一元二次方程中的数学思想

一元二次方程中的数学思想
数学思想是数学的灵魂。

它是数学解题的指南针，是学习数学的方向盘。

只要真正理解这些数学思想，并在解题的过程中灵活应用，就会在解决数学问题的过程中起到举一反三，触类旁通的目的，更会达到事半功倍的效果。

现把在“一元二次方程”这一章的学习中用到的数学思想进行归纳如下。

一、转化思想
通常可把复杂的问题转化为简单问题，把实际问题转化为数学问题，把陌生问题转化为熟悉的，已经解决过的问题。

从而达到化繁为简的目的，顺利地解决有关问题，培养学生解决问题的能力。

例1、 经计算，整式（x+5）与（x-2）的乘积为1032
-+x x ，则一元二次方程
01032=-+x x 的解是（）
A 51-=x 22-=x
B 51-=x 22=x
C 51=x 22=x
D 51=x 22-=x 思路解析：
通过已知条件，可以把方程转化为01032
=-+x x 转化为（x+5）（x-2）=0，从而就有x+5=0或x-2=0。

解得51-=x ； 22=x 故选答案B 。

二、数形结合思想
数与形是对立统一的，数是形的具体描述，形是数的直观表示，把数与形有机的结合起来，就可以充分利用图形的直观性找到问题的突破口，从而达到化抽象为具体的目的。

便于学生理解、应用所学知识解决相关问题。

例2、如图，矩形ABCD 的周长为20，（AB ＞AD ）以AB ，AD 的边向外做正方形ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和正方形ADGH 的面积之和为68，那么矩形ABCD 的面积是（）。

思路分析：
仅仅观察图形无法发现矩形ABCD 的面积与两正方形的面积之间的关系，考虑到数形结合思想，设AB=x ，则AD=10-x ，由于正方形ABEF 和正方形ADGH 面积之和为68，得
F
D
B
C
H
G
方程68)10(2
2
=-+x x ，解得81=x ；22
=x （不符合题意，舍去）所以，矩形ABCD
的面积为x(10-x)=16，故问题得解。

三、分类讨论思想。

分类讨论思想不仅可以使问题化难为易，而且还可以培养学生思维的严密性。

分类讨论一般分为以下三步。

第一步，根据题目需要确定分类讨论的思想；第二步，针对讨论对象进行合理的分类讨论；第三步，对分类讨论结果进行合并，综合得出结论。

从而获得问题的解决方案。

例3、 已知关于x 的方程0)12(2=+-+m x m mx 有实数根，则m 的取值范围是（ ） 思路分析：
方程0)12(2=+-+m x m mx 从外表看是一个一元二次方程，但题目并没有指明它是一个一元二次方程。

因此，需要对m 是否为0进行讨论。

如果m=0，则给出的方程为 —x=0，则有实数根为x=0。

如果m ≠0，则0144)12(4222≥+-=--=-m m m ac b ，解得41≤
m 且m ≠0。

综上所述，m 的取值范围是4
1
≤m 。

四、整体思想
从问题的整体出发，根据问题的整体结构特征，把大问题转化成为一个或几个很容易求解的“小整体”，从而通过求解这些“小整体性问题”来解决大的问题，这就是整体思想。

利用整体思想可以提高学生观察能力、分析能力，简化问题的步骤和过程，培养学生的逻辑思维能力。

例4、 若0222
=--x x 则
3
1)(322
2
2+--+-x x x x 的值等于多少？
思路分析：
只要认真观察所求的代数式和已知的一元二次方程，我们会很容易发现其中的关系，即把一元二次方程022
=--x x 移项后得22
=-x x ，然后把22
=-x x 作为一个整体，代入所求的代数式中即可求值。

如果利用传统方法，先解一元二次方程022
=--x x ，再把x 的值代入所求的代数式，计算过程相当繁琐。

通过利用整体处理的方法，可以大大简化计算过程，从而提高了解决问题的效率。

总之，在我们学习数学的过程中，教师要善于引导学生不断地进行总结和积累，及时利用数学思想解决有关的数学问题，从而达到学一题，会一类的学习效果，提高学生学习的效率，真正让学生学会数学，会学数学。