盐城市射阳2016届九年级下第一次月考数学试卷含答案解析

江苏省盐城市射阳2016届九年级下学期第一次月考数学试卷
一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，）
1．﹣5的相反数是（）
A．5 B．﹣5 C．D．
2．下列计算正确的是（）
A．a2+a2=a4B．（a2）3=a5 C．2a﹣a=2 D．（ab）2=a2b2
3．关于x的方程ax2﹣3x+2=x2是一元二次方程，则a的取值范围为（）
A．a≠0 B．a＞0 C．a≠1 D．a＞1
4．如图，第①个图形中有4个“○”，第②个图形中有10个“○”，第③个图形中有22个“○”，…，那么第⑤个图形中“○”的个数是（）
A．190 B．94 C．70 D．46
二、填空题
5．分解因式：x2y﹣2xy+y=．
6．要使式子有意义，则a的取值范围为．
7．某种感冒病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法表示为米．
8．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是．9．在等式中，f2≠2F，则f1=（用F、f2的式子表示）
三、解答题
10．计算：
（1）|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°
（2）解不等式组：
解方程：
（3）x2+4x+1=0
（4）=﹣1．
11．依据下列解方程=的过程，请在后面括号内填写变形依据．
解：=（）
3（3x+5）=2（2x﹣1）．（）
9x+15=4x﹣2．（）
9x﹣4x=﹣15﹣2．（）
5x=﹣17．（）
x=﹣．（）
12．已知：，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变．
13．已知关于x的分式方程=1的解小于零，求a的取值范围．
14．已知关于x的方程x2﹣x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）化简：．
（第二卷）一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，）
15．二次函数y=﹣x2+（3+k）x+2k﹣1的图象与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的范围是（）A．k=3 B．k＜3 C．k＞3 D．以上都不对
16．已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积是（）
A．6cm2 B．3πcm2C．6πcm2D．πcm2
17．给出4个判断：
①所有的等腰三角形都相似，
②所有的等边三角形都相似，
③所有的直角三角形都相似，
④所有的等腰直角三角形都相似．
其中判断正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
18．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．C．D．
二、填空题
19．已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系
是．
20．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是图．
21．如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是．
22．如图是一个废弃的扇形统计图，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．
23．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②a+b+c＞0；③4a+2b+c＜0；④b＞a+c；⑤b2﹣4ac＞0．
其中正确的结论有．（只填序号）
三、解答题
24．如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD 延长线于点G，DG=GE=3，连接FD．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DF是⊙O的切线．
26．如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．
27．2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x 为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
28．如图，己知抛物线y=k（x+1）（x﹣3k）（且k＞0）与x轴分别交于A、B两点，A点在B点左边，与Y轴交于C点，连接BC，过A点作AE∥CB交抛物线于E点，0为坐标原点．
（1）用k表示点C的坐标（0，）；
（2）若k=1，连接BE，
①求出点E的坐标；
②在x轴上找点P，使以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求出P点坐标；
（3）若在直线AE上存在唯一的一点Q，连接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值．
江苏省盐城市射阳外国语学校2016届九年级下学期第一次月
考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，）
1．﹣5的相反数是（）
A．5 B．﹣5 C．D．
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同两个数互为相反数，可得﹣5的相反数．
【解答】解：﹣5的相反数是5，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，理解只有符号不同的数是相反数是解题关键．
2．下列计算正确的是（）
A．a2+a2=a4B．（a2）3=a5 C．2a﹣a=2 D．（ab）2=a2b2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项．
【分析】结合选项分别进行幂的乘方和积的乘方、合并同类项等运算，然后选择正确选项．
【解答】解：A、a2+a2=2a2，原式错误，故本选项错误；
B、（a2）3=a6，原式错误，故本选项错误；
C、2a﹣a=a，原式错误，故本选项错误；
D、（ab）2=a2b2，原式正确，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、合并同类项等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
