2003—2005年 高等数学 线性代数试题及答案详解
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广州大学2003-2004学年第二学期考试卷
课 程：线性代数（A 卷） 考 试 形 式： 闭卷 考试
一．填充题（每小题3分，共15分）
1．多项式=)(x f 3
27
3
121x x x
-中2x 的系数为_______. 2．设A 为3阶方阵，且2||=A , 则=-|2|1A _______.
3．当=a _______时, 下列齐次方程组有非零解.
12312312332023020
x x x x x x x x ax ++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩
4．矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--121240321的秩为_______.
5．二次型222
1231223226T x Ax x x x x x x x =+-+-中对称阵A =_______
二．选择题（每小题3分，共15分）
1. 设n 阶方阵B A ,满足关系式O AB =, 则必有( ).
(A) O A =或O B =; (B) O B A =+; (C) 0||=A 或0||=B ; (D) 0||||=+B A .
2. 设三阶方阵],,[21ααα=A , ],,[21ααβ=B ,其中βααα,,,21为3维列向量, 且1||=A , 2||=B , 则=+||B A ( ). (A) 3; (B) 6; (C) 9; (D) 12.
班 级
姓 名 学 号
3. 设A 是3阶矩阵, 则必有( ). (A) *2)*2(A A =; (B) *2
1
)*2(A A =
; (C) *4)*2(A A =; (D) *8)*2(A A =.
4. 设向量组r A ααα,,,:21 可由向量组s B βββ,,,:21 线性表示, 则( ). (A) 当s r <时, 向量组A 必线性相关; (B) 当s r >时, 向量组A 必线性相关;
(C) 当s r <时, 向量组B 必线性相关; (D) 当s r >时, 向量组B 必线性相关.
5. 设A 是n m ⨯矩阵, 则线性方程组0=Ax ( ).
(A) 当m n >时仅有零解; (B) 当m n >时必有非零解; (C) 当m n <时仅有零解; (D) 当m n <时必有非零解.
三．解答下列各题(每小题7分，共21分)
1．设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321A , ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=9531B , B A C -=2, 求2003
C .
2．计算行列式2
34201324
1102
121----=D .
3．讨论向量组1(1,1,1)α=,2(1,2,3)α=,)2,1,(3a =α的线性相关性.
四．（12分）求下列方程组的通解
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++=+++1
334532317
332432143214
3214321x x x x x x x x x x x x x x x x
五．（12分）已知矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122112
,321212431B A , 1）求矩阵A 的逆阵;
2）解矩阵方程AX=B.
六．（12分）求方阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=442442221A 的特征值和特征向量.
七．（7分）设A 为n 阶正定矩阵，r αα,,1 是n 维非零列向量, 且0=j T i A αα
),,2,1,,(r j i j i =≠, 证明: r αα,,1 线性无关.
八. (6分) 设方阵A 满足O E A A =+-232
, 证明A 的特征值只能取值1或2.
线性代数（A 卷）参考解答
四．填充题（每小题3分，共15分）
6．多项式=)(x f 3
27
3
121x x x
-中2x 的系数为 1-. 7．设A 为3阶方阵，且2||=A , 则=-|2|1A 4.
8．当=a 5 时, 下列齐次方程组有非零解.
12312312332023020
x x x x x x x x ax ++=⎧⎪
-+=⎨⎪++=⎩
9．矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--121240321的秩为 2.
10．
二次型
2
221231
223226T x A x
x x x
x x x x =+-+-中对称阵
A = ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---13031101
2
五．选择题（每小题3分，共15分）
1. 设n 阶方阵B A ,满足关系式O AB =, 则必有( C ).
(A) O A =或O B =; (B) O B A =+; (C) 0||=A 或0||=B ; (D) 0||||=+B A .
2. 设三阶方阵],,[21ααα=A , ],,[21ααβ=B ,其中βααα,,,21为3维列向量, 且1||=A , 2||=B , 则=+||B A ( D ). (A) 3; (B) 6; (C) 9; (D) 12.
3. 设A 是3阶矩阵, 则必有( C ). (A) *2)*2(A A =; (B) *2
1
)*2(A A =
; (C) *4)*2(A A =; (D) *8)*2(A A =.