李建泉暑假数学讲义(精编文档)

2014年7-8月
1.已知ABC ∆是等腰三角形，且AB AC =，A 在BC 上的投影为D ，P 为ADC ∆内一点，且90APB ∠>︒，PBD PAD PCB ∠+∠=∠。

设直线,CP BP 与AD 分别交于点,Q R ，T 是线段AB 上一点，S 是AP 延长线上的点，且满足TRB DQC ∠=∠，2PSR PAR ∠=∠，证明RS RT =。

2.已知非等腰ABC ∆的内切圆I e 与边,,BC CA AB 分别切于点111,,A B C ，直线AI 与ABC ∆的外接圆O e 分别交于点222,,A B C ，直线111111,,B C C A A B 与,,BC CA AB 分别交于点333,,A B C ，直线232323,,A A B B C C 与O e 分别交于点444,,A B C ，证明444,,AA BB CC 三线交于一点。

3.已知ABC ∆的内切圆I e 与边,BC AC 分别切于点,D E ，过点D 作DP BC ⊥，与I e 交于点P ，直线AP 与BC 交于点M 。

N 为边AC 上一点，且AE CN =，直线BN 与,I AM e 分别交于点,Q R ，其中Q 在,B R 之间，证明ABR PQMN S S ∆=。

4.已知非等腰ABC ∆的外心、内心分别为,O I ，边,,BC CA AB 的中点分别为,,D E F ，
I 在边AB 上的投影为T ，DEF ∆的外心为P ，
线段OI 的中点为Q ，若,,A P Q 三点共线，证明4AO BC OD AT
-=。

5.已知四边形ABCD 内接于圆Γ，点P 是AC 的延长线上一点，且,PB PD 与圆Γ相切，过点C 作圆Γ的切线，分别与直线,PD AD 交于点,Q R ，直线AQ 与圆Γ的另一个交点为E ，证明,,B E R 三点共线。

6.已知四边形ABCD 内接于圆ω，ACD ∆和ABC ∆的内心分别为12,I I ，ACD ∆和ABC ∆的内切圆半径分别为12,r r ，且12r r =。

圆ω'与边,AB AD 相切，且与圆ω内切于点T ，过,T A 分别与圆ω相切的直线交于点K ，证明12,,I I K 三点共线。

7.在圆内接凸四边形ABCD 中，BC CD =，以C 为圆心的圆C e 与BD 相切，I 为ABD ∆的内心，证明过点I ，且与AB 平行的直线与C e 相切。

8.已知圆Ω与圆Γ内切于点P ，圆Γ在圆Ω的内部，圆Ω的弦AB 与圆Γ切于点C ，直线PC 与圆Ω的另一个交点为Q ，圆Ω的弦,QR QS 分别为圆Γ的切线，,,I X Y 分别为,,APB ARB ASB ∆∆∆的内心，证明90PXI PYI ∠+∠=︒。

9.已知O e 为锐角ABC ∆的外接圆，1O e 与O e 内切于点A ，且与BC 切于点D ，设ABC ∆的内心为I ，IBC ∆的外接圆2O e 与1O e 交于两点,E F ，证明12,,,O E O F 四点共圆。

10.已知ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别切于点,,D E F ，点F 关于点B 的对称点为T ，点E 关于点C 的对称点为S ，证明AST ∆的内心在ABC ∆的内切圆的内部或ABC ∆的内切圆上。

11.设P 是锐角ABC ∆内任意一点，P 关于边,,BC CA AB 的对称点分别为111,,A B C ，证明111A B C ∆的重心在ABC ∆的内部。

12.已知非等腰锐角ABC ∆的外心为O ，P 是边AB 上一点，满足BOP ABC ∠=∠，Q 是边AC 上一点，满足COQ ACB ∠=∠，APQ ∆的外接圆为K e ，证明BC 关于PQ 对称的直线与K e 相切。

13.已知M 是ABC ∆的角平分线AD 的中点，以AC 为直径的圆1Γ与线段BM 交于点E ，以AB 为直径的圆2Γ与线段CM 交于点F ，证明,,,B E F C 四点共圆。

