《试卷3份集锦》上海市浦东新区2018-2019年九年级上学期期末复习检测数学试题

九年级上学期期末数学试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．反比例函数y=k
x
的图象经过点（2，5），若点（1，n）在此反比例函数的图象上，则n等于（）
A．10 B．5 C．2 D．【答案】A
【解析】解：因为反比例函数y=k
x
的图象经过点（2，5），
所以k=2510
⨯=
所以反比例函数的解析式为y=10
x
，
将点（1，n）代入可得：n=10.
故选：A
2．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影
响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x米，则可得方程30003000
10
x x
-
-
=15，根据此情景，题中用“…”
表示的缺失的条件应补为（）
A．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
【答案】C
【解析】题中方程表示原计划每天铺设管道(10)
x-米，即实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成，选C．
3．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则BC的长是( )
A．πB．1
3
πC．
1
2
πD．
1
6
π
【答案】B
【解析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等边三角形，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：连接OB，OC．
∵∠BOC ＝2∠BAC ＝60°，
∵OB ＝OC ，
∴△OBC 是等边三角形，
∴OB ＝OC ＝BC ＝1，
∴BC 的长＝6011803
ππ⋅⋅=， 故选B ．
【点睛】
考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 4．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 、n 与a 、b 、c 分别交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ，若AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，则BF 的值是（ ）
A ．14
B ．15
C ．16
D ．17
【答案】B 【分析】三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【详解】解：∵a ∥b ∥c ，AC ＝8，CE ＝12，BD ＝6，
∴
AC BD AE BF
=, 即86=812BF +， 解得：=15BF ，
故选：B.
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键．
5．分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到封闭图形就是莱洛三角形，如图，已知等边ABC ∆，2AB =，则该莱洛三角形的面积为（ ）
A ．2π
B ．233π-
C ．233π-
D ．223π-
【答案】D 【分析】莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，代入已知数据计算即可．
【详解】解：如图所示，作AD ⊥BC 交BC 于点D ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∵AD ⊥BC ，
∴BD=CD=1，AD=3，
∴11232322
ABC S BC AD =⋅=⨯⨯=， 260223603
BAC S =ππ⨯=扇形 ∴莱洛三角形的面积为22232233
ABC BAC 3S S
=3ππ-⨯-=-扇形 故答案为D ．
【点睛】
本题考查了不规则图形的面积的求解，能够得出“莱洛三角形的面积为三个扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积”是解题的关键．
6．若反比例函数k y x =
的图像经过点(3,2)-，则下列各点在该函数图像上的为（ ） A ．(2,3)
B ．(6,1)
C ．(1,6)-
D ．(2,3)-- 【答案】C
【分析】将点(3,2)-代入k y x
=求出反比例函数的解析式，再对各项进行判断即可．
【详解】将点(3,2)-代入k y x =得
23k
-=
解得6k =-
∴6
y x -=
只有点(1,6)-在该函数图象上 故答案为：C ．
【点睛】 本题考查了反比例函数的问题，掌握反比例函数的性质以及应用是解题的关键．
7．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin ∠ABC 等于（ ）
A 5
B 25
C 5
D ．2
3
【答案】C
【解析】试题解析：设正方形网格每个小正方形边长为1，则BC 边上的高为2，则
22422025AB =+== ，5
sin 525ABC ∠== .
故本题应选C.