3．关于x的方程ax2﹣3x+2=x2是一元二次方程，则a的取值范围为（）
A．a≠0 B．a＞0 C．a≠1 D．a＞1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】先把已知方程转化为一般式方程，然后根据一元二次方程的定义进行解答．
【解答】解：由原方程，得
（a﹣1）x2﹣3x+2=0，
则依题意得a﹣1≠0，
解得a≠1．
故选：C．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
4．如图，第①个图形中有4个“○”，第②个图形中有10个“○”，第③个图形中有22个“○”，…，那么第⑤个图形中“○”的个数是（）
A．190 B．94 C．70 D．46
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由图可知：第①个图形中有1+2+1=4个“○”，第②个图形中有1+2+4+2+1=10个“○”，第
③个图形中有1+2+4+8+4+2+1=22个“○”，…，得出第n个图形中有1+2+22+23+…+2n…+23+22+2+1
个“○”，由此规律求得答案即可．
【解答】解：∵第①个图形中有1+2+1=4个“○”，
第②个图形中有1+2+4+2+1=10个“○”，
第③个图形中有1+2+4+8+4+2+1=22个“○”，
…，
∴第⑤个图形中“○”的个数是1+2+4+8+16+32+16+8+4+2+1=94．
故选：B．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
二、填空题
5．分解因式：x2y﹣2xy+y=y（x﹣1）2．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．
【解答】解：x2y﹣2xy+y，
=y（x2﹣2x+1），
=y（x﹣1）2．
故答案为：y（x﹣1）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
6．要使式子有意义，则a的取值范围为a≥﹣2且a≠0．
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：a+2≥0且a≠0，
解得：a≥﹣2且a≠0．
故答案为：a≥﹣2且a≠0．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
7．某种感冒病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法表示为 1.2×10﹣7米．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】应用题．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：0.000 000 12米=1.2×10﹣7米．
故答案为：1.2×10﹣7．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
8．若|b﹣1|+=0，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是k≤4且k≠0．【考点】根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．
【专题】计算题．
【分析】首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值范围．
【解答】解：∵|b﹣1|+=0，
∴b﹣1=0，=0，
解得，b=1，a=4；
又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，
∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，
即16﹣4k≥0，且k≠0，
解得，k≤4且k≠0；
故答案为：k≤4且k≠0．
【点评】本题主要考查了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．
9．在等式中，f2≠2F，则f1=（用F、f2的式子表示）
【考点】分式的加减法．
【分析】等式变形后，通分并利用同分母分式的加法法则变形，即可表示出f1．
【解答】解：等式，
变形得：=﹣=，
则f1=．
故答案为．
【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
三、解答题
10．计算：
（1）|﹣2|+20090﹣（﹣）﹣1+3tan30°
（2）解不等式组：
解方程：
（3）x2+4x+1=0
（4）=﹣1．
【考点】实数的运算；解分式方程；解一元一次不等式组．
【专题】计算题；实数；分式方程及应用．
【分析】（1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可；
（3）方程利用公式法求出解即可；
（4）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）原式=2﹣+1+3+=6；
（2），
由①得：x≤2，
由②得：x＞，
则不等式组的解集为＜x≤2；
（3）这里a=1，b=4，c=1，
∵△=16﹣4=12，
∴x==﹣2±；
（4）去分母得：6x+18=x2﹣2x﹣x2﹣x+6，
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是分式方程的解．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．依据下列解方程=的过程，请在后面括号内填写变形依据．
解：=（分数的基本性质）
3（3x+5）=2（2x﹣1）．（等式的基本性质）
9x+15=4x﹣2．（去括号法则）
9x﹣4x=﹣15﹣2．（等式的基本性质）
5x=﹣17．（合并同类项法则）
x=﹣．（等式的基本性质）
【考点】解一元一次方程．
【专题】计算题；一次方程（组）及应用．
【分析】根据解一元一次方程的步骤，确定出每一步的依据即可．
【解答】解：=（分数的基本性质）
3（3x+5）=2（2x﹣1）．（等式的基本性质）
9x+15=4x﹣2．（去括号法则）
9x﹣4x=﹣15﹣2．（等式的基本性质）
5x=﹣17．（合并同类项法则）
x=﹣．（等式的基本性质）
故答案为：分数的基本性质；等式的基本性质；去括号法则；等式的基本性质；合并同类项法则；等式的基本性质．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．已知：，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，