14.在非等腰ABC ∆中，其内切圆I e 与边,,BC CA AB 分别切于点,,D E F ，过点E 且垂直于BI 的直线与I e 交于点K ，过点F 且垂直于CI 的直线与I e 交于点L ，J 是线段KL 的中点，证明()1,,D I J 三点共线；()2若,B C 为定点，A 为平面上满足AB k AC =（k 为给定常数）的动点，且,,A B C 三点不共线，直线,IE IF 与I e 分别交于点,M N ，直线MN 与,IB IC 分别交于点,P Q ，则PQ 的中垂线恒过一个定点。

15.设ABC ∆中，,B C ∠∠内的旁心分别为11,B C ，直线11B C 与ABC ∆的外接圆交于点()D D A ≠，过点11,B C 分别垂直于,CA AB 的直线交于点E ，ω为ADE ∆的外接圆，过点D 与圆ω相切的直线交直线AE 于点F ，过点D 且垂直于AE 的直线交AE 于点G ，交圆ω于点()H H D ≠，HGF ∆的外接圆与圆ω交于点()I I H ≠，若D 在AH 上的投影为J ，证明AI 过线段DJ 的中点。

16.设两个锐角三角形的六个顶点在同一个圆上，若其中一个三角形的两边中点在另一个三角形的九点圆上，证明这两个三角形的九点圆重合。

17.已知锐角ABC ∆的外心为O ，,,M N P 分别为边,,BC CA AB 的中点，OBC ∆，MNP ∆的外接圆交于两点,X Y ，且,X Y 在ABC ∆的内部，证明BAX CAY ∠=∠。

18.已知O 是圆1Γ上一点，以O 为圆心的圆2Γ与圆1Γ交于,P Q 两点，圆3Γ与圆2Γ外切于点R ，与圆1Γ内切于点S ，且直线RS 过点Q ，若直线,PR OR 与圆1Γ的第二个交点分别为,X Y ，证明//QX SY 。

19.已知ABC ∆的内切圆I e 与边BC 切于点D ，ID 的中点为T ，过点I 且垂直于AD 的直线与,AB AC 分别交于点,K L ，过点T 且垂直于AD 的直线与,AB AC 分别交于点,M N ，证明KM LN BM CN =g g 。

20.设四边形ABCD 有内切圆I e ，对角线,AC BD 交于点E ，若线段,,AD BC EI 的中点共线，证明AB CD =。

21.在ABC ∆中，已知过点B 且与边AC 切于点A 的圆为1Γ，过点C 且与边AB 切于点A 的圆为2Γ，圆1Γ与圆2Γ的另一个交点为D ，直线AD 与ABC ∆的外接圆的另一个交点为E ，证明D 是线段AE 的中点。

22.已知四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点P ，点,,X Y Z 分别在边,,AB BC CD 上，使得2AX BY CZ XB YC ZD
===，若,XY YZ 分别为,CYZ BXY ∆∆的外接圆的切线，证明APD XYZ ∠=∠。

23.已知ABC ∆的边BC 上的点,D H 满足AD 平分A ∠，AH BC ⊥，AD 的中垂线与以AB 和AC 为直径，且在ABC ∆的外部的半圆分别交于点,X Y ，证明四边形XYDH 为圆内接四边形。

24.在ABC ∆中，A ∠内的旁切圆A Γ与射线,AB AC 分别切于点,P Q ，B ∠内的旁切圆B Γ与射线,BA BC 分别切于点,M N ，点C 在直线,MN PQ 上的投影分别为,K L ，证明,,,M K L P 四点共圆。

25.已知ABC ∆为锐角三角形，AH 为边BC 上的高线，J 为ABH ∆中B ∠内的旁心，I 为ACH ∆中C ∠内的旁心，若ABC ∆的内切圆与边BC 切于点P ，证明,,,I J P H 四点共圆。

26.已知两个半径不等的圆,O O 'e e 外离，,O O 'e e 的一条内公切线l 与两条外公切线12,l l 分别交于点,B C ，过点B 且与,O O 'e e 均外切的的圆1O e 与1l 的第二个交点为P ，过点C 且与,O O 'e e 均外切的圆2O e 与2l 的第二个交点为Q ， 证明,,,B P C Q 四点共圆。

