(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》测试题(答案解析)

一、选择题
1．已知tan α，tan β是方程2
5
06
x x a -
+=的两个实数根，且()tan 1αβ+=，则实数a =（ ）
A ．
16
B ．
116
C ．512
D ．
712
2．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αα
αα
+=-（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
3．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么sin 2θ的值为（ ）
A ．
12
B 3
C ．
1225
D ．
2425
4．化简2
2
2
2
1
sin sin cos cos cos 2cos 22
αβαβαβ+-=( ) A ．
12
B 21
C ．
14
D ．221
5．在ΔABC 中,2sin (22
c a B
a b c c -=、、分别为角A B C 、、的对边),则ΔABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形
6．函数
12
log (sin cos )y x x =的单调增区间是（ ）
A ．(,)()44
k k k Z π
π
ππ-
+∈
B ．3(,)()4
4
k k k Z π
π
ππ++
∈ C ．(,)()4
k k k Z π
ππ+
∈
D ．(,)()42
k k k Z π
π
ππ+
+∈ 7．角α的终边与单位圆的交点坐标为31
)2
，将α的终边绕原点顺时针旋转34π，得到
角β，则cos()αβ+=（ ）
A B C D ．0
8．设a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫
-
=+ ⎪⎝
⎭
，定义在区间[]
0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象交点的横坐标是d ，则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为（ ） A ．7
B ．11
C ．14
D ．28
9．在ABC ∆中，已知其面积为22()S a b c =--，则tan A =（ ） A ．
34
B ．
817
C ．
815
D ．
1719 10．求sin10°sin50°sin70°的值（ ）
A ．
12
B C ．
18
D
11．在斜三角形ABC 中，sin A cos B·cos C ，且tan B·tan C ＝1，则角A 的值为( ) A ．4
π
B ．3
π C ．
2π D ．
34
π 12．设函数()f x =sin()cos()x x ωϕωϕ+++（ω＞0，||ϕ＜
2
π
）的最小正周期为π，且()f x -=()f x ，则()f x （ ）
A ．在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减
B ．在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减
C ．在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
D ．在3,44
ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 二、填空题
13．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，3tan 24α=．则2sin 2cos αα+=______．
14．已知sin 3
α=，()1cos 3αβ+=-，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin β=_____.
15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.
若3
sin 4
α=
，则()cos αβ-=______.
16．若函数2sin cos 66y x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
图象各点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移
24
π
个单位，得到的函数图象离原点最近的的对称中心是______．
17．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
，则cos2=α______. 18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22
2
A B
sin +=1﹣cos 2C ，cos （B +C ）＞0，则
a
b
的取值范围为_____. 19
________.
20．已知角θ的终边经过点(4,3)P -
，则
2
2cos sin 1
2
)
4
--=+θ
θπ
θ_____________．
三、解答题
21．已知函数(
)2
22cos f x x x m =++在区间0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值为6. （1）求常数m 的值以及函数()f x 当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时的最小值 （2）将函数()f x 的图象向下平移4个单位，再向右平移4
π
个单位，得到函数()g x 的图象 （i ）求函数()g x 的解析式；
（ii ）若关于x 的方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，有两个不同实数解，求实数t 的取值范围.
22．
设函数23()cos 3sin 2
f x x x x =
+-
. （1）求函数的单调递减区间；
（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的
图象向左平移
4
π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ
-上的值域. 23．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，ππ
22
ϕ-<<）的部分图像如图
所示，π12，7π
12
是函数的两个相邻的零点，且图像过()0,1-点．
（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()()π4g x f x f x ⎛⎫
=⋅-
⎪⎝
⎭
的单调增区间以及对称轴方程． 24．已知函数()2
2sin cos 2cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移
4
π
个单位后，得到函数()y g x =的图象，求方程()1g x =在[]0,x π∈上的解集.
25．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ，若点P 的坐标为04
(,)5
y -
.
（1）求tan sin 2θθ-的值；
（2）若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40︒，得到角α，设tan m α
=，求
()tan 85θ+︒的值.
26．已知函数2()
2sin sin 26
f x x x
.
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）若,212x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦，求()f x 的值域.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
首先利用韦达定理求得5
tan tan 6
αβ+=，tan tan a αβ⋅=，再结合()tan 1αβ+=，利用两角和正切公式得到关于a 的等量关系式，求得结果. 【详解】
因为tan α，tan β是方程2
5
06
x x a -+=的两个实数根， 所以有5
tan tan 6
αβ+=
，tan tan a αβ⋅=， 因为()tan 1αβ+=，所以有5
611a
=-，所以1
6a =，
故选：A. 【点睛】
思路点睛：该题考查的是有关两角和正切公式，解题思路如下： （1）先利用韦达定理，写出两根和与两根积；
（2）利用两角和正切公式，结合题中条件，得到等量关系式，求得结果.
