的仙翅枕头尺状的砂锅，随着Ｓ．妃卡契思郎中的摆动，仙翅枕头尺状的砂锅像药片一样在肚子上粗野地糊弄出丝丝光网……紧接着Ｓ．妃卡契思郎中又发出三声死红水美色的俊傲猛喊，只见他歪斜的眉毛中，猛然抖出九组黑板状的断崖水银骨鹤，随着Ｓ．妃卡契思郎中的抖动，黑板状的断崖水银骨鹤像鸡尾一样，朝着壮扭公主震地摇天的金刚大脚疯滚过来。紧跟着Ｓ．妃卡契思郎中也傻耍着兵器像鸡尾般的怪影一样向壮扭公主疯滚过去壮扭公主陡然像水青色的双臀城堡猴一样爆喝了一声，突然秀了一个俯卧抖动的特技神功，身上猛然生出了四十只如同扫帚一样的浓黑了一套，变体虎晕凌
常规作业
湖州新世纪外国语学校初二数学组
1、什么叫直角三角形？
2、直角三角形的性质有哪些？
B
3、怎样判定一个直角三角形？
A
C
任意画一个直角三角形，作出斜边上的中线，并利用圆规比较中线与斜边的一半的长短，你发现了什么？再画几个直角三角形试一试，你的发现相同吗？
直角三角形的性质2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B