8．若一元二次方程2514x x -=的两根为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ）
A ．1
B ．14
C ．14-
D ．5
4
【答案】B
【分析】先将一元二次方程变为一般式，然后根据根与系数的关系即可得出结论．
【详解】解：将2514x x -=变形为24510x x -+=
根据根与系数的关系：121
4x x c
a ==
故选B ．
【点睛】
此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握两根之积等于c
a 是解决此题的关键．
9．将抛物线22y x =-向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为（
） A ．()233y x =++ B ．()231y x =-+
C ．()221y x =++
D ．()2
31y x =++ 【答案】D 【分析】先得到抛物线y=x 2-2的顶点坐标为（0，-2），再把点（0，-2）向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（-3，1），得到平移后抛物线的顶点坐标，然后根据顶点式写出解析式即可．
【详解】解：抛物线y=x 2-2的顶点坐标为（0，-2），把点（0，-2）向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度所得点的坐标为（-3，1），
所以平移后抛物线的解析式为y=（x+3）2+1，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．
10．抛物线2y x bx c =++的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为()2y x 14=--，则b 、c 的值为
A ．b=2，c=﹣6
B ．b=2，c=0
C ．b=﹣6，c=8
D ．b=﹣6，c=2 【答案】B
【详解】函数()2y x 14=--的顶点坐标为（1，﹣4），
∵函数()2
y x 14=--的图象由2y x bx c =++的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到， ∴1﹣2=﹣1，﹣4+3=﹣1，即平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．
∴平移前的抛物线为()2
y x 11=+-，即y=x 2+2x ．
∴b=2，c=1．故选B ．
11．函数y=mx 2+2x+1的图像 与x 轴只有1个公共点，则常数m 的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．0,1
D ．1,2 【答案】C
【解析】分两种情况讨论，当m=0和m ≠0，函数分别为一次函数和二次函数，由抛物线与x 轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，列式求解即可．
【详解】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x 轴只有一个交点；
②若m ≠0，则函数y=mx 2+2x+1，是二次函数．
根据题意得：b 2-4ac=4-4m=0，
解得：m=1．
∴m=0或m=1
故选：C.
【点睛】
本题考查了一次函数的性质与抛物线与x 轴的交点，抛物线与x 轴的交点个数由根的判别式的值来确定．本题中函数可能是二次函数，也可能是一次函数，需要分类讨论，这是本题的容易失分之处．
12．在△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，AC ＝6，BC ＝8，则cosB 的值是（ ）
A ．35
B ．24
C ．45
D ．43
【答案】C
【分析】利用勾股定理求出AB ，根据余弦函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，
在Rt ABC 中，6AC =，8BC =，
22226810AB BC AC ∴=+=+=，
84105
BC cosB AB ∴===， 故选：C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．已知x=－1是一元二次方程x 2＋mx ＋1=0的一个根，那么m 的值是_________．
【答案】1
【解析】试题分析：将x=－1代入方程可得：1－m+1=0，解得：m=1．
考点：一元二次方程
14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝120°，BC ＝43，⊙A 与BC 相切于点D ，且交AB ，AC 于M ，N 两点，则图中阴影部分的面积是_____（保留π）．
【答案】433
π． 【分析】连接AD ，分别求出△ABC 和扇形AMN 的面积，相减即可得出答案.
【详解】解：连接AD，
∵⊙A与BC相切于点D，∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠ABD＝∠ACD＝30°，BD＝CD＝1
23 2
BC=
∴AB＝2AD，由勾股定理知BD2+AD2＝AB2，即(2
23+AD2＝（2AD）2
解得AD＝2，
∴△ABC的面积＝11
43243 22
BC AD
⨯=⨯=
扇形MAN得面积＝
2
12024
3603
π
π
⨯
=，
∴阴影部分的面积＝
4
43
3
π．
故答案为：
4
43
3
π．
【点睛】
本题考查的是圆中求阴影部分的面积，解题关键在于知道阴影部分面积等于三角形ABC的面积减去扇形AMN的面积，要求牢记三角形面积和扇形面积的计算公式.
15．把抛物线y=2x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式是_______.
【答案】y＝2（x＋2）2﹣1
【解析】直接根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】由“左加右减”的原则可知,二次函数y＝2x2的图象向下平移1个单位得到y＝2x2−1，
由“上加下减”的原则可知,将二次函数y＝2x2−1的图象向左平移2个单位可得到函数y＝2(x＋2)2−1，
故答案是：y＝2(x＋2)2−1.
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握规律是解题的关键.
16．双十一期间，荣昌重百推出有奖销售促销活动，消费达到800元以上得一次抽奖机会，李老师消费1000元后来到抽奖台，台上放着一个不透明抽奖箱，里面放有规格完全相同的四个小球，球上分别标有1，2，3，4四个数字，主持人让李老师连续不放回抽两次，每次抽取一个小球，如果两个球上的数字均为奇
数则可中奖，则李老师中奖的概率是__________.
【答案】1 6
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两个球上的数字均为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两个球上的数字均为奇数的结果数为2，
所以李老师中奖的概率=
21
= 126
．
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
17．请写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为2，﹣2，这个方程可以是_____．
【答案】x2﹣4＝0
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求出答案
【详解】设方程x2﹣mx+n＝0的两根是2，﹣2，
∴2+（﹣2）＝m，2×（﹣2）＝n，
∴m＝0，n＝﹣4，
∴该方程为：x2﹣4＝0，
故答案为：x2﹣4＝0
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根x1，x2与系数的
关系：x1+x2=
b
a
，x1x2=
c
a
，是解题的关键.
