正、余弦函数的周期性与奇偶性
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那么函数 f(x)就叫做周期函数．非零常数 T 叫做这个函数的周 期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最
小的__正__数__，那么这个最小_正__数___就叫做 f(x)的_最___小__正__周__期___．
■名师点拨 对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其 周期也不一定唯一． (2)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x) 的周期．
1．已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x＋4)＝f(x)，当 x∈(0，
2)时，f(x)＝2x2，则 f(7)＝( )
A．2
B．－2
C．－98
D．98
解析：选 B.因为 f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期是 4.
因为 f(x)在 R 上是奇函数，且当 x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，
利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
[注意] 与三角函数相关的奇偶性问题，往往需要先利用诱导公 式化简，再判断函数的奇偶性．
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x； (2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x.
解：(1)函数的定义域为 R， 又 f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)， 所以 f(x)是偶函数．
A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称
C．关于原点对称 答案：B
D．关于直线 x＝π2对称
若函数 f(x)是周期为 3 的周期函数，且 f(－1)＝3，则 f(2)＝
________．
答案：3
正、余弦函数的周期问题
求下列三角函数的最小正周期 T： (1)f(x)＝sinx＋π3； (2)f(x)＝12cos(2x＋π3)； (3)f(x)＝|sin x|.
(2)函数的定义域为 R，关于原点对称， 因为 f(x)＝cos x－x3·sin x， 所以 f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x) ＝cos x－x3·sin x＝f(x)， 所以 f(x)为偶函数．
三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若
解析：由题意知 T＝2aπ＝π， 所以 a＝2. 答案：2
正、余弦函数的奇偶性问题 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos2x＋52π； (2)f(x)＝sin(cos x)．
【解】 (1)函数的定义域为 R， 且 f(x)＝cosπ2＋2x＝－sin 2x. 因为 f(－x)＝－sin(－2x) ＝sin 2x＝－f(x)， 所以函数 f(x)＝cos2x＋52π是奇函数． (2)函数的定义域为 R， 且 f(－x)＝sin[cos(－x)] ＝sin(cos x)＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin(cos x)是偶函数．
f(x)的最小正周期为
π，且当
x∈0，π2时，f(x)＝sin
x，则
5π
f
3
等于( )
A．－12
B．12
C．－
3 2
D．
3 2
【解析】 f53π＝f53π－π＝f23π＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3 ＝ 23. 【答案】 D
下列函数中，最小正周期为 4π 的是( )
A．y＝sin x
B．y＝cos x
C．y＝sinx2
D．y＝cos 2x
答案：C
函数 y＝2sin2x＋π2是(
)
A．周期为 π 的奇函数 B．周期为 π 的偶函数
C．周期为 2π 的奇函数 D．周期为 2π 的偶函数
答案：B
函数 y＝3－cos x 的图象( )
本部分内容讲解结束
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所以 f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
故选 B.
2．已知 f(x)是以 π 为周期的偶函数，且 x∈0，π2时，f(x)＝1 －sin x，当 x∈52π，3π时，求 f(x)的解析式． 解：x∈52π，3π时，3π－x∈0，π2， 因为 x∈0，π2时，f(x)＝1－sin x， 所以 f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x. 又 f(x)是以 π 为周期的偶函数， 所以 f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
定义域 周期 最小正周期 奇偶性
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__
_奇__函__数__
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__
__偶__函__数__
■名师点拨 (1)正、余弦函数的周期性 ①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的 角具有的周期性所决定的； ②由诱导公式 sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝ cos x(k∈Z)也可以说明它们的周期性． ③函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 为常 数，且 A≠0，ω>0)的周期 T＝2ωπ.
解：因为 f(x)的最小正周期是π2， 所以 f－167π＝f－3π＋π6 ＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝12.
关于周期性、奇偶性的应用 (1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类 似于诱导公式(一)，不同在于周期性适用于所有的函数，诱导公 式(一)只适用于三角函数． (2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即 f(x)与 f(－x)之间的转化求值．
所以 f(x)的解析式为 f(x)＝1－sin x，x∈52π，3π.
1．设函数 f(x)＝sin(2x－π3)，则 f(x)的最小正周期为( )
A．π2
B．π
C．2π
D．4π
解析：选 B.函数 f(x)＝sin(2x－π3)的最小正周期 T＝22π＝π，故选 B.
