数列一轮复习 数列的通项公式与求和

第1讲 数列的通项公式与求和
考点整合：
1、数列通项公式的求解 （1）观察法
（2）利用a n 与S n 的关系求a n （3）利用递推公式求通项公式 2、数列的求和
（1）等差、等比数列的求和 ①公式法
②关于奇偶项求和问题
③关于含绝对值的数列求和
（2）通项分析法 （3）错位相减法 （4）分组求和法 （5）裂项相消法 （6）倒数相加法 （7）并项求和法
考点1：数列通项公式的求解（高频考点）
常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用a n 与S n 关系求a n 、利用递推公式求通项公式。

角度一 观察法
1. 数列－1，12，－13，14，－1
5，…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝±1n
B ．a n ＝(－1)n ·1
n
C ．a n ＝(－1)n ＋11
n D ．a n ＝1n
2. 下列图形的点数构成数列{a n }，则a 8等于( )
A ．17
B ．22
C ．25
D ．28 3. 写出下列数列的一个通项公式：
（1）325374
,,,,,,...;751381911
---
（2）2,22,222,...22....2n 个
（3）已知数列{a n }中各项为：12,1122,11122211...122...2,...⋯，
， 4. 将全体正整数排成一个三角形数阵，如图所示，则第n 行()3n ≥从左向右的第3个
数为＝________．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …
5. 观察下列等式： 2111,22n
i i n n ==+∑ 2321111,326n
i i n n n ==++∑ 3
4321111,424n
i i n n n ==++∑ 4
54311111,52330n
i i n n n n ==++-∑ 565421
1151
,621212n
i i n n n n ==++-∑ 6
76531
11211210
1
11111
+,722642
......n
i n
k
k k k k k k k k i i
n n n n n i
a n a n a n a n a n a =+--+--==
++-=++++++∑∑
可以推测，当()*2k k N ≥∈时，11
1
k a k +=+，12k a =，12_________,__________.k k a a --==
角度二 已知通项公式a n 与前n 项和S n 关系求通项
（1）S n 的形式独立：转化S n 为a n 的形式，作差法，使()*12n n n S S a n n N --=≥∈， （2）S n 的形式不独立：将a n 转化为()12n n S S n --≥，转化法. S n 的形式独立：
1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3
，则{a n }的通项公式a n ＝________．
2. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )
A ．2n －1
B ．⎝⎛⎭⎫32n －1
C ．⎝⎛⎭⎫23n －1
D ．12
n －1
3. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n
－3，则数列{a n }的通项公式为________． 4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3 B ．a n ＝2n ＋3
C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2
D ．a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，
2n ＋3，n ≥2
5. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，()*1421,n n S a n n N +=+≥∈. （1）设12n n n b a a +=-，求n b ； （2）设11
2n n n
c a a +=-，求数列{a n }的前n 项和n T ；
（3）设2n
n n
a d =，求2010d .
S n 的形式不独立： 1．(2015·高考全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n
＝________．
2. 已知数列{a n }中，0n a >，且对于任意正整数n 有1
1
()2
n n n
S a a =+，求数列{a n }的通项公式.
3. 已知数列{a n }中，()01n a n ≠≥，112a =，前n 项和S n 满足()
2
*22,21
n n n S a n n N S =≥∈-.
（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩
⎭是等差数列；
（2）求数列{a n }的通项公式.
4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且()*585n n S n a n N =--∈. （1）证明：数列{}1n a -是等比数列；
（2）求数列{}n S 的通项公式，请指出n 为何值时，S n 取得最小值，并说明理由.
5. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知11a =，()2*1212
33
n n S a n n n N n +=---∈. （1）求2a 的值；
（2）求数列{a n }的通项公式. （3）证明：对一切正整数n ，有
121117 (4)
n a a a +++<.
角度三 利用递推公式求通项公式 1. 累加法：形如()1n n a a f n +-=
（1）已知a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)，求出满足条件的数列的通项公式.
（2）在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋1
n （n ＋1）
，求a n .
（3）对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．
2.累乘法：形如
()1
n
n a f n a -= （1）已知a 1＝1，a n ＝n
n －1
a n －1(n ≥2，n ∈N *)，求出满足条件的数列的通项公式.
（2）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，求a n .
（3）已知数列{a n }中，a 1＝1，()121n n na n a +=+，则数列{a n }的通项公式为________．
3.构造辅助函数列 （1）待定系数法：
①形如()1,01n n a pa q p q pq p +=+≠≠为常数，且的递推式. 法1：构造()1+=n n a p a λλ++
法2：递推一步，-1n n a pa q =+，两式作差，()1-1n n n n a a p a a +-=-，构造{}1n n a a +-为
等比数列求解.