18．某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月节约用水情况.如表：
节水量/m30.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数/个 2 4 6 7 1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是_____m3.
【答案】130
【解析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
【详解】20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：
400×0.325=130（m3），
故答案为130.
【点睛】
本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，关键是求出样本的平均数．三、解答题（本题包括8个小题）
19．解方程：x2﹣2x﹣2=1．
【答案】x1=1+3，x2=1﹣3．
【解析】试题分析：把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
试题解析：x2﹣2x﹣2=1
移项，得
x2﹣2x=2，
配方，得
x2﹣2x+1=2+1，即（x﹣1）2=3，
开方，得
x﹣1=±3．
解得x1=1+3，x2=1﹣3．
考点：配方法解一元二次方程
20．如图，已知矩形ABCD．在线段AD 上作一点P，使∠DPC ＝∠BPC ．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
【答案】详见解析
【分析】以C为圆心，CD为半径画弧，以BC为直径画弧，两弧交于点M，连接BM并延长交AD于
∠=∠．
点P，利用全等三角形和角平分线的判定和性质可得DPC BPC
【详解】解：如图，即为所作图形：∠DPC ＝∠BPC.
【点睛】
本题是作图—复杂作图，作线段垂直平分线，涉及到角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难度中等.
21．如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．继续推理就可以使问题得到解决．
（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；
（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．
①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为；
②若AD+BD＝14，求
2
AD BD CD
2
⎛⎫
⋅+
⎪
⎪
⎝⎭
的最大值，并求出此时⊙O的半径．
【答案】（1）CD2+BD2＝2AD2，见解析；（2）BD2＝CD2+2AD2，见解析；（3）①2，②最大值为441 4
，
710
【分析】（1）先判断出∠BAD＝CAE，进而得出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，∠B＝∠ACE，再根据勾股定理得出DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，即可得出结论；
（2）同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），得出BD＝CE，再用勾股定理的出DE2＝2AD2，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，即可得出结论；
（3）先根据勾股定理的出DE2＝CD2+CE2＝2CD2，再判断出△ACE≌△BCD（SAS），得出AE＝BD，
①将AD＝6，BD＝8代入DE2＝2CD2中，即可得出结论；
②先求出CD ＝，再将AD+BD ＝14，CD ＝代入AD BD ⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
，化简得出﹣（AD ﹣212）2+4414
，进而求出AD ，最后用勾股定理求出AB 即可得出结论． 【详解】解：（1）CD 2+BD 2＝2AD 2，
理由：由旋转知，AD ＝AE ，∠DAE ＝90°＝∠BAC ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
∵AB ＝AC ，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴BD ＝CE ，∠B ＝∠ACE ，
在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠ACB ＝45°，
∴∠ACE ＝45°，
∴∠DCE ＝∠ACB+∠ACE ＝90°，
根据勾股定理得，DE 2＝CD 2+CE 2＝CD 2+BD 2，
在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2+AE 2＝2AD 2，
∴CD 2+BD 2＝2AD 2；
（2）BD 2＝CD 2+2AD 2，
理由：如图2，
将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ，连接EC ，DE ，
同（1）的方法得，ABD ≌△ACE （SAS ），
∴BD ＝CE ，在Rt △ADE 中，AD ＝AE ，
∴∠ADE ＝45°，
∴DE 2＝2AD 2，
∵∠ADC ＝45°，
∴∠CDE ＝∠ADC+∠ADE ＝90°，
根据勾股定理得，CE 2＝CD 2+DE 2＝CD 2+2AD 2，
即：BD 2＝CD 2+2AD 2；
（3）如图3，过点C 作CE ⊥CD 交DA 的延长线于E ，
∴∠DCE ＝90°，
∵∠ADC ＝45°，
∴∠E ＝90°﹣∠ADC ＝45°＝∠ADC ，
∴CD ＝CE ，
根据勾股定理得，DE 2＝CD 2+CE 2＝2CD 2，
连接AC，BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵∠ADC＝45°，
∴∠BDC＝45°＝∠ADC，
∴AC＝BC，
∵∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，
①AD＝6，BD＝8，
∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，∴2CD2＝142，
∴CD＝72，
故答案为72；
②∵AD+BD＝14，
∴CD＝72，
∴
2
2
AD BD CD
⎛⎫
⋅+
⎪
⎪
⎝⎭
＝AD•（BD+
2
2
×72）＝AD•（BD+7）
＝AD•BD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣21
2
）2+
441
4
，
∴当AD＝21
2
时，
2
2
AD BD CD
⎛⎫
⋅+
⎪
⎪
⎝⎭
的最大值为
441
4
，
∵AD+BD＝14，
∴BD＝14﹣21
2
＝
7
2
，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝22710
AD BD
+=，
∴⊙O的半径为OA＝1
2
AB＝
710
4
．
【点睛】
本题考查圆与三角形的结合,关键在于熟记圆的性质和三角形的性质.
