届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第10章统计、统计案例及概率 第3讲

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考点突破
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每周平均体育运动时间与性别列联表
男生 女生 总计
每周平均体育运动时间不超过 4 小时 45 30 75
每周平均体育运动时间超过 4 小时 165 60 225
总计
210 90 300
结合列联表可算得 K2＝3007×5×452×256×0－21106×5×90302＝12010≈4.762
k0
2.706 3.841 6.635 7.879
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解 (1)300×145500000＝90，所以应收集 90 位女生的样本数据． (2)由频率分布直方图得 1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校 学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75. (3)由(2)知，300 位学生中有 300×0.75＝225 人的每周平均体育 运动时间超过 4 小时，75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时．又因为样本数据中有 210 份是关于男生的，90 份是关于 女生的．所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：
－152x＋a^过点(－4,25)，代入方程得 25＝－152×(－4)＋a^，解得
a^＝757.
答案
77 5
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考点三 独立性检验 【例3】 (2014·安徽卷)某高校共有学生15 000人，其中男生10
500人，女生4 500人．为调查该校学生每周平均体育运动 时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平 均体育运动时间的样本数据(单位：小时)． (1)应收集多少位女生的样本数据？ (2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间 的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间 为：[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．估计该校 学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；
民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K2≈0.99，根据
这一数据分析，下列说法正确的是
()
A．有99%的人认为该电视栏目优秀
B．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
C．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
D．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系
解析 只有K2≥6.635才能有99%的把握认为该电视栏目是否
平均气温(℃) －2 －3 －5 －6 销售额(万元) 20 23 27 30
根据以上数据，用线性回归的方法，求得 y 与 x 之间的线 性回归方程^y＝b^x＋a^的系数b^＝－152，则a^＝________.
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解析 由表中数据可得 x ＝－4，y ＝25，所以线性回归方程y^＝
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(2)回归直线方程的求法——最小二乘法． 设具有线性相关关系的两个变量 x，y 的一组观察值为(xi， yi)(i＝1,2，…，n)，则回归直线方程^y＝a^＋b^x 的系数为：
其中
x
＝1nn xi，
y
＝1n
n
yi，(
x
，
y
)称为样本点的_中__心__．
i＝1
i＝1
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考点一 相关关系的判断
【例 1】 (1)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2， x1，x2，…，xn 不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i ＝1，2，…，n)都在直线 y＝12x＋1 上，则这组样本数据的
样本相关系数为
()
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知识梳理
1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另 一类是_相__关__关__系__；与函数关系不同，__相__关__关__系__是一种非 确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内， 两个变量的这种相关关系称为_正__相__关__，点散布在左上角到 右下角的区域内，两个变量的相关关系为_负__相__关__．基础诊断来自考点突破课堂总结
3．独立性检验 (1) 分 类 变 量 ： 变 量 的 不 同 “ 值 ” 表 示 个 体 所 属 的 _不__同__类_ _别__，像这类变量称为分类变量． (2)列联表：列出两个分类变量的_频__数__表__，称为列联表．假 设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和 {y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为
^
回归方程的关键．(2)回归直线方程y
＝b^x＋a^ 必过样本点中心
( x ，y )．(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作
出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性
相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．
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【训练2】 (2014·云南检测)春节期间，某销售公司每天销售某 种取暖商品的销售额y(单位：万元)与当天的平均气温x(单 位：℃)有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的x与y 的数据列于下表：
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第3讲 变量间的相关关系、统计案例
最新考纲 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散 点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根 据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程；3.了解独 立 性 检 验 ( 只 要 求 2×2 列 联 表 ) 的 基 本 思 想 、 方 法 及 其 简 单 应 用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
故所求回归方程为^y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量 y 的值随 x 值的增加而增加(b^＝0.3>0)，故 x 与 y 之
间是正相关．
(3)将 x＝7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为
y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
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规律方法 (1)正确理解计算b^，a^的公式和准确的计算是求线性
数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有 99%的可能物理
优秀．
(× )
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2．下面哪些变量是相关关系 A．出租车车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C．身高与体重 D.铁块的大小与质量 答案 C
()
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3．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居
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2．回归分析 对具有_相__关__关__系__的两个变量进行统计分析的方法叫回归分 析．其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求回__归__直__线__方__程__； (ⅲ)用回归直线方程作预报． (1)回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在 _一__条__直__线__附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系， 这条直线叫做回归直线．
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x1 x2 总计
2×2 列联表
y1
y2
总计
a
b
a＋b
c
d
c＋d
a＋c b＋d a＋b＋c＋d
nad－bc2 构造一个随机变量 K2＝___a_＋___b__c_＋__d__a_＋__c__b_＋__d__ _，其中 n
＝_a_＋__b_＋___c＋__d__为样本容量． (3)独立性检验 利用随机变量_K_2_来判断“两个分类变量_有__关__系__”的方法称为 独立性检验．
【例2】 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入
xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得
10
10
10
10
xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x2i ＝720.
