高三数学备考冲刺140分问题24含参数的不等式的恒成立恰成立能成立问题含解析

问题24 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题
一、考情分析
纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．
二、经验分享
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．
三、知识拓展
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)<B在区间D上恒成立⇔f(x)max<B(x∈D)．
(2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立⇔f(x)min<B(x∈D)．(3)恰成立问题：不等式f(x)>A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；
不等式f(x)<B恰在区间D上成立⇔f(x)<B的解集为D.
(4)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
四、题型分析
一、不等式恒成立问题
新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体,渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程
等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题,其形式逐渐多样化,但都与函数、导数知识密不可分． 【小试牛刀】【云南大理州2017届第一次统测】设函数．
（1）求()G x 的最小值；
（2）记()G x 的最小值为e ,已知函数,若对于任意的()0,x ∈+∞,
恒有()0f x ≥成立,求实数a 的取值范围. 【答案】（1）ln 2-；（2）1
1
a e ≥-. 【解析】（1）由已知得．
令()0G x '<,得102x <<
；令()0G x '>,得1
12x <<, 所以()G x 的单调减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
,单调增区间为1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
． 从而．
(三)主参换位——反客为主法
某些含参不等式恒成立问题,在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度“反客为主”,即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下,变个视角重新审查恒成立问题,往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化,起到“山穷水尽疑无路,
柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果． 【例5】已知当11a -≤≤时,
恒成立,则实数x 的取值范围是____________. 【分析】把不等式左边看作关于a 的函数 【解析】设
,则()0f a >对[1,1]a ∀∈-成立等价于(1)0
(1)0f f ->⎧⎨
>⎩
,即
,解之得1x <或3x >,即实数x 的取值范围是
.
【小试牛刀】已知函数,
,且对任意的实数 t
均有
,
．
(Ⅰ) 求函数()f x 的解析式； (Ⅱ)若对任意的[26,6]m ∈-,恒有
,求x 的取值范围．
(四)数形结合——直观求解法 若所给不等式进行合理的变形化为
（或
）后,能非常容易地画出不等号两边函数
的图像,则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷． 【例6】若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） (A) 1a <- (B) ||1a ≤ (C) ||1a < （D ）1a ≥
【解析】对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立,则由一次函数性质及图像知11a -≤≤,即||1a ≤．
【小试牛刀】若不等式
在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
内恒成立,求实数a 的取值范围．
综上得：1
127
a >≥
． 【小试牛刀】已知函数
存在单调递减区间,求a 的取值范围
3 不等式恰好成立问题的处理方法 【例9】已知
当
的值域是[)0,+∞,试求实数a 的值．
【解析】是一个恰成立问题,这相当于
的解集是[)1,x ∈+∞．
当0a ≥时,由于1x ≥时,
,,与其值域是[)0,+∞矛盾,
当0a <时,
是[)1,+∞上的增函数,∴, ()f x 的最小值为, ()1f ,令
【例10】已知=
)(x f x x +2
2
1,=)(x g a x -+)1ln(, ⑴若存在]2,0[∈x ,使得,求实数a 的取值范围； ⑵若存在]2,0[∈x ,使得,求实数a 的取值范围； ⑶若对任意]2,0[∈x ,恒有,求实数a 的取值范围；
⑷若对任意
,恒有
,求实数a 的取值范围；
⑸若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得,求实数a 的取值范围； ⑹若对任意]2,0[2∈x ,存在]2,0[1∈x ,使得,求实数a 的取值范围；
⑺若存在,使得,求实数a 的取值范围； ⑻若存在
,使得
,求实数a 的取值范围.
⑵解析：据题意：若存在]2,0[∈x ,使得,即)(x h a >有解,故h max (x)>a ,由⑴知h max （x ）
=3ln 4-,于是得a <3ln 4-.
点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等
式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.
⑶解析：对任意]2,0[∈x ,恒有
,即]2,0[∈x 时)(x h a >恒成立,即min )(x h a >,由⑵可知
a <0.