22．如图，已知抛物线2143
y x bx =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知A 点的坐标为()2,0A -．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求线段BC 所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ACP ∆为等腰三角形？若存在，求出符合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）214433y x x =-++；（2）243
y x =-+；（3）存在，(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，12) 【分析】（1）将A 点代入抛物线的解析式即可求得答案；
（2）先求得点B 、点C 的坐标，利用待定系数法即可求得直线BC 的解析式；
（3）设出P 点坐标，然后表示出△ACP 的三边长度，分三种情况计论，根据腰相等建立方程，求解即可．
【详解】（1）将点()20A -，
代入2143
y x bx =-++中， 得：()()2122403
b --+-+=， 解得：43
b =， ∴抛物线的解析式为214433y x x =-++；
（2）当0x =时，4y =，
∴点C 的坐标为(0，4) ，
当0y =时，2144033
x x -++=， 解得：1226x x =-=， ，
∴点B 的坐标为(6，0) ，
设直线BC 的解析式为y kx n =+，
将点B (6，0)，点C (0，4)代入，得：
064k n n
=+⎧⎨=⎩， ∴234
k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线BC 的解析式为243
y x =-+， （3）抛物线的对称轴为()
6222x +-=
=， 假设存在点P ，设(2,)P t ，
则AC =
AP ==
，
CP ==
∵△ACP 为等腰三角形，
①当AC
AP =
=
解之得：2t =±，
∴点P 的坐标为(2，2)或(2，-2)；
②当AC
CP =
解之得：0t =或8t =(舍去)，
∴点P 的坐标为(2，0)或(2，8)，
设直线AC 的解析式为y kx b =+，
将点A(-2，0)、C (0，4)代入得204k b b -+=⎧⎨=⎩
，
解得：24
k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为24y x =+，
当2x =时，2248y =⨯+=，
∴点(2，8)在直线AC 上，
∴A 、C 、P 在同一直线上，点(2，8)应舍去；
③当AP CP == 解之得：12
t =， ∴点P 的坐标为(2，12
)； 综上，符合条件的点P 存在，坐标为：(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，
12)． 【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，方程思想及分类讨论思想等知识点．在（3）中利用点P 的坐标分别表示出AP 、CP 的长是解题的关键．
23．按要求解答下列各小题．
（1）解方程：22
43(2)x x -=+；
（22sin 45tan 45cos 60+-°°°°
． 【答案】（1）173x =；21x =-；（2）52
． 【分析】（1）去括号整理后利用因式分解法解方程即可；
（2）直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】(1)去括号得：224344x x x -=++
移项合并得：23470x x --=
因式分解得：()()3710x x -+=
即：370x -=或10x += ∴12713
x x ==-，；
(22sin 45tan 45cos 60+-°°°°
2
2
3
1
21
2
⎛
⎝⎭
=+
-
3
1
2
=+
5
2
=．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，特殊角的三角函数值，正确分解因式、熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
24．解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2=0；
（2）（x﹣1
）（x﹣3）=1．
【答案】（1
）x1，x2=+1；（2）x1=5，x2=﹣1
【分析】(1)用配方法解方程；
(2)先化简为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法解方程.