2．A
解析：A 【分析】
已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】
原式分子分母同除以cos α得 原=
tan 121
12tan 141
αα++==--
故选：A. 【点睛】
已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：
一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解；
二是利用sin tan cos α
αα
=
得sin tan cos ααα=代入消元即可. 3．D
解析：D 【分析】
由图形可知三角形的直角边长度差为1，设直角边分别为a ，根据大正方形的边长是直角三角形的斜边长列方程组求出直角边，然后得出sin θ，代入二倍角公式即可得出答案． 【详解】
由题意可知小正方形的边长为1，直角边长度差为1，大正方形的面积为25， 边长为5，大正方形的边长是直角三角形的斜边长， 设直角三角形的直角边分别为a ，b 且a b <，则1b a =+，
所以()2
222125a b a a +=++=，得2120a a +-=，所以3a =或4a =-舍去， 所以4b =，∴3sin 5θ=，4
cos 5θ=，24sin 22sin cos 25
θθθ==． 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查了三角函数值、二倍角公式的计算，解答本题的关键是根据直角三角形的斜边长等于大正方形的边长求出直角三角形的一个直角边，考查了学生的运算求解能力.
4．A
解析：A 【分析】
由原式利用二倍角公式，和同角三角函数基本关系进行化简，即可得到结果. 【详解】
()()
2222cos 2cos 2cos sin cos sin αβααββ
=--22222222cos cos cos sin sin cos sin sin αβαβαβαβ=--+，
所以2
2
2
2
1
sin sin cos cos cos 2cos 22
αβαβαβ+-
()
2222222222221
sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin 2
αβαβαβαβαβαβ=+---+()
222222221
sin sin cos cos +cos sin +sin cos 2
αβαβαβαβ=+ ()(
)(
)2222221
sin sin +cos cos cos +sin 2
αββαββ=+
()
2211sin cos 22αα=
+=. 故选：A 【点睛】
本题主要考查三角函数的化简求值，涉及到同角三角函数基本关系和三角恒等变换，属于中档题.
5．A
解析：A 【解析】
依题意，利用正弦定理及二倍角公式得
sin sin 1cos 2sin 2
C A B
C --=，即sin sin cos A C B =，又
()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，故sin cos 0B C =，三角形中sin 0B ≠，故
π
cos 0,2
C C ==
，故三角形为直角三角形，故选A. 6．D
解析：D 【分析】
先利用二倍角公式化简整理，再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可. 【详解】
由112
2
1log (sin cos )log (sin 2)2
y x x x ==，
得
1sin 2022222
x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+， 故函数的定义域为(,)()2
k k k z π
ππ+∈，
又求函数
12
log (sin cos )y x x =的单调增区间，
利用复合函数单调性的性质， 可得2222
4
2
k x k k x k π
π
π
πππππ+<<+⇒+
<<+
.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用，对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.
7．A
解析：A 【分析】
先求α的正余弦三角函数，再求β的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】
由角α
的终边经过点1)22
，得1sin ,cos 22
αα==
，
因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34
π
得到的，
所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=
3331cos cos()cos cos sin sin ()444222πππβααα=-
=+=+=
1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=
=
， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题.
8．D
解析：D 【分析】 根据()2sin 3sin 3x a bx c π⎛
⎫
-
=+ ⎪⎝
⎭
结合a 、b R ∈，[)0,2c π∈可得出a 、b 、c 的取值组合，求得方程sin 2cos x x =在区间[]
0,3π的解，可得出d 的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数. 【详解】
已知a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫
-
=+ ⎪⎝
⎭
， ①当2a =时，则353b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或343b c π=-⎧⎪
⎨=⎪⎩；
②当2a =-时，则323b c π=⎧⎪
⎨=⎪⎩
或3
3b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩.
解方程sin 2cos x x =，即2sin cos cos x x x =，可得()2sin 1cos 0x x -=，即1
sin 2
x =或cos 0x =.
当[]0,3x π∈时，解方程1sin 2x =
，可得6x π=、56π、136π、176
π；
解方程cos 0x =，可得2x π=、32π
、
52
π. 所以，d 的取值集合为5313517,,,,,,6262626πππππππ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
. 因此，符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为4728⨯=. 故选：D.
【点睛】
本题考查乘法计数原理的应用，同时也考查了三角方程与三角函数解析式中参数的求解，考查计算能力，属于中等题.
