异方差性的检验方法

而lnˆ 2 9.157326, 故ˆ 2 =0.000105444，
因此异方差的结构为
ˆ
2 ui

0.00010544
x3.056229 i
五、格莱泽检验法 格莱泽 (H.Glejser)检验法致力于寻找εi与xji之间 显著成立的关系，因而是用残差绝对值｜εi｜ 对xji的各种函数形式进行回归，将其中显著成立 的函数关系，作为异方差结构的函数形式。这种 检验的计算步骤是：
例5.3.1 家庭年收入x和年生活支出y的横断面数据如 下表。利用线性模型研究不同收入水平家庭的消费情 况，试讨论原始数据有无异方差性。
解：应用普通最小二乘法对模型进行估计，得
yˆi 1.7350 0.9368xi R2 0.9730 从而可以算出 yˆ i和 |的i 等| 级及等级差。
六、White（怀特）检验法
White检验法不需要关于随机项的任何先验知 识，但要求在大样本的情况下进行。
例如：设原模型为：
yi 0 1 x1i 2 x2i ui
设检验回归模型为：
（5.3.15）

2
ui


0

1
x1i


2
x2i
（5.3.16）
3 x12i 4 x22i 5 x1i x2i ui
d
2 i

96
rs

1
6 n(n2
d
2 i
1)

1
6 96 15(152 1)

0.828571
T

rs
n2 1 rs2

5.335856

t0.025 (13)

2.1604
故拒绝原假设，即原始数据存在显著的异方差。
三、戈特菲尔德—奎恩特(Goldfeld-Quandt) Goldfeld-Quandt检验法是由S.M.Goldfeld和R.E.
Quandt于1965年提出的。这种检验方法仅适用大样 本情形( n＞30)，并且要求满足条件：①观测值的数 目至少是参数的二倍；②随机项没有自相关并且服从 正态分布。 此检验方法的基本思想是:异方差性的常见形式之一 是随着自变量的增大，随机项u具有递增方差性，由 于u
ˆ
2 u

n


2 i
k 1
6
4
DJ P Y
2
0
-2
-4
X 200
-6
-8 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
一、残差图法 （2）用X- i2的散点图进行判断 看是否形成一斜率为零的直线
e~ii22
e~i
22 i
X
X
同方差
递增异方差
e~i2i 2
e~i 2
2 i
X 递减异方差


2 2i
。
第四步，建立统计量：用所得出的两个子样本的残 差平方和构造 F 统计量，若H0为真，则
F



2 2i
/(
n
2
c


2 1i
/(
n
2
c
k 1) k 1)



2 2i


2 1i
~
F(n c 2
k
1, n c 2
k
1)
(5.3.7)
式中n为样本容量(观测值总数)，c为被去掉的观测 值的数目，k为模型中自变量的个数。
1.建立被解释变量 y 对所有解释变量的回归方程， 然后计算残差εi (i=1,2，…，n)。
2.若xji被认为是与V(ui)有关的解释变量，则选定 ｜εi｜与xji的一系列可能的函数，例如
ˆi a b x ji vi ① ˆi a b / x ji vi ②
ˆi a b x ji vi ③ ˆi a b / x ji vi ④
(5.3.6)
所以判断u是否有递增方差可以通过判断是否显著
变大来实现。
第一步，建立统计假设：原假设H0: ui是同方差 (i =1,2，…，n) ，备择假设H1: ui具有异方差。 第二步，处理观测值：
将某个解释变量xi的观测值按由小到大的顺序排列，
然后将居中的c个观测数据去掉，关于c的取值Gol
dfeld和Quandt认为取样本容量(n＞30)的
第五步，作结论：
若
F≥
F
(
n
2
c