27.已知凸四边形ABCD 的对角线,AC BD 交于点E ，且EDC DEC BAD ∠=∠=∠。

若F 是线段BC 上一点，且满足BAF EBF BFE ∠+∠=∠，证明,,,A B F D 四点共圆。

28.在ABC ∆中，AB AC <，其外接圆为O e ，以BA 为半径的圆B e 与边AC 交于点K ，与O e 交于点E ，直线KE 与O e 交于点F ，直线BO 与,KE AC 分别交于点,L M ，直线,AE BF 交于点D ，证明,,,D L M F 四点共圆，且,,,,B D K M E 五点共圆。

29.设O 为锐角ABC ∆的外心，,,AO BO CO 的延长线分别与,,BC CA AB 交于点,,D E F ，若ABC ∆∽DEF ∆，证明ABC ∆是正三角形。

30.已知D 是直角ABC ∆的斜边AB 内一点，满足CD CB =，O 为ACD ∆的外心，
,OD CB 的延长线交于点P ，
过点O 作AB 的垂线，与CD 的延长线交于点Q ，若,,,A C P Q 四点共圆，证明四边形ACPQ 是正方形。

31.已知ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别切于点111,,A B C ，CD 是该内切圆的直径，直线111,B C A D 交于点E ，证明1CE CB =。

32.在等腰ABC ∆中，已知顶角A α∠=，ABC ∆的外心和垂心分别为,O H ，点,P Q 分别在边,AB AC 上，且四边形APHQ 是菱形，求POQ ∠（用α表示）。

33.在圆内接六边形ABCDEF 中，已知AB BD ⊥，BC EF =。

设直线,BC EF 分别与AD 交于点,P Q ，且,P Q 在点D 的同侧，点A 在另一侧，若AD 的中点为S ，,BPS EQS ∆∆的内心分别为,K L ，证明90KDL ∠=︒。

34.已知ABC ∆的内切圆圆Γ与边,,BC CA AB 分别切于点,,D E F ，一条过点A 的直线与弧»EF
（不含点D ）交于点T ，圆Γ在点T 处的切线与直线EF 交于点P ，过点P 且平行于AB 的直线与AT 交于点H ，证明90HEF ∠=︒。

35.在锐角ABC ∆中，AC BC ≠，已知AA BC '⊥于点A '，BB AC '⊥于点B '，过点,A B ''的圆与边AB 切于点D ，若ADA BDB S S ''∆∆=，证明A DB ACB ''∠=∠。

36.在凸四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，证明过点O 的直线l 被四边形ABCD 截得的线段的长度不超过四边形ABCD 的较长对角线的长度。

37.在ABC ∆中，30B C ∠>∠≥︒，,B C ∠∠的角平分线与对边,AC AB 分别交于点
,D E ，,BD CE 交于点P ，若PD PE =，ABC ∆的内切圆半径为1，求边BC 的长的最大值。

38.已知O e 的内接正方形和内接正三角形的七个顶点构成一个O e 的内接凸多边形H ，当正方形和正三角形是什么位置关系时，H 的面积分别取得最大值和最小值。

39.已知P 是锐角ABC ∆内一点，直线,,AP BP CP 与,,BC CA AB 分别交于点,,D E F ，证明()1DEF ∆的面积不超过ABC ∆的面积的
14；()2DEF ∆的内切圆半径不超过ABC ∆的外接圆半径的14。

40.已知锐角123A A A ∆的外心和垂心分别为,O H ，点,i i P Q 分别在线段i OA 和12i i A A ++上，使得四边形i i OPHQ 是平行四边形，其中1,2,3i =，3i i A A +=，证明312123
3OQ OQ OQ OP OP OP ++≥。

41.设ABC ∆是锐角三角形，其内心、外心、垂心分别为,,I O H ，ABC ∆的内切圆与边BC 切于点D ，若B C ∠<∠，//AO HD ，OD 与AH 交于点E ，线段CI 的中点为F ，证明,,,E F I O 四点共圆。