高考总复习·数学(文科)学案 第二章 函数、导数及其应用 第二节 函数的单调性与最值

解：f(x)在(0， a ]上是减函数，在[ a，＋∞)上是增函数． 法一 设 x1，x2 是任意两个正数，且 0＜x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2 ＝xx1－1x2x2(x1x2－a)．
当 0＜x1＜x2＜ a时，0＜x1x2＜a，又 x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数． 当 a≤x1＜x2 时，x1x2＞a，又 x1－x2＜0， 所以 f(x1)－f(x2)＜0，即 f(x1)＜f(x2)， 所以函数 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数． 综上可知，函数 f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0， a]上是减函数，在[ a， ＋∞)上为增函数．
f(x)在[0，＋∞)上单调递减”且
f(21)＝0，则不等式
f(log1x)＞0 9
的解
集是________．
解析：∵f(21)＝0，f(log19x)＞0，f(log19x) ∴f(log19x)>f(12)． 又∵y＝f(x)是偶函数，且 y＝f(x)在[0，＋∞)上递减 ∴f(|log19x|)＞f(12)，则|log19x|＜21. ∴－21＜log19x＜12， 解得31＜x＜3.
g(x)＝－ x为减函数，不合题意．
若 0＜a＜1，则 y＝ax 为减函数，
则 a－1＝4，a2＝m，所以 a＝14，m＝116.
此时 g(x)＝34 x在[0，＋∞)上是增函数．故 a＝14.
(2)易知 f(x)在[a，b]上为减函数，
f（a）＝1 ∴f（b）＝13，即
a－11 1＝＝11，，所以ab＝＝24，，∴a＋b＝6.
1．求函数最值的常用方法：①单调性法；②基本不等式法；③ 配方法；④图象法；⑤导数法．
2．利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质 求解．若函数 f(x)在闭间区[a，b]上是增函数，则 f(x)在[a，b]上的最 大值为 f(b)，最小值为 f(a)．若函数 f(x)在闭区间[a，b]上是减函数， 则 f(x)在[a，b]上的最大值为 f(a)，最小值为 f(b)．
第二节 函数的单调性与最值
确定函数的单调性(区间)
(1)函数 f(x)＝log1(x2－4)的单调递增区间为( ) 2
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)
(2)试讨论函数 f(x)＝x2a－x 1，x∈(－1，1)的单调性(其中 a≠0)．
解析：(1)由 x2－4＞0，得 x＞2 或 x＜－2. ∴f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 令 t＝x2－4，则 y＝log1t，(t＞0)．
大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增 函数，则 a( )
A．4
B．2
1
1
C.2
D.4
(2)函数 f(x)＝x－1 1在区间[a，b]上的最大值是 1，最小值是31，
则 a＋b＝________．
解析：(1)若 a＞1，有 a2＝4，a－1＝m，此时 a＝2，m＝12，此时
∴（2a－ ＞2－a1＞ ，a）0，×1＋1≤a，解得23≤a＜2.
故实数 a 的取值范围是[32，2)． 答案：[23，2)
1．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调 性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解，此时应特别注意 函数的定义域．
2．利用单调性求参数的取值(范围)的思路是： 根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得 到其图象的升降，再结合图象求解．
2 ∵t＝x2－4 在(－∞，2)上是减函数，且 y＝log1t 在(0，＋∞)上
2 是减函数，∴函数 f(x)在(－∞，－2)上是增函数，即 f(x)的增区间为 (－∞，－2)．
答案：D
(2)解：法一 设－1＜x1＜x2＜1， 则 f(x1)－f(x2)＝xa21－x11－xa22－x21＝a（（xx2－ 21－x11））（（xx122x－2＋1）1）， ∵－1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x21－1＜0，x22－1＜0.－1＜x1x2 ＜1，∴x1x2＋1＞0. ∴（（x2x－21－x11））（（xx222x－1＋1）1）＞0， 因此，当 a＞0 时，f(x1)－f(x2)＞0， ∴f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1，1)上为减函数； 当 a＜0 时，f(x1)－f(x2)＜0，
(经典母题)(2017·珠海模拟)定义在 R 上的奇函数 y＝f(x)在(0，＋
∞)上递增，且
f12＝0，求不等式
f(log1x)＞0 9
的解集．
解：∵y＝f(x)定义在 R 上的奇函数， 且 y＝f(x)在(0，＋∞)上递增． ∴y＝f(x)在(－∞，0)上也是增函数 又 f(21)＝0，知 f(－21)＝－f(21)＝0.
2．函数单调性的判断方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已 知函数的单调性；(4)导数法．
3．函数 y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数 y＝f(t)和内层函数 t ＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
【变式训练】 判断函数 f(x)＝x＋xa(a＞0)在(0，＋∞)上的单调 性，并给出证明．
法二 f′(x)＝1－xa2，令 f′(x)＞0，则 1－xa2＞0， 解得 x＞ a或 x＜－ a(舍)． 令 f′(x)＜0，则 1－xa2＜0， 解得－ a＜x＜ a. ∵x＞0，∴0＜x＜ a. ∴f(x)在(0， a)上为减函数；在( a，＋∞)上为增函数．
确定函数的最值
(1)(2017·郑州质检)若函数 f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1，2]上的最
变式训练 如果函数 y＝f(x)若为：f(x)＝
（ ax，2－x≥a）1，x＋1，x＜1，满足对任意 x1≠x2，
都
有
f（x1）－f（x2） x1－x2
＞
0
成立，那么
a
的取值范围是
____________．
解析：对任意 x1≠x2，都有f（x1）x1－ －fx（2 x2）＞0. 所以 y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
【变式训练】 如果函数 f(x)对任意的实1时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数 f(x)在[－2，0]上的最 大值与最小值之和为( )
A．2 B．3
C．4 D．－1
解析：根据 f(1＋x)＝f(－x)，可知函数 f(x)的图象关于直线 x＝12 对称．
谢谢
故原不等式 f(log1x)＞0 化为 9
f(log19x)＞f(21)或 f(log19x)＞f(－12) ∴log91x＞12或－12＜log91x＜0 解得 0＜x＜13或 1＜x＜3 所以原不等式的解集为{x|0＜x＜31或 1＜x＜3}．
【探究迁移 1】 本例条件若改为：“定义在 R 上的偶函数 y＝
法二 f′(x)＝a（（x2－x2－1）1）－22ax2＝－（a（x2－x2＋1）1）2 . 当 a＞0 时，f′(x)＜0，当 a＜0 时，f′(x)＞0. ∴当 a＞0 时，f(x)在(－1，1)上为减函数． 当 a＜0 时，f(x)在(－1，1)上为增函数．
1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单域区间， 如例 1(1)．
又函数 f(x)在[12，＋∞)上单调递增， 故函数 f(x)在(－∞，12]上单调递减， 所以 f(x)在[－2，0]上是减函数 则函数 f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为 f(－2)＋f(0)＝f(1＋2)＋f(1＋0)＝f(3)＋f(1) ＝log28＋log22＝4.
函数单调性的应用(一题多变)