i＝1
i＝1
i＝1
i＝1
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
数，则
()
A．r2＜r1＜0
B.0＜r2＜r1
C．r2＜0＜r1
D.r2＝r1
解析 对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与X正
相关，即r1＞0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减 小，故V与U负相关，即r2＜0，所以选C. 答案 C
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考点二 回归方程的求法及回归分析
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(3)相关系数 当r＞0时，表明两个变量_正__相__关__； 当r＜0时，表明两个变量_负__相__关__． r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性_越__强__． r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关 关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关 性．
优秀与改革有关系，而既使K2≥6.635也只是对“该电视栏
目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的
结论，与是否有99%的人等无关．故只有D正确．
答案 D
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4.(2014·湖北卷)根据如下样本数据
x3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 －3.0
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
n
xiyi－n x y
附：线性回归方程^y＝b^x＋a^中，b^＝i＝1
，
n
x2i －n x 2
a^＝ y －b^
i＝1
x ，其中 x ， y 为样本平均值．
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解 (1)由题意知 n＝10， x ＝n1n xi＝8100＝8， i＝1
y ＝n1n yi＝2100＝2， i＝1
10
又x2i －10 x 2＝720－10×82＝80，
i＝1
10
xiyi－10 x y ＝184－10×8×2＝24，
i＝1
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10
xiyi－10 x y
由此得b^＝i＝1
10
＝2840＝0.3，
x2i －10 x 2
i＝1
a^＝ y －b^ x ＝2－0.3×8＝－0.4，
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诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩 PPT 展示
(1)通过回归方程^y＝b^x＋a^可以估计和观测变量的取值和变
化趋势．
(√ )
(2)事件 X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 K2 的
观测值越大．
(√ )
(3)由独立性检验可知，有 99%的把握认为物理成绩优秀与
得到的回归方程为^y＝b^x＋a^，则
()
A.a^＞0，b^＜0
B.a^＞0，b^＞0
C.a^＜0，b^＜0
D.a^＜0，b^＞0
解析 作出散点图，由散点图可知b^＜0，a^＞0，故选 A.
答案 A
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5．(人教A选修1－2P13例1改编)在一项打鼾与患心脏病的调查 中，共调查了1 671人，经过计算K2的观测值k＝27.63，根 据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是 ________的(填“有关”或“无关”)． 答案 有关
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解析 (1)所有点均在直线上，则样本相关系数最大即为1，故 选D. (2)由图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由图(2) 可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关． 答案 (1)D (2)C 规律方法 对两个变量的相关关系的判断有两个方法：一是根 据散点图，具有很强的直观性，直接得出两个变量是正相关或 负相关；二是计算相关系数法，这种方法能比较准确地反映相 关程度，相关系数的绝对值越接近1，相关性就越强，相关系 数就是描述相关性强弱的，相关性有正相关和负相关．
A．－1
B.0
1
C.2
D.1
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(2)对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图
(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点
图(2)．由这两个散点图可以判断
()
A．变量x与y正相关，u与v正相关 B．变量x与y正相关，u与v负相关 C．变量x与y负相关，u与v正相关 D．变量x与y负相关，u与v负相关
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(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4 小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是
否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性 别有关”．
附：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2 b＋d
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005
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【训练1】 变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，
(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为
(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r1表示变量Y与
X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系