【详解】解：⑴x2－2x＋1＝
3，
(x－1)2＝
3，
x－1＝
1
1
x，
2
1
x＝
⑵x2－x－3x＋3＝1
x2－4x－5＝0
(x－5)(x＋1)＝0
x1＝5，x2＝－1
【点睛】
本题考查用配方法和因式分解法解一元二次方程．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①移项，将方程的右边化为0；②化积，把方程左边因式分解，化成两个一次因式的积；③转化，令每个因式都等于零，转化为两个一元一次方程；④求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．25．如图，90
ABD BCD︒
∠=∠=，DB平分∠ADC，过点B作BM CD
‖交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：2BD AD CD =⋅；（2）若68CD AD ==，，求MN 的长．
【答案】（1）见解析；（2）475
MN =【分析】（1）通过证明ABD BCD ∆∆∽，可得AD BD BD CD
=，可得结论； （2）由平行线的性质可证MBD BDC ∠∠＝，即可证4AM MD MB ＝＝＝，由2BD AD CD ⋅＝和勾股定理可求MC 的长，通过证明MNB CND ∆∆∽，可得
23
BM MN CD CN ==，即可求MN 的长． 【详解】证明：（1）∵DB 平分ADC ∠， ADB CDB ∴∠∠＝，且90ABD BCD ∠∠︒＝＝，
ABD BCD ∴∆∆∽
AD BD BD CD
∴= 2BD AD CD ∴⋅＝
（2）//BM CD
MBD BDC ∴∠∠＝
ADB MBD ∴∠∠＝，且90ABD ∠︒＝
BM MD MAB MBA ∴∠∠＝，＝
4BM MD AM ∴＝＝＝
2BD AD CD ⋅＝，且68CD AD ＝，＝
， 248BD ∴＝，
22212BC BD CD ∴＝﹣＝
22228MC MB BC ∴+＝＝
27MC ∴＝//BM CD
MNB CND ∴∆∆∽
23
BM MN CD CN ∴==且27MC =
475
MN ∴=
【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC 的长度是本题的关键． 26．某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次，每次射耙的成绩情况如图所示：
平均数 方差 中位数 甲
7 ① . 7 乙 ② . 5.4
③ . （1）请将右上表补充完整：（参考公式：方差222212[()()()]n S x x x x x x n =-+-++-）
（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看，__________的成绩好些；②从平均数和中位数相结合看，___________的成绩好些；
（3）若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．
【答案】（1）①1.2；②7；③7.5；（2）①甲；②乙；（3）乙，理由见解析
【分析】（1）根据方差公式直接计算即可得出甲的方差，然后根据折线图信息进一步分析即可求出乙的平均数以及中位数；
（2）①甲乙平均数相同，而甲的方差要小，所以甲的成绩更加稳定，从而得出甲的成绩好一些；②甲乙平均数相同，而乙的中位数较大，即乙的成绩的中间量较大，所以得出乙的成绩好一些；
（3）根据甲乙二人成绩的相关数据结合实际进一步分析比较即可.
【详解】（1）①甲的方差为：2222221[(97)(57)4(77)2(87)2(67)] 1.210
S =-+-+⨯-+⨯-+⨯-=，
②乙的平均数为：()24687789910107+++++++++÷=，
③乙的中位数为：()7827.5+÷=，
故答案为：①1.2；②7；③7.5；
（2）①甲乙平均数相同，而甲的方差要小，所以甲的成绩更加稳定，从而得出甲的成绩好一些；②甲乙平均数相同，而乙的中位数较大，即乙的成绩的中间量较大，所以得出乙的成绩好一些；
故答案为：①甲；②乙；
（3）选乙，理由如下：
综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，更具有培养价值，所以应选乙．
【点睛】
本题考查了折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，折线统计图能清楚地看出数据的变化情况．
27．已知，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点B ，C 重合）．以AD 为边做正方形ADEF ，连接CF
（1）如图1，当点D 在线段BC 上时．求证CF+CD=BC ；
（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，且点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF ，BC ，CD 三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF 的边长为22AE ，DF 相交于点O ，连接OC ．求OC 的长度．
【答案】（1）证明见解析；（1）CF ﹣CD=BC ；（3）①CD ﹣CF=BC ；②1．
【分析】（1）三角形ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF=BD ，据此即可证得．
（1）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD=CF ，即可得到CF ﹣CD=BC ． （3）①同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD=CF ，即可得到CD ﹣CB=CF ．
②证明△BAD ≌△CAF ，△FCD 是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF 的长，则OC 即可求得．
【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴AB=AC ．
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，∴∠BAD=∠CAF．∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴BD=CF．
∵BD+CD=BC，∴CF+CD=BC．
（1）CF-CD=BC；
理由：∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
AB AC
BAD CAF AD AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△CAF（SAS）
∴BD=CF
∴BC+CD=CF，
∴CF-CD=BC；
（3）①∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF，∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
AB AC
BAD CAF AD AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∴CD-BC=CF，
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，∴∠ACB=∠ABC=45°．∴AB=AC．
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°．
∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，∴∠BAD=∠CAF．
∵在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，
∴△BAD≌△CAF（SAS）．∴∠ACF=∠ABD．
∵∠ABC=45°，∴∠ABD=135°．∴∠ACF=∠ABD=135°．∴∠FCD=90°．∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为AE、DF相交于点O，
∴，O为DF中点．
∴OC=1
2
DF=1．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，河坝横断面的迎水坡AB 的坡比为3：4，BC ＝6m ，则坡面AB 的长为（ ）
A ．6m
B ．8m
C ．10m
D ．12m
【答案】C 【分析】迎水坡AB 的坡比为3：4得出3tan 4BAC ∠=，再根据BC ＝6m 得出AC 的值，再根据勾股定理求解即可.