点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：
①若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤；不等式)(x f a >有解⇔a n ≤； ②若)(x f 值域为],[n m ,则不等式)(x f a >恒成立⇔a m <；若)(x f 值域为],(n m 则不等式)(x f a >恒成立⇔a m ≤.
⑷解析：由题中条件可得）（x f 的值域，，
]40[=A )(x g 的值域,若对任意,
恒有
,即
,即a ->3ln 0,所以3ln >a .
点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同,21,x x 的取值在[0,2]上具有任意性.⑸解析：对任意]2,0[2∈x ,若存在]2,0[1∈x ,使得
,即
,由⑷可知即a ->3ln 4,所以
.
点评：设)(x g 的最大值为M ,对任意]2,0[2∈x ,的条件M x f >)(1,于是问题转化为存在
]2,0[1∈x ,使得M x f >)(1,因此只需)(x f 的最小值大于M 即
.
点评：因为对)(x f 值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意]2,0[2∈x ,若存在
]2,0[1∈x ,使得
的充要条件是)(2x g 在)(x f 的值域内,因此,)(x g 的值域是)(x f 的值域的
子集. ⑺解析：若存在,使得,则
,即4>a -,
所以4->a .
点评：请将 ⑷、⑸、⑺仔细对比,体味任意与存在的区别.
⑻解析：若存在21,x x 使得,则A
B ≠∅,∴33≤+a ,∴实数a 的取值围是].0,(-∞
五、迁移运用
1．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】若关于x 的不等式在上恒
成立，则实数a 的取值范围是 A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
2．【山西省太原市2019届高三上学期期末】已知实数x ,y 满足，若不等式ax y 0恒成立，则
实数a 的取值范围为( )
A ．（－∞，）
B ．（4，＋∞）
C ．（，4）
D ．（，4） 【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示： 若ax ﹣y ＞0恒成立即y ＜ax 恒成立， 根据二次函数的性质可知，
解得
，故选B 。

7．【湖南省邵阳市2018届高三上学期期末】若关于的不等式的解集包含区间，则的取
值范围为（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】原不等式等价于
,由于函数
在区间
上为增函数,当
,故
.
故选D.
8．【安徽省芜湖市2018届高三上学期期末】已知直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若（为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
9．【湖北省武汉市2018届高中毕业生二月调研】已知实数，满足约束条件，若不等式
恒成立，则实数的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
整理函数的解析式有：
14．【江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考】已知关于实数的不等式组构成的平面区域为，若，使得恒成立，则实数的最小值是____．
【答案】
【解析】作出约束条件所表示的可行域如下：
15．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末】已知不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围___
【答案】
【解析】由，得：，
记.
则或；或；
或；或；
当时，或.
所求范围为.
16.已知函数.
（Ⅰ）若对定义域内任意x ,()0f x >成立,求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若120x x <<,求证：对,不等式恒成立.
【答案】（Ⅰ）1
a e
>
（Ⅱ）详见解析 【解析】（Ⅰ）解：的导数为
,
令()0f x =′得1
x e
=
,
所以,
,无最小值.
（3）又（2）知,当2,0a x =>时,
,即.
在()*式中,令
,得,即,
依次令,得
.
将这n 个式子左右两边分别相加,得
. 19.已知函数x x f ln )(=,
． （Ⅰ）若2=b ,且存在单调递减区间,求a 的取值范围；
（Ⅱ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 图象2C 交于点Q P ,,过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交21,C C 于点N M ,,证明1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.
【答案】（I ）（－1,0）∪（0,+∞）（II ）详见解析
方法二 分离参数, ,a 的取值范围为（－1,0）∪（0,+∞）. （II ） 设点P 、Q 的坐标分别是（x1, y1）,（x2, y2）,0<x1<x2.
则点M 、N 的横坐标为C1在点M 处的切线斜率为
C2在点N 处的切线斜率为
假设C1在点M 处的切线与C2在点N 处的切线平行,则k1=k2.
即,则
=所以设,12x x t =则①
令则
因为1>t 时,0)(>'t r ,所以)(t r 在+∞,1[）上单调递增. 故
则. 这与①矛盾,假设不成立.故C1在点M 处的切线与C2在点N 处的切线不平行.。