2．已知 a∈R，函数 f(x)＝sin x－|a|，x∈R 为奇函数，则 a 等 于________． 解析：因为 f(x)＝sin x－|a|，x∈R 为奇函数，所以 f(0)＝ sin 0－|a|＝0，所以 a＝0.
(2)关于正、余弦函数的奇偶性 ①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正 弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称； ②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 若
sin
π4＋π2
＝
sin
π 4
，
则
π 2
【解】 (1)令 z＝x＋π3， 因为 sin(2π＋z)＝sin z， 所以 f(2π＋z)＝f(z)， f（x＋2π）＋π3＝fx＋π3， 所以 T＝2π.
(2)法一(定义法)：因为 f(x)＝12cos(2x＋π3) ＝12cos(2x＋π3＋2π) ＝12cos[2(x＋π)＋π3]＝f(x＋π)， 即 f(x＋π)＝f(x)， 所以函数 f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期 T＝π.
5.4 三角函数的图象与性质
第二课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
第五章 三角函数
考点
学习目标
函数的周期性
了解周期函数的概念
正、余弦函数的周 理解正弦函数与余弦函数
期性
的周期性，会求函数的周期
理解三角函数的奇偶性以 正、余弦函数的奇
及对称性， 偶性
会判断给定函数的奇偶性
核心素养 数学抽象 数学抽象、 数学运算
法二：画出函数 y＝|sin x|的图象，如图所示， 由图象可知最小正周期 T＝π.
求函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(x ＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A， ω，φ 是常数，且 A≠0，ω＞0)的函数，可利用 T＝2ωπ来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期， 特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
答案：0
3．函数 f(x)＝ 2cos 2x＋1 的图象关于________对称(填“原 点”或“y 轴”)． 解析：函数的定义域为 R，f(－x)＝ 2cos 2(－x)＋1＝ 2cos(－ 2x)＋1＝ 2cos 2x＋1＝f(x)， 故 f(x)为偶函数，所பைடு நூலகம்图象关于 y 轴对称． 答案：y 轴
法二(公式法)：因为 f(x)＝12cos(2x＋π3)， 所以 ω＝2. 又最小正周期 T＝|2ωπ|＝22π＝π， 所以函数 f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期 T＝π. (3)法一：因为 f(x)＝|sin x|， 所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x| ＝|sin x|＝f(x)， 故 f(x)的最小正周期为 π.
4．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin34x＋32π； (2)f(x)＝sin |x|； 解：(1)显然 x∈R，f(x)＝sin 34x＋32π＝－cos 34x， 所以 f(－x)＝－cos－34x＝－cos34x＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin 34x＋32π是偶函数． (2)显然 x∈R， f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin|x|是偶函数．
1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求 f53π的值． 解：f53π＝f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－ 23.
2．(变条件、变问法)若本例中函数的最小正周期变为π2，奇偶性 不确定，其他条件不变，求 f－167π的值．
1．设函数 f(x)＝sin12x－π3，则 f(x)的最小正周期为(
)
A．π2
B．π
C．2π 解析：选 D.函数 f(x)＝
D．4π
sin12x－π3的最小正周期 T＝21π＝4π.故选 D. 2
2．设 a＞0，若函数 y＝sin(ax＋π)的最小正周期是 π，则 a＝ ________．
逻辑推理
问题导学 预习教材 P201－P203，并思考以下问题： 1．周期函数的定义是什么？ 2．如何利用周期函数的定义求正、余弦函数的周期？ 3．正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个__非__零__常___数__T___， 使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有___f_(x_＋___T_)_＝__f(_x_)___，
是
正
弦
函
数
y ＝ sin
x
的一个周
期．( × )
(2)函数 y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．( × )
(3)因为 sin(2x＋2π)＝sin 2x，所以函数 y＝sin 2x 的最小正周期
为 2π.( × )
(4)若 T 是函数 f(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周
期．( √ )
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最
小的__正__数__，那么这个最小_正__数___就叫做 f(x)的_最___小__正__周__期___．
■名师点拨 对周期函数的两点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其 周期也不一定唯一． (2)如果 T 是函数 f(x)的一个周期，则 nT(n∈Z 且 n≠0)也是 f(x) 的周期．
1．已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x＋4)＝f(x)，当 x∈(0，
2)时，f(x)＝2x2，则 f(7)＝( )
A．2
B．－2
C．－98
D．98
解析：选 B.因为 f(x＋4)＝f(x)，所以函数的周期是 4.