【详解】由题意得3tan 4BAC ∠=
∴468tan 3BC AC m BAC =
=⨯=∠ ∴22228610AB AC BC m =
+=+=
故选：C.
【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，把坡比转化为三角函数值是关键.
2．已知，在Rt ABC 中，39095C AC cosA ∠=︒==
,,，则BC 边的长度为（ ） A ．8
B ．12
C ．14
D ．15 【答案】B
【分析】如图，根据余弦的定义可求出AB 的长，根据勾股定理即可求出BC 的长．
【详解】如图，∵∠C=90°，AC=9，cosA=
35， ∴cosA=AC AB =35，即935
AB =， ∴AB=15，
∴BC=22AB AC -=22159-=12，
【点睛】
本题考查三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比值；余弦是角的邻边与斜边的比值；正切是角的对边与邻边的比值；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．
3．五张完全相同的卡片上，分别写有数字1，2，3，4，5，现从中随机抽取一张，抽到的卡片上所写数字小于3的概率是（）
A．1
5
B．
2
5
C．
3
5
D．
4
5
【答案】B
【分析】用小于3的卡片数除以卡片的总数量可得答案．
【详解】由题意可知一共有5种结果，其中数字小于3的结果有抽到1和2两种，所以
2
5
P ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
4．根据表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值（其中m＞0＞n），下列结论正确的（）x …0 1 2 4 …
y …m k m n …
A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．4a﹣2b+c＜0 D．a+b+c＜0
【答案】C
【分析】用二次函数的图象与性质进行解答即可.
【详解】解：如图：
由抛物线的对称性可知：（0，m）与（2，m）是对称点，
故对称轴为x＝1，
∴（﹣2，n）与（4，n）是对称点，
∴4a﹣2b+c＝n＜0，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数图像的性质，熟练运用二次函数的图像与性质是解答本题的关键.
5．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点O为BC的中点，以O为圆心作⊙O交BC于点M、N，⊙O 与AB、AC相切，切点分别为D、E，则⊙O的半径和∠MND的度数分别为（）
A ．2，22.5°
B ．3，30°
C ．3，22.5°
D ．2，30°
【答案】A 【解析】解：连接OA ，
∵AB 与⊙O 相切，
∴OD ⊥AB ，
∵在等腰直角三角形ABC 中，AB=AC=4，O 为BC 的中点，
∴AO ⊥BC ，
∴OD ∥AC ，
∵O 为BC 的中点，
∴OD=AC=2；
∵∠DOB=45°，
∴∠MND=∠DOB=1．5°，
故选A ．
【点睛】
本题考查切线的性质；等腰直角三角形．
6．若点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 在反比例函数()0k y k x =
<的图象上，且1230y y y >>>，则下列各式正确的是（ ）
A ．123x x x <<
B ．213x x x <<
C ．132x x x <<
D ．321x x x << 【答案】C
【分析】先判断反比例函数所在象限，再根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：反比例函数为()0k y k x =<，∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，
又1230y y y >>>，10x ∴<，230x x >>，132x x x ∴<<．
故选C ．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象和性质，属于基本题型，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键． 7．如图，是二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）图象的一部分，与x 轴的交点A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x ＝1对于下列说法：①abc ＜0；②2a+b ＝0；③3a+c ＞0； ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0；⑤a+b ＞m （am+b ）（m≠1），其中正确有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与1的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据对称轴判定b 与1的关系以及2a+b ＝1；当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b+c ；然后由图象确定当x 取何值时，y ＞1．
【详解】解：①∵对称轴在y 轴右侧，且抛物线与y 轴交点在y 轴正半轴，
∴a 、b 异号，c ＞1，
∴abc ＜1，故①正确；
②∵对称轴x ＝﹣2b a
＝1， ∴2a+b ＝1；故②正确；
③∵2a+b ＝1，
∴b ＝﹣2a ，
∵当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b+c ＜1，
∴a ﹣（﹣2a ）+c ＝3a+c ＜1，故③错误；
④如图，当﹣1＜x ＜3时，y 不只是大于1．
故④错误．
⑤根据图示知，当m ＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am 2+bm+c ＜a+b+c ，
所以a+b ＞m （am+b ）（m≠1）．
故⑤正确．
故选：C ．
【点睛】
考核知识点:二次函数性质.理解二次函数的基本性质是关键.