y的值不变．
【考点】分式的混合运算．
【分析】要证明y的值不变，就要证明化简后为常数；而右边代数式有意义即x≠±1且≠0．
【解答】解：∵
=
=
=1．
所以，在右边代数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，把分式化到最简是解答的关键．
13．已知关于x的分式方程=1的解小于零，求a的取值范围．
【考点】分式方程的解．
【分析】由于本题是关于x的分式方程，那么就可以把a当作已知数，求得x的解．再根据根于小0，分母不为0求得a的取值．
【解答】解：方程两边都乘以x+1得，a﹣x=x+1，
解得x=．
∵关于x的分式方程=1的解小于0，
∴＜0且x+1≠0，
∴a＜1且≠﹣1，
∴a＜1且a≠﹣1，
即a的取值范围为a＜1且a≠﹣1．
【点评】本题考查了分式方程的解，关于某个字母的方程，应该只把这个字母当成未知数，其余的当成已知数来解．本题还需注意分母不能为0．
14．已知关于x的方程x2﹣x+k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）化简：．
【考点】根的判别式；二次根式的性质与化简．
【分析】（1）根据题意：要使方程有两个不相等的实数根，必有△＞0，解可得k的取值范围，注意分析二次根式有意义的条件；
（2）由（1）可得k的取值范围，化简绝对值与二次根式，即可得出答案．
【解答】解：（1）由2k+4≥0得k≥﹣2，
由方程有两个不相等的实数根得：△=4﹣2k＞0，
解得k＜2，
∴k的取值范围是：﹣2≤k＜2
（2）当﹣2≤k＜2时，
|﹣k﹣2|+=2+k+2﹣k=4．
【点评】主要考查一元二次方程根的情况的判断公式的使用及二次根式的意义，要求学生熟练掌握．
（第二卷）一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，）
15．二次函数y=﹣x2+（3+k）x+2k﹣1的图象与y轴的交点位于（0，5）上方，则k的范围是（）A．k=3 B．k＜3 C．k＞3 D．以上都不对
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由题意二次函数y=﹣x2+（3+k）x+2k﹣1图象全部在（0，5）的上方，可知2k﹣1＞5，根据以上条件从而求出m的取值范围．
【解答】解：∵次函数y=﹣x2+（3+k）x+2k﹣1的图象与y轴的交点位于（0，5）上方，
∴2k﹣1＞5，
解得：k＞3．
故选C．
【点评】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根．
16．已知圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积是（）
A．6cm2 B．3πcm2C．6πcm2D．πcm2
【考点】圆锥的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据圆锥的底面侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的侧面展开扇形的弧长，利用弧长与扇形的半径乘积的一半等于扇形的面积求得扇形的面积即可．
【解答】解：∵圆锥的底面半径是1cm，
∴圆锥的底面周长为：2πr=2π×1=2π，
∵圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长，
∴侧面展开扇形的弧长为2π，
∵母线长为3cm，
∴圆锥的侧面积为：lr=×2π×3=3π．
故选B．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解决此类问题的关键是弄清侧面展开扇形与圆锥的关系．
17．给出4个判断：
①所有的等腰三角形都相似，
②所有的等边三角形都相似，
③所有的直角三角形都相似，
④所有的等腰直角三角形都相似．
其中判断正确的个数有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由相似三角形的判定方法得出①③不正确；②④正确；即可得出结论．
【解答】解：∵所有的等腰三角形不一定相似，
∴①不正确；
∵所有的等边三角形都相似，
∴②正确；
∵所有的直角三角形不一定相似，
∴③不正确；
∵所有的等腰直角三角形都相似，
∴④正确；正确的个数有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟记两角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
18．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，以BC的中点O为圆心的圆弧分别与AB、AC相切于点D、E，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．C．D．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】连OD ，OE ，根据切线的性质得到OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，则四边形OEAD 为正方形，而AB=AC=2，O 为BC 的中点，则OD=OE=1，再根据正方形的面积公式和扇形的面积公式，利用S 阴影部分=S 正方形OEAD ﹣S 扇形OED ，进行计算即可．
【解答】解：连OD ，OE ，如图，
∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，
∵∠A=90°，OE=OD ，
∴四边形OEAD 为正方形，
∵AB=AC=2，O 为BC 的中点，
∴OD=OE=AC=1，
∴S 阴影部分=S 正方形OEAD ﹣S 扇形OED =1﹣
．
故选A ．
【点评】本题考查了扇形的面积公式：S=，也考查了切线的性质定理以及正方形的性质．
二、填空题
19．已知⊙O 的半径为3cm ，圆心O 到直线l 的距离是4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是 相离 ．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】根据圆心O 到直线l 的距离大于半径即可判定直线l 与⊙O 的位置关系为相离．
【解答】解：∵圆心O 到直线l 的距离是4cm ，大于⊙O 的半径为3cm ，
∴直线l 与⊙O 相离．
故答案为：相离
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d 与半径r 的大小关系解答．若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．