因为 f(x)在 R 上是奇函数，且当 x∈(0，2)时，f(x)＝2x2，
利用定义判断函数奇偶性的三个步骤
[注意] 与三角函数相关的奇偶性问题，往往需要先利用诱导公 式化简，再判断函数的奇偶性．
判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|sin x|＋cos x； (2)f(x)＝cos(2π－x)－x3·sin x.
解：(1)函数的定义域为 R， 又 f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sin x|＋cos x＝f(x)， 所以 f(x)是偶函数．
A．关于 x 轴对称 B．关于 y 轴对称
C．关于原点对称 答案：B
D．关于直线 x＝π2对称
若函数 f(x)是周期为 3 的周期函数，且 f(－1)＝3，则 f(2)＝
________．
答案：3
正、余弦函数的周期问题
求下列三角函数的最小正周期 T： (1)f(x)＝sinx＋π3； (2)f(x)＝12cos(2x＋π3)； (3)f(x)＝|sin x|.
(2)函数的定义域为 R，关于原点对称， 因为 f(x)＝cos x－x3·sin x， 所以 f(－x)＝cos(－x)－(－x)3·sin(－x) ＝cos x－x3·sin x＝f(x)， 所以 f(x)为偶函数．
三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若
解析：由题意知 T＝2aπ＝π， 所以 a＝2. 答案：2
正、余弦函数的奇偶性问题 判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝cos2x＋52π； (2)f(x)＝sin(cos x)．
【解】 (1)函数的定义域为 R， 且 f(x)＝cosπ2＋2x＝－sin 2x. 因为 f(－x)＝－sin(－2x) ＝sin 2x＝－f(x)， 所以函数 f(x)＝cos2x＋52π是奇函数． (2)函数的定义域为 R， 且 f(－x)＝sin[cos(－x)] ＝sin(cos x)＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin(cos x)是偶函数．
f(x)的最小正周期为
π，且当
x∈0，π2时，f(x)＝sin
x，则
5π
f
3
等于( )
A．－12
B．12
C．－
3 2
D．
3 2
【解析】 f53π＝f53π－π＝f23π＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3 ＝ 23. 【答案】 D
下列函数中，最小正周期为 4π 的是( )
A．y＝sin x
B．y＝cos x
C．y＝sinx2
D．y＝cos 2x
答案：C
函数 y＝2sin2x＋π2是(
)
A．周期为 π 的奇函数 B．周期为 π 的偶函数
C．周期为 2π 的奇函数 D．周期为 2π 的偶函数
答案：B
函数 y＝3－cos x 的图象( )
本部分内容讲解结束
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所以 f(7)＝f(7－8)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
故选 B.
2．已知 f(x)是以 π 为周期的偶函数，且 x∈0，π2时，f(x)＝1 －sin x，当 x∈52π，3π时，求 f(x)的解析式． 解：x∈52π，3π时，3π－x∈0，π2， 因为 x∈0，π2时，f(x)＝1－sin x， 所以 f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x. 又 f(x)是以 π 为周期的偶函数， 所以 f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数
y＝sin x
y＝cos x
图象
定义域 周期 最小正周期 奇偶性
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__
_奇__函__数__
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__
__偶__函__数__
■名师点拨 (1)正、余弦函数的周期性 ①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的 角具有的周期性所决定的； ②由诱导公式 sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝ cos x(k∈Z)也可以说明它们的周期性． ③函数 y＝Asin(ωx＋φ)及 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 为常 数，且 A≠0，ω>0)的周期 T＝2ωπ.
解：因为 f(x)的最小正周期是π2， 所以 f－167π＝f－3π＋π6 ＝f－6×π2＋π6＝fπ6＝12.
关于周期性、奇偶性的应用 (1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类 似于诱导公式(一)，不同在于周期性适用于所有的函数，诱导公 式(一)只适用于三角函数． (2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即 f(x)与 f(－x)之间的转化求值．
所以 f(x)的解析式为 f(x)＝1－sin x，x∈52π，3π.