8．若点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2），C （4，y 3）都在二次函数()21y x k =-++的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A ．123y y y >>
B ．321y y y >>
C ．312y y y >>
D ．213y y y >> 【答案】D
【分析】先利用顶点式得到抛物线对称轴为直线x=-1，再比较点A 、B 、C 到直线x=-1的距离，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．
【详解】解：二次函数()21y x k =-++的图象的对称轴为直线x=-1，
a=-1<0，所以该函数开口向下，且到对称轴距离越远的点对应的函数值越小，
A （﹣2，y 1）距离直线x=-1的距离为1，
B （﹣1，y 2）距离直线x=-1的距离为0，
C （4，y 3）距离距离直线x=-1的距离为5.
B 点距离对称轴最近，
C 点距离对称轴最远，
所以213y y y >>，
故选：D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．
9．已知⊙O 的半径为5cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法确定 【答案】B
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，即可判断直线和圆相切．
【详解】∵圆心到直线的距离5cm=5cm ，
∴直线和圆相切，
故选B ．
【点睛】
本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d ＜r ，则直线与圆相交；若d=r ，则直线于圆相切；若d ＞r ，则直线与圆相离．
10．在围棋盒中有x 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是25，如再往盒中放进3颗黑色棋子，取得白色棋子的概率变为
14，则原来盒里有白色棋子（ ） A ．1颗
B ．2颗
C ．3颗
D ．4颗
【答案】B
【解析】试题解析：由题意得2 5
1
34
x
x y
x
x y
⎧
⎪+
⎪
⎨
⎪
⎪++
⎩
＝
＝
，
解得：
2
3
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
．
故选B．
11．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为（）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【答案】D
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【详解】∵△ABC∽△EDF，
∴∠BAC＝∠DEF，
又∵∠DEF＝90°+45°＝135°，
∴∠BAC＝
135°，
故选：D．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角
12．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在CD的边上，且1
DE=，AFE
∆与ADE
∆关于AE所在的直线对称，将ADE
∆按顺时针方向绕点A旋转90︒得到ABG
∆，连接FG，则线段FG的长为（）
A．4 B．42C．5 D．6
【答案】C
【分析】如图，连接BE，根据轴对称的性质得到AF=AD，∠EAD=∠EAF，根据旋转的性质得到AG=AE，∠GAB=∠EAD．求得∠GAB=∠EAF，根据全等三角形的性质得到FG=BE，根据正方形的性质得到
BC=CD=AB=1．根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接BE，
∵△AFE 与△ADE 关于AE 所在的直线对称，
∴AF=AD ，∠EAD=∠EAF ，
∵△ADE 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABG ，
∴AG=AE ，∠GAB=∠EAD ．
∴∠GAB=∠EAF ，
∴∠GAB+∠BAF=∠BAF+∠EAF ．
∴∠GAF=∠EAB ．
∴△GAF ≌△EAB （SAS ）．
∴FG=BE ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴BC=CD=AB=1．
∵DE=1，
∴CE=2．
∴在Rt △BCE 中，22345+=，
∴FG=5，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表： x 1- 0
1 3 y 1- 3 5 3 现给出如下四个结论：①0ac <；② 当2x >时，y 的值随x 值的增大而减小；③1-是方程
2(1)0ax b x c +-+=的一个根；④当13x 时，2(1)0ax b x c +-+>，其中正确结论的序号为：____．。