例：已知是数列{a n }满足a 1＝1，1112
n n a a +=+，求其通项公式.
②形如()1,,0,1n n a pa qn r p q r p p +=++≠≠为常数，的递推式. 方法：可构造()()11n n a a n b p a an b ++++=++转化为等比数列.
例：在数列{a n }中，a 1＝2，()*1431n n a a n n N +=-+∈,求数列{a n }的通项公式.
（2）同除以指数：形如()1011n n n a pa d p p d +=+≠≠≠且，的递推式.
法1：两边同除以1n p +，转化为叠加法求解. 法2：两边同除以1n d +，转化为待定系数法求解.
例1：已知数列{a n }满足，()1*1322,n n n a a n n N --=+≥∈,求数列{a n }的通项公式.
例2：在数列{a n }中，a 1＝1，122n n n a a +=+. （1）设1
2n
n n a b -=
，试证明：数列{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n .
（3）取倒数法：形如()10n
n n
aa a ac b ca +=
≠+的递推式. 方法：取倒数
111.n n n n b ca b c a aa a a a
++==+，转化为待定系数法求解. 例1：在数列{a n }中，a 1＝1，122n
n n
a a a +=+，求数列{a n }的通项公式.
例2：已知数列{a n }的首项为135
a =，()131,2, (21)
n
n n a a n a +=
=+，求数列{a n }的通项公式.
例3：已知数列{a n }中，a 1＝1，1
121
n n n S S S --=
+，求数列{a n }的通项公式.
（4）取对数法：形如()10,0k
n n n a ca c a +=>>的递推式.
方法：两边取对数转化为等比数列求解.
例1：已知数列{a n }中，a 1＝3，且()2
*1n n a a n N +=∈，则数列的通项a n ＝________．
例2：已知数列{a n }中，a 1＝10，2
110n n a a +=，求数列{a n }的通项公式.
（5）递推式法：
①形如()1n n a a f n ++=的递推式.
方法：将原递推式改写成()211n n a a f n +++=+，两式相减：()()21n n a a f n f n +-=+-，然后n 分奇偶数讨论即可. ②形如()1.n n a a f n +=的递推式.
方法：同上.
例1：已知数列{a n }中，a 1＝1，12n n a a n ++=，求a n .
例2：已知数列{a n }中，a 1＝3，21n n a a n ++=，求a n .
考点2：数列的求和（高频考点）
（1）等差、等比数列的求和 ①公式法
②关于奇偶项求和问题
③关于含绝对值的数列求和
（2）通项分析法 （3）错位相减法 （4）分组求和法 （5）裂项相消法 （6）倒数相加法 （7）并项求和法
角度一 等差、等比数列的求和 （1）公式法（见单独的讲解） （2）关于奇偶项求和问题
先求偶数项的和，再求奇数项的和。

求奇数项时，将奇数情形转化为偶数情形，即：
()()111+n n n n n S S a S a -++==-偶偶
例1：已知数列{}n a 的通项公式为()1
21n n a n -=-，求其前n 项和n S .
例2：已知数列{}n a 中，通项21()
3()
n n
n n a n -⎧⎪=⎨
⎪⎩为正奇数为正偶数，求其前n 项和n S .
（3）关于含绝对值的数列求和（有技巧）
例1：在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列. （1）求d ，n a ；
（2）若0d <，求123||||||...||n a a a a ++++.
例2：在等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =-，n S 为其前n 项和n S . （1）求使0n S <的最小正整数n ； （2）求123||+||+||+...+||n n T a a a a =.
例3：已知等差数列{}n a 前三项的和为-3，前三项的积为8. （1）求等差数列{}n a 的通项公式；
（2）若2a ，3a ，1a 成等差数列，求数列{}||n a 的前n 项和.
角度二 通项分析法
方法：先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和.
例1：求数列1,1+2,1+2+22，…，1+2+22+…+2n -1，…的前n 项的和.
例2：求数列9
9,99,999,...,99...9n 个的前n 项的和.
角度三 错位相减法
求数列{}.n n n n a a b b ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩
⎭和的前n 项的和，数列{a n }与{b n }分别为等差与等比数列. 例1：已知数列{a n }的前n 项和为S n 且a n ＝n ·2n ，则S n ＝________.