k

1,
n
2
c

k

1)，
则拒绝H0，认为ui具有异方差性。
若
F＜
F
(nc 2
k
1,
n
c 2
k
1)
，
则接受H0,认为ui无异方差。
例5.3.2 利用例5.3.1的数据说明G-Q方法的 应用。（此处忽略样本容量小于30）
0.9967 24.911
然后，计算｜εi｜与xi的等级差di
di = xi的等级-∣εi∣的等级
(5.3.2)
第三步，计算｜εi｜与xi的等级相关系数
rs
1
6 n(n2
di2 1)
其中n为样本容量。
(5.3.3)
第四步，对总体等级相关系数 s进行显著性检验 H 0 : s 0, H1 : s 0 。当H0成立时，可以证明统
(5.3.13)
等等(当然也可取其它形式的函数)，其中vi为随机项。
3.然后利用OLS法对上述函数模型进行估计， 得回归方程
ˆi aˆ bˆ x ji ①
ˆi aˆ bˆ / x ji ②
ˆi aˆ bˆ x ji ③
ˆi aˆ bˆ / x ji ④
(5.3.14)
(5.3.9)中的随机项vi仍可能有异方差性。
例5.3.3 用Park检验法检验例5.3.1中的数据有 无异方差性。
ln

2 i

9.157326

3.056229 ln
xi
R2 0.533748
(2.257683) (0.792239)
• 在0.05的显著性水平下，α的t检验量值为
-4.056072，β的t检验量值为3.857709，均是 显著的，所以原始数据存在异方差。
格莱泽 (Glejser)检验方法的优点是允许在更大 的范围内寻找异方差性的函数结构。Glejser方 法的缺点是难于确定xji的适当的幂次，往往 需要进行大量的计算。
可以先用G-Q或者Spearman等级相关检验法来 判断是否具有异方差，如果确定异方差性存在， 则可以进一步的应用Glejser方法搜寻合适的异 方差的函数结构形式。
White检验的具体步骤为（以模型5.3.15为例）：
1.用OLS估计模型（5.3.15)的参数 ˆ0 , ˆ1, ˆ；2
2.计算模型（5.3.15)的残差序列
i
，并计算
2 i
；
3.
用
i2代替模型（5.3.16）中的
2 ，再用OLS估
ui
计模型（5.3.16），计算 R2 ；
4.计算统计量 nR2。在假设 H0 :不存在异方差（也 就是模型5.3.16中的所有斜率都为零）条件下，
nR2 服从自由度为k = 5 的 2分布；
5.对给定的显著水平α，查 2分布表，得临界
值

2

(5)，若
n
R2


2

(5)
，则否定
H
0
，表明原
模型的随机项中存在异方差。
EViews可直接进行White检验。首先建立方程 LS y c x ，在此方程的窗口点击View \ Residual Test \ White Heteroskedasticity ,便可直接给出 结果 。
对应于上表两组子样本应用OLS法，建立回归 方程：
yˆ1i 0.601905 0.854762xi yˆ2i 2.325658 0.962171xi
• 分别计算残差平方和
2 1i

0.9967
2 2i

24.911
计算统计量
F
2 2i
2 1i

24.9111 0.9967
1 4
为佳。
再将剩余的n- c个数据分为数目相等的二组：
数据较小的为一组子样本，数据较大的为另
一组子样本。
第三步，建立回归方程求残差平方和：
对上述二组子样本观测值分别应用OLS法，建立
回归方程。然后分别计算残差平方和：记xi值较小
的一组子样本的残差平方和为


2 1i
，xi值较大的
一组子样本的残差平方和为
§5.3 异方差性的检验方法
• 由于异方差的存在会导致OLS估计量的最佳性 丧失，降低精确度。所以，对所取得的样本数 据（尤其是横截面数据）判断是否存在异方差， 是我们在进行正确回归分析之前要考虑的事情。 异方差的检验主要有图示法和解析法，下面我 们将介绍几种常用的检验方法。
• 总体检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的解释 变量的观测值，随机误差项具有不同的 方差。那么：
第一步，建立被解释变量 y 对所有解释变量 x 的回
归方程，然后计算残差

2 i
(i
=1,2,…，n)。
第二步，取异方差结构的函数形式为
2 ui
2xi evi
(5.3.8)
其中 2，β是两个未知参数， vi是随机变量。
(5.3.8)可以改写成对数形式
lnui 2 ln 2 ln xi vi
即用