1．设函数 f(x)＝sin(2x－π3)，则 f(x)的最小正周期为( )
A．π2
B．π
C．2π
D．4π
解析：选 B.函数 f(x)＝sin(2x－π3)的最小正周期 T＝22π＝π，故选 B.
2．已知 a∈R，函数 f(x)＝sin x－|a|，x∈R 为奇函数，则 a 等 于________． 解析：因为 f(x)＝sin x－|a|，x∈R 为奇函数，所以 f(0)＝ sin 0－|a|＝0，所以 a＝0.
(2)关于正、余弦函数的奇偶性 ①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正 弦曲线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称； ②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 若
sin
π4＋π2
＝
sin
π 4
，
则
π 2
【解】 (1)令 z＝x＋π3， 因为 sin(2π＋z)＝sin z， 所以 f(2π＋z)＝f(z)， f（x＋2π）＋π3＝fx＋π3， 所以 T＝2π.
(2)法一(定义法)：因为 f(x)＝12cos(2x＋π3) ＝12cos(2x＋π3＋2π) ＝12cos[2(x＋π)＋π3]＝f(x＋π)， 即 f(x＋π)＝f(x)， 所以函数 f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期 T＝π.
5.4 三角函数的图象与性质
第二课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
第五章 三角函数
考点
学习目标
函数的周期性
了解周期函数的概念
正、余弦函数的周 理解正弦函数与余弦函数
期性
的周期性，会求函数的周期
理解三角函数的奇偶性以 正、余弦函数的奇
及对称性， 偶性
会判断给定函数的奇偶性
核心素养 数学抽象 数学抽象、 数学运算
法二：画出函数 y＝|sin x|的图象，如图所示， 由图象可知最小正周期 T＝π.
求函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数 x 都满足 f(x ＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A， ω，φ 是常数，且 A≠0，ω＞0)的函数，可利用 T＝2ωπ来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期， 特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．
答案：0
3．函数 f(x)＝ 2cos 2x＋1 的图象关于________对称(填“原 点”或“y 轴”)． 解析：函数的定义域为 R，f(－x)＝ 2cos 2(－x)＋1＝ 2cos(－ 2x)＋1＝ 2cos 2x＋1＝f(x)， 故 f(x)为偶函数，所பைடு நூலகம்图象关于 y 轴对称． 答案：y 轴
法二(公式法)：因为 f(x)＝12cos(2x＋π3)， 所以 ω＝2. 又最小正周期 T＝|2ωπ|＝22π＝π， 所以函数 f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期 T＝π. (3)法一：因为 f(x)＝|sin x|， 所以 f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x| ＝|sin x|＝f(x)， 故 f(x)的最小正周期为 π.
4．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin34x＋32π； (2)f(x)＝sin |x|； 解：(1)显然 x∈R，f(x)＝sin 34x＋32π＝－cos 34x， 所以 f(－x)＝－cos－34x＝－cos34x＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin 34x＋32π是偶函数． (2)显然 x∈R， f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)， 所以函数 f(x)＝sin|x|是偶函数．
1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求 f53π的值． 解：f53π＝f－π3＝－fπ3＝－sinπ3＝－ 23.
2．(变条件、变问法)若本例中函数的最小正周期变为π2，奇偶性 不确定，其他条件不变，求 f－167π的值．
1．设函数 f(x)＝sin12x－π3，则 f(x)的最小正周期为(
)
A．π2
B．π
C．2π 解析：选 D.函数 f(x)＝
D．4π
sin12x－π3的最小正周期 T＝21π＝4π.故选 D. 2
2．设 a＞0，若函数 y＝sin(ax＋π)的最小正周期是 π，则 a＝ ________．
逻辑推理
问题导学 预习教材 P201－P203，并思考以下问题： 1．周期函数的定义是什么？ 2．如何利用周期函数的定义求正、余弦函数的周期？ 3．正、余弦函数的奇偶性分别是什么？
1．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个__非__零__常___数__T___， 使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有___f_(x_＋___T_)_＝__f(_x_)___，
是
正
弦
函
数
y ＝ sin
x
的一个周
期．( × )
(2)函数 y＝sin x，x∈(－π，π]是奇函数．( × )
(3)因为 sin(2x＋2π)＝sin 2x，所以函数 y＝sin 2x 的最小正周期
为 2π.( × )
(4)若 T 是函数 f(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周
期．( √ )