简单的一元二次不等式及其解法

第三章 §3.2
一元二次不等式及其解法
第1课时 简单的一元二次不等式及其解法
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.
2.掌握图象法解一元二次不等式.
3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一
思考
一元二次不等式的概念
我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中
称为 一元二次 不等式.
(2)能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解. (3)不等式所有解的 集合 称为解集.
知识点二
“三个二次”的关系
一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表.
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象
ax2＋bx＋Leabharlann ＝0√ 1 D.xx<－2或x＞1
解析 ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
1 ∴由 2x －x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0，解得 x>1 或 x<－2，
2
1 ∴不等式的解集为xx<－2或x＞1 .
1
2
3
4
解析
答案
2.若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7<x<－1}，那么a的值是 A.1 B.2 C.3 √ D.4
由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.
经比较知乙车超过限速，应负主要责任.
解答
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，试求关于x的
不等式bx2＋ax＋1>0的解集.
解答
反思与感悟 求待定系数.
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次
当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般
形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切 结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象.
跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集.
解 1 ∵2x －3x－2＝0 的两解为 x1＝－2，x2＝2，
2
且a＝2>0，
1 ∴不等式 2x －3x－2≥0 的解集是xx≤－2或x≥2 .
解答
命题角度3 实际问题中的一元二次不等式
例3 某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该
地面进行绿化，规划四周种花卉 (花卉带的宽度相同 )，中间种草坪，若
要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围.
解答
反思与感悟
一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时
车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙
＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任. 解
2 由题意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01x甲 >12，
2 S乙＝0.05x乙＋0.005 x乙 >10.
分别求解，得x甲<－40或x甲>30，
x乙<－50或x乙>40.
b xx≠－ 2a
没有实数根
(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0
R
(a>0)的解集
{x|x1<x<x2} __________
∅
∅
知识点三
一元二次不等式的解法
思考 根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x. 答案 先化为x2－3x＋2>0.
∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，
1
2
3
4
解析
答案
规律与方法
1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以 得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)； ②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的 简图； ③由图象得出不等式的解集.
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本课结束
函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系
跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值.
解答
达标检测
1.不等式 2x2－x－1>0 的解集是
1 A.x－2<x<1
B.{x|x＞1}
C.{x|x<1 或 x＞2}
题型探究
类型一 一元二次不等式的解法
命题角度1 二次项系数大于0
例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集. 解 因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
1 所以方程 4x －4x＋1＝0 的解是 x1＝x2＝2，
2
1 所以原不等式的解集为xx≠2 .
解答
反思与感悟
2
解答
命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式－x2＋2x－3>0. 解 不等式可化为x2－2x＋3<0.
因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8<0，
方程x2－2x＋3＝0无实数解，
而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，
所以原不等式的解集是∅.
解答
反思与感悟
将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等
(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0
有两相等实根 有两相异实根 ______________ ______________ b x ， x ( x < x ) ___________ x1＝x2＝－2a 1 2 1 2 ______________ {x|x<x1或x>x2} _____________
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得{x|x>n或x<m}； 若(x－m)(x－n)<0，则可得{x|m<x<n}. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间. 2.实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响，如长度应该大于0， 人数应该为自然数等. 3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标.
答案
4.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t
＋ 10(0<t≤30 ， t∈N) ； 销 售 量 g(t) 与 时 间 t 的 函 数 关 系 是 g(t) ＝ － t ＋
35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为
{t|10≤t≤15，t∈N} __________________. 解析 日销售金额＝(t＋10)(－t＋35)， 依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500， 解得解集为{t|10≤t≤15，t∈N}.
的每一个元素均可使等式成立.那么什么是不等式x2>1的解？你能举出一
个解吗？你能写出不等式x2>1的解集吗？
答案
能使不等式x2>1成立的x的值，都是不等式的解，如x＝2.不等式
x2>1的解集为{x|x<－1 或x>1} ，该集合中每一个元素都是不等式的解，
而不等式的每一个解均属于解集.
梳理
(1)只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，
∴原不等式的解集为{x|x<1或x>2}.
梳理 解一元二次不等式的步骤： (1)化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； (2)计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； (3)有根求根； (4)根据图象写出不等式的解集.
[思考辨析 判断正误] 1.mx2＋5x<0是一元二次不等式.( × ) 2.解不等式ax2＋bx＋c>0，即求横坐标x取哪些值时，函数y＝ax2＋bx ＋c的图象在x轴上方.( √ ) 3.解不等式的结果要写成集合形式的原因是集合的元素具有确定性， 可以严谨地界定哪些元素是解，哪些不是.( √ )
要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求 解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.
跟踪训练3
在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，
发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距
离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹
号的变化，化归为二次项系数大于0的不等式，是为了减少记忆负担.
跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集. 解 不等式可化为3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
3 3 ∴x1＝1－ 3 ，x2＝1＋ 3 ，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是
3 3 x1－ <x<1＋ . 3 3
解析 由题意可知－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根.
21 ∴－7×(－1)＝ a ，故 a＝3.
1
2
3
4
解析
答案
x|－2<x<1} 3.不等式x2＋x－2<0的解集为{ ___________. 解析 由x2＋x－2<0，得－2<x<1， 故其解集为{x|－2<x<1}.
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3
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解析