2来表示随机误差项的方差。
i
几种异方差的检验方法：
一、图示法
（1）用X-Y的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型
趋势（即不在一个固定的带型域中）
7 6Y
7 Y
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0
50
100
150
第三步，建立方差结构回归模型：
(5.3.9)
由于

2 ui
未知，帕克建议用残差平方

i2来代替
2
ui
。
于是(5.3.9)写成形式：
ln i2 ln 2 ln xi vi
(5.3.10)
记
wi

ln

2 i
,


ln
2
，zi

ln
xi，则(5.3.10)改写成
wi zi vi
24.9935
F0.05(4, 4) 6.39 F 24.9935
• 故拒绝原假设，判定原数据存在异方差性。
四、帕克检验法
帕克(R.E.Park)检验法的基本想法是把残差图法加
以形式化，给出关于xi的具体函数结构形式，然后 检验这种结构是否显著。从而判定是否具有异方差
性及其异方差的函数结构。具体做法如下：
X 复杂型异方差
解析法
• 检验异方差的解析方法的共同思想是：由 于不同的观察值随机误差项具有不同的方 差，因此检验异方差的主要问题是判断随 机误差项的方差与解释变量之间的相关性， 下列这些方法都是围绕这个思路，通过建 立不同的模型和验判标准来检验异方差。
§5.3 异方差性的检验方法
二、斯皮尔曼(Spearman)等级相关检验法 我们以一元线性回归模型为例，说明斯皮尔曼 等级相关检验法的步骤： 第一步，对原模型应用OLS法，计算残差 i yi yˆi ，i =1,2,…，n。 第二步，计算｜εi｜与xi的等级差di。将｜εi｜ 和自变量观察值xi按由小到大或由大到小的顺序 分成等级。
检验异方差性，也就是检验随机误差 项的方差与解释变量观测值之间的相关 性及其相关的“形式”。
问题在于用什么来表示随机误差项的方差？
一般的处理方法：
首先采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的
估计量我们称之为“近似估计量”，仍用i 表示
。则我们有：
V
(ui
)

E(ui2
)


2 i
ຫໍສະໝຸດ Baidu
i yi ( yˆi )ols
(5.3.11)
(5.3.11)构成一个回归模型，对模型(5.3.11)应用
OLS法，得出α和β的估计值。
第四步，对β进行t检验。如果β不显著，则表 明β的真值为0，此时实际上与xi无关，即没有 异方差性。否则，表明有异方差性存在。
帕克检验法的优点是一旦确定有异方差性时，
还能给出异方差性的具体函数结构。缺点是
计量
T r s n 2 ～ t( n - 2 )
1

r
2 s
(5.3.4)
对给定的显著水平α，查t分布表得 t / 2 (n 2)的临
界值，若｜T｜＞ t / 2 (n 2) ，表明样本数据异方
差性显著，否则，认为不存在异方差性。
对于多元回归模型，可分别计算｜εi｜与每个解释 变量的等级相关系数，再分别进行上述检验。
White检验的检验统计量是
w n R2
(5.3.17)
其中n是样本容量，R2 是检验回归式（5.3.16）的拟 合优度，White证明了原假设（不存在异方差，即 H0:α1=α2=α3=α4=α5=0)成立的条件下，w近似服 从自由度为k（模型5.3.16中除常数项以外的回归参
数的个数）的 2分布。
并计算每个回归方程的拟合优度，把拟合优度最 大的作为最佳的回归形式。
4.对最佳回归形式中的参数进行显著性检验。若 b显著地不等于零，即接受假设，则认为有异方 差存在。 若b不显著地异于零，还应考虑另外一些｜εi｜ 与xji的函数形式，不能轻易断定ui不存在异方差 性。 如果根据经济理论能够断定V(ui)与多个解释变量 有关，则需建立｜εi｜与这些解释变量的可能的 函数关系，然后重复上述步骤。