高中人教B版数学必修四同步过关提升特训：1.2.2单位圆与三角函数线含解析

单位圆与三角函数线
课时过关 ·能力提高
1.若角α的正切线位于第一象限,则角α是 ()
A .第一象限的角
B .第一、二象限的角
C.第三象限的角 D .第一、三象限的角
分析 :由正切线的定义知,当角α是第一、三象限的角时,正切线位于第一象限.
答案 :D
2.设α是第四象限的角,则 sin α和 tan α的大小关系是()
A.sin α>tan α
B.sin α< tan α
C.sin α=tan α
D. 不确立
分析 :画出三角函数线即可判断.如图 ,在单位圆中,sin α=MP ,tan α=AT ,而 MP>AT ,因此sin
α> tan α.
答案 :A
3.以下关系中正确的选项是()
A .sin 11 <cos° 10 <°sin 168°
B.sin 168 <°sin 11 <°cos 10 °
C.sin 11 <sin° 168 <°cos 10 °
D.sin 168 <°cos 10 <°sin 11°
分析 :作三角函数线 (如图 ),
由图可知 sin 11 °<sin 168 °<cos 10 °.
答案 :C
4.若θ∈,则 sin θ+ cos θ的一个可能值是()
A. B. C. D.1
分析 :由θ∈及角θ的三角函数线,知sinθ+ cosθ> 1,四个选项中仅有> 1,应选 C.
答案 :C
5.已知 cos α≤ sinα,则角α的终边落在第一象限内的范围是()
A.
B.
C.,k∈ Z
D.,k∈ Z
答案 :C
6.
如图 ,角α,β的终边对于 y 轴对称 ,则下边关系式 :
①sin α= sin β;②sin α=- sin β;③cos α= cos β;④cos α=- cos β.
此中 ,正确关系式的序号是.
分析 :经过三角函数线进行剖析.
答案 :①④
7.函数 y=的定义域为.
分析 :如图 ,由于 1-2cos x≥0,因此 cos x≤ ,
因此 x∈(k∈ Z).
答案 :(k∈ Z)
8.利用三角函数线剖析点P(sin 3-cos 3,sin 3+ cos 3)所在的象限 .
解 : < 3< π,作出单位圆及 3 rad 的正弦线、余弦线如下图.
由图可知 ,sin 3> 0,cos 3<0,且 |sin 3|<| cos 3|,
因此 sin 3-cos 3> 0,sin 3+ cos 3< 0.
故点 P(sin 3-cos 3,sin 3+ cos 3)在第四象限 .
★9.已知对于 x 的方程 (2sin α-1)x2 -4x+4sin α+ 2= 0 有两个不相等的正根 ,试求角α的取值范围 .解 : 设方程的两根为 x1,x2,方程有两个不相等的正根一定知足的条件为
即
化简 ,得
故 < sin α<.
如图,利用三角函数线,可知α的取值范围是
< α< 2kπ+.
★10.已知α为锐角 ,求证 :1< sin α+ cos α<.
证明如下图 ,设角α的终边与单位圆交于点P(x,y),过点 P 分别作 PD⊥Ox,PE⊥ Oy,D,E 为垂足,连结 AP,BP.
由于 y=sin α,x=cos α,而在△POD 中,|OD|+|DP|>|OP|,
因此 sin α+ cos α> 1.
又由于 S△POA= |OA| ·|DP|
= y= sin α,
S△POB= |OB| ·|PE|=x= cos α,
S 扇形OAB= π×12= ,
而 S△POA+S△POB<S 扇形OAB,
因此 sin α+ cos α< ,
即 sin α+ cos α< .
故 1<sin α+ cos α< .。