20．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是图 ② ．
【考点】相似三角形的判定．
【专题】网格型． 【分析】根据网格结构以及勾股定理可得所给图形是两直角边分别为
，2的直角三角形，然后
利用相似三角形的判定方法选择答案即可．
【解答】解：根据勾股定理，AB==2，BC=，
所以，夹直角的两边的比为=，
观各选项，只有②选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故答案为②．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．
21．如图所示的电路图中，在开关全部断开的情况下，闭合其中任意一个开关，灯泡发亮的概率是
．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据概率公式知，共有3个开关，只闭一个开关时，只有闭合K3时才发光，所以小灯泡发
光的概率等于．
【解答】解：根据题意，三个开关，只有闭合K3小灯泡才发光，所以小灯泡发光的概率等于．
故答案为．
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
22．如图是一个废弃的扇形统计图，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 3.6．
【考点】圆锥的计算；扇形统计图．
【专题】计算题．
【分析】算出扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．
【解答】解：扇形的弧长为=7.2π，
∴圆锥的底面半径是7.2π÷2π=3.6．
故答案为：3.6．
【点评】考查圆锥的计算；用到的知识点为：圆锥的弧长=圆锥的底面周长．
23．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列5个结论：
①abc＞0；②a+b+c＞0；③4a+2b+c＜0；④b＞a+c；⑤b2﹣4ac＞0．
其中正确的结论有②④⑤．（只填序号）
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】首先根据开口方向确定a的取值范围，根据对称轴的位置确定b的取值范围，根据抛物线与y轴的交点确定c的取值范围，根据抛物线与x轴是否有交点确定b2﹣4ac的取值范围，根据图象和x=1的函数值即可确定a+b+c的取值范围，根据图象和x=2的函数值即可确定4a+2b+c的取值范围，根据x=﹣1的函数值可以确定b＜a+c是否成立．
【解答】解：∵抛物线开口朝下，
∴a＜0，
∵对称轴x=1=﹣，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
根据图象知道当x=1时，y=a+b+c＞0，故②正确；
根据图象知道当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故③错误；
根据图象知道当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴b＞a+c，故④正确；
根据图象知道抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故⑤正确．
故答案为：②④⑤．
【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
三、解答题
24．如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD 延长线于点G，DG=GE=3，连接FD．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DF是⊙O的切线．
【考点】切线的判定；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】压轴题．
【分析】（1）⊙0半径为R，则OD=OB=R，在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得出方程（R+3）2=（R+2）2+32，求出即可；
（2）证△FDG≌△OEG，推出∠FDG=∠OEG=90°，求出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可．【解答】（1）解：设⊙0半径为R，则OD=OB=R，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG2=OE2+EG2，
∴（R+3）2=（R+2）2+32，
R=2，
即⊙O半径是2．
（2）证明：∵OB=OD=2，
∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，
∵在△FDG和△OEG中
∴△FDG≌△OEG（SAS），
∴∠FDG=∠OEG=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，切线的判定的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力，用了方程思想．
若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？
【考点】方差．
【专题】计算题．
【分析】根据平均数的公式：平均数=所有数之和再除以数的个数；方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
【解答】解：甲、乙两人射击成绩的平均成绩分别为：，
，
，
，
∵s
甲2＞s
乙
2．
∴乙同学的射击成绩比较稳定．．
【点评】本题考查平均数、方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差
S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性
越大，反之也成立．
平均数反映了一组数据的集中程度，求平均数的方法是所有数之和再除以数的个数；
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．
26．如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题；解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】由i的值求得大堤的高度h，点A到点B的水平距离a，从而求得MN的长度，由仰角求得DN的高度，从而由DN，AM，h求得高度CD．