例2：已知数列{a n }的前n 项和()2*12
n S n kn k N =-+∈其中,且n S 的最大值为8. （1）确定常数k ，并求a n . （2）求数列922n n
a -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和T n .
例3：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.
（1）求数列{b n }的通项公式；
（2）令c n ＝（a n ＋1）n ＋
1
（b n ＋2）n
.求数列{c n }的前n 项和T n .
例4：已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n
2n ＋1.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n ＝(a n ＋1)·
2n
a ，求数列{
b n }的前n 项和T n .
例5：已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且11442,27,a b a b ==+= 4410S b -=.
（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；
（2）记()*1121...n n n n T a b a b a b n N -=+++∈,证明：()*12210n n n T a b n N +=-+∈.
角度四 分组求和法
通常出现的情况：等差+等比，等差+常数列，等比+常数列…
例1：若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为________． 例2：在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．
例3：在数列{a n }中，a 1＝1，111
12
n n n n a a n ++⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭
.
（1）设n
n a b n
=
，证明{}1n n b b +-为等比数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n .
例4：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n
2
，n ∈N *.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和．
例5：已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .
例6：已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －
1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，求其前n
项和S n .
例7：已知等比数列{a n }中，首项a 1＝3，公比q >1，且3(a n ＋2＋a n )－10a n ＋1＝0(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设⎩⎨⎧
⎭⎬⎫b n ＋13a n 是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n }的通项公式和前n
项和S n .
角度五 裂项相消法
常用的裂项相消变换有：
1. 分式裂项
()1111n n p p n n p ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；()()()()()1111
122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦
2. 1
p
=
3. 对数式裂项()lg
lg lg n p
n p n n
+=+- 4. 指数式裂项()()()()()1
111111;1111111n n
n n n n n n a q aq q q q q q q q q q q +++⎛⎫=-≠=-≠ ⎪------⎝⎭
例1：数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1）
，若{a n }的前n 项和为2 017
2 018，则项数n 为( )
A ．2 016
B ．2 017
C ．2 018
D ．2 019
例2： 122－1＋132－1＋142－1＋…＋1
（n ＋1）2－1的值为( )
A ．n ＋12（n ＋2）
B ．34－n ＋12（n ＋2）
C ．34－12⎝⎛⎭
⎫1n ＋1＋1n ＋2 D ．32－1n ＋1＋1
n ＋2
例3：已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4，2)，令a n ＝1
f （n ＋1）＋f （n ）
，n ∈N *.记数列{a n }
的前n 项和为S n ，则S 2 017＝( )
A ． 2 016－1
B ． 2 017－1
C ． 2 018－1
D ． 2 019 －1
例4：已知数列111
1,
,,...,,...,12123123...n
+++++++求它的前n 项和S n .
例5：S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n ＞0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和．
例6：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＋a 7＝－9，S 9＝－99
2
.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝12S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n >－3
4.
例7：数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n ＋
1－2，数列{b n }是首项为a 1，公差为d (d ≠0)的等
差数列，且b 1，b 3，b 9成等比数列． (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)若c n ＝2
（n ＋1）b n
(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .
角度六 倒序相加法
将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规可循，并且容易求和，通常涉及到()()f x f a x +-=常数，可简便运算. 例1：函数()()1210,,4x f x m x x R m =
>∈+，当121x x +=时，()()12
1
2
f x f x +=. （1）求m 的值；
（2）已知数列{a n }满足()()1210...1n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，求a n .
（3）若S n = a 1+ a 2+…+ a n ，求S n .
例2：设()
f x =()()()()()765...0...8f f f f f -+-+-++++的值.
例3：设函数f (x )＝12＋log 2x 1－x
，定义S n ＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ，其中n ∈N *，且n ≥2，则S n ＝________．
例4：已知数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，求
0121231...n
n n n n n n S C a C a C a C a +=++++.
角度七 并项相加法
一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．
例1：数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －
1·n ，则S 17＝( ) A ．9 B ．8 C ．17 D ．16
例2：数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π
2
，其前n 项和为S n ，则S 2 017等于( )
A ．1 002
B ．1 004
C ．1 006
D ．1 008
例3：在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，n ∈N *，则S 60的值为( ) A ．990 B ．1 000 C ．1 100 D ．99
例4：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 017的值为( )
A ．2 015
B ．2 013
C ．1 008
D ．1 009
例5：已知数列{a n }满足11
2n a +=，且112
a =，则该数列的前2018项的和等于
________．
例 6：已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a 2n －1－1(n >1)，则a 2 017＝__________，|a n ＋a n ＋1|＝__________(n >1)．。