【解答】解：作AE⊥CE于E，设大堤的高度为h，点A到点B的水平距离为a，
∵i=1：=，
∴坡AB与水平的角度为30°，
∴，即得h==10m，
，即得a=，
∴MN=BC+a=（30+10）m，
∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，
∴，
解得：DN=MN•tan30°=（30+10）×=10+10≈27.32（m），
∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）．
答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．
【点评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由i的值求得大堤的高度和点A到点B的水平距离，求得MN，由仰角求得DN高度，进而求得总高度．
27．2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产
品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：
（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x 为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；
（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）根据题意直接得出y1与y2与x的函数关系式即可；
（2）根据a的取值范围可知y1随x的增大而增大，可求出y1的最大值．又因为﹣0.5＜0，可求出y2的最大值；
（3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二．当2000﹣200a＞500以及2000﹣200a＜500．【解答】解：（1）由题意得：
y1=（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数），
y2=100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；
（2）①∵40＜a＜100，∴120﹣a＞0，
即y1随x的增大而增大，
=（120﹣a）×125=15000﹣125a（万元）
∴当x=125时，y1
最大值
②y2=﹣0.5（x﹣100）2+5000，
∵a=﹣0.5＜0，
=5000（万元）；
∴x=100时，y2
最大值
（3）∵由15000﹣125a＞5000，
∴a＜80，
∴当40＜a＜80时，选择方案一；
由15000﹣125a=5000，得a=80，
∴当a=80时，选择方案一或方案二均可；
由15000﹣125a＜5000，得a＞80，
∴当80＜a＜100时，选择方案二．
【点评】此题属于一次函数和二次函数的综合的应用题，考查数列模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，解题的构建是确定数列模型．
28．如图，己知抛物线y=k（x+1）（x﹣3k）（且k＞0）与x轴分别交于A、B两点，A点在B点左边，与Y轴交于C点，连接BC，过A点作AE∥CB交抛物线于E点，0为坐标原点．
（1）用k表示点C的坐标（0，﹣3k2）；
（2）若k=1，连接BE，
①求出点E的坐标；
②在x轴上找点P，使以P、B、C为顶点的三角形与△ABE相似，求出P点坐标；
（3）若在直线AE上存在唯一的一点Q，连接OQ、BQ，使OQ⊥BQ，求k的值．
【考点】二次函数综合题；勾股定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】综合题．
【分析】（1）只需把x=0代入抛物线的解析式，就可求出点C的坐标；
（2）①只需先求出直线AE的解析式，再求出直线AE与抛物线的交点坐标，就可解决问题；②由AE∥BC可得∠EAB=∠ABC，然后分△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况进行讨论，运用相似三角形的性质即可解决问题；
（3）由OQ⊥BQ可知点Q在以OB为直径的圆上，由于直线AE上存在唯一的一点Q，使得OQ⊥BQ，因此以OB为直径的圆与直线AE相切，切点为Q，圆心记为O′，连接O′Q，如图2，易证
△AQO′∽△BOC，然后只需用k的代数式表示OC、QO′、AO′、BC，再运用相似三角形的性质就可求出k的值．
【解答】解：（1）当x=0时，y=k（0+1）（0﹣3k）=﹣3k2，
∴点C的坐标为（0，﹣3k2）．
故答案为：﹣3k2；
（2）①∵k=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣3）．
当x=0时，y=﹣3，则点C（0，﹣3），OC=3；
当y=0时，x1=﹣1，x2=3，
则点A（﹣1，0），点B（3，0），OA=1，OB=3．
∵AE∥CB，∴△AOD∽△BOC，
∴=，
∴OD=1，即D（0，1）．
设直线AE的解析式为y=kx+b，
则，
解得：，
∴直线AE的解析式为y=x+1，
联立，
解得：或，
∴点E的坐标为（4，5）；
②过点E作EH⊥x轴于H，如图1，
则OH=4，BH=5，AH=5，AE==5．
∵AE∥BC，∴∠EAB=∠ABC．
Ⅰ．若△PBC∽△BAE，则=．
∵AB=4，BC==3，AE=5，
∴=，
∴BP=，
∴点P的坐标为（3﹣，0）即（，0）；
Ⅱ．若△PBC∽△EAB，则=，
∴=，
∴BP=，
∴点P的坐标为（3﹣，0）即（﹣，0）；
综上所述：满足条件的P点坐标为（，0）或（﹣，0）；
（3）∵直线AE上存在唯一的一点Q，使得OQ⊥BQ，
∴以OB为直径的圆与直线AE相切于点Q，圆心记为O′，连接O′Q，如图2，则有O′Q⊥AE，O′Q=OO′=OB．
当x=0时，y=k（0+1）（0﹣3k）=﹣3k2，则点C（0，﹣3k2），
当y=0时，k（x+1）（x﹣3k）=0，解得x1=﹣1，x2=3k，
则点A（﹣1，0），B（3k，0），
∴OB=3k，OA=1，OC=3k2，
∴O′Q=OO′=，O′A=+1，BC==3k•．
∵∠QAO′=∠OBC，∠AQO′=∠BOC=90°，
∴△AQO′∽△BOC，
∴=，
∴QO′•BC=AO′•OC，
∴•3k•=（+1）•3k2，
解得：k=．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、抛物线上点的坐标特征、运用待定系数法求直线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、勾股定理等知识，解决第3小题的关键是把条件转化为以OB为直径的圆与直线AE相切．。