9．C
解析：C 【分析】
由题结合余弦定理可得
1
si s 2n 2
2co bc A c A bc b +=，整理化简有22sin
cos 42sin 222A A A =⨯，进而可计算出1
tan 24A =，再由正切的二倍角公式计算可得答案． 【详解】 由题意得222221
sin 2()2
S bc A a b c b c a bc =--+=+=
--， 又因为2222cos b c a bc A +-=，所以
1
si s 2n 2
2co bc A c A bc b +=， 整理得()41s c s i o n A A =-，所以22sin
cos 42sin 222
A A A =⨯ 即cos 4sin 22A A =，所以1tan 24A = ，则28tan 1512tan
2tan 2
A A
A ==- 故选C. 【点睛】
本题考查的知识点有三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，属于一般题．
10．C
解析：C 【分析】
由诱导公式可转化为cos20cos40cos80︒︒︒，利用二倍角公式正弦公式求解即可. 【详解】
sin10sin50sin70cos20cos40cos80︒︒︒=︒︒︒ 1
sin160sin 20cos 20cos 40cos8018sin 20sin 208
︒
∴︒︒︒︒==
︒︒ 即1
sin10sin 50sin 708
︒︒︒= 故选：C 【点睛】
本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式，考查了运算能力，属于中档题.
11．A
解析：A 【详解】
由tan tan 1B C =可得sin sin (1cos cos B C B C =，
进而得cos cos A C B =，由于sin cos A B C =， 所以sin cos A A =，可得4
A π
=
,故选A.
12．A
解析：A 【分析】
由题意结合三角恒等变换得()+4f x x πωϕ⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭，由三角函数的性质可得ω、
ϕ，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
由题意()sin()cos()+4f x x x x πωϕωϕωϕ⎛
⎫=+++=
+ ⎪⎝
⎭，
因为函数()f x 的最小正周期为π，且()f x -=()f x ， 所以
2π
πω
=，且+
4
π
ϕ=,2
k k Z π
π+
∈，解得ω=2，ϕ=,4
k k Z π
π+
∈，
又||ϕ<
2π
，所以ϕ=4
π，
所以()f x =2+2x π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
2x ， 当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()20,x π∈，故()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，故A 正确，C 错误； 当3,44x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭时，2,2
32x ππ
⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，故()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上不单调，故B 、D 错误. 故选：A. 【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质的综合应用，考查了三角恒等变换的应用，牢记三角函数图象的特征是解题关键，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】由正切的二倍角公式求得用正弦二倍角公式变形化用1的代换化求值式为关于析二次齐次分式再弦化切后求值【详解】因为所以或（舍）所以故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式考查同角间的三角函数解题关键是
解析：12
- 【分析】
由正切的二倍角公式求得tan α，用正弦二倍角公式变形化用“1”的代换化求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，再弦化切后求值．
【详解】 因为22tan 3tan 21tan 4ααα==-，所以tan 3α=-或13
（舍）， 所以222222sin cos cos 2tan 11sin 2cos sin cos tan 12
ααααααααα+++===-++． 故答案为：12
-
． 【点睛】
本题考查二倍角公式，考查同角间的三角函数．解题关键是由221sin cos αα=+化待求值式为关于sin ,cos αα析二次齐次分式，然后利用弦化切求值． 14．【分析】由已知分别求得再由展开两角差的正弦得答案【详解】解：∵∴∴∴又∴则故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的关系正弦的差角公式给值求值型的问题属于中档题
解析：9
【分析】
由已知分别求得cos α，()sin αβ+，再由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，展开两角差的正弦得答案.
【详解】
解：∵sin α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1cos 3α==， ∴,0,2παβ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0,αβπ+∈，又()1cos 3αβ+=-，
∴()sin αβ+==
. 则
()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦
1133339
⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭.
故答案为：
9.
【点睛】
本题考查同角三角函数间的关系，正弦的差角公式，给值求值型的问题，属于中档题. 15．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出
【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数 解析：
18
； 【分析】 根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出.
【详解】
因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 所以3cos cos ,sin sin 4
αβαβ=-==， 所以()22cos cos cos sin sin sin cos αβαβαβαα-=+=-
22sin 1α=-
92116
=⨯
- 18= 故答案为：
18
【点睛】 本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.
16．【分析】由二倍角公式化简函数式然后由三角函数图象变换得新解析式结合正弦函数性质得对称中心【详解】由题意经过图象变换后新函数解析式为由绝对值最小的是因此所求对称中心为故答案为：【点睛】本题考查三角函数 解析：(),024π
【分析】
由二倍角公式化简函数式，然后由三角函数图象变换得新解析式，结合正弦函数性质得对称中心．
【详解】 由题意sin(2)3y x π
=-，经过图象变换后新函数解析式为
sin[4()]sin(4)2436y x x π
ππ=+-=-，由46x k ππ-=，424k x ππ=+，k Z ∈，绝对值
最小的是24x π=，因此所求对称中心为(),024π． 故答案为：(
),024π．
【点睛】 本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数的性质，考查二倍角公式，掌握正弦函数性质是解题关键．
17．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：
【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其 解析：79
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值.
【详解】
由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
可得2119m +=，解得3
m =±，即cos 3α=±， 又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅
-=. 故答案为：
79
. 【点睛】 本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.
18．（2+∞）【分析】由已知结合二倍角公式及诱导公式可求然后结合正弦定理及同角基本关系可求【详解】∵21﹣cos2C ∴1﹣2cos2C ∴cos （A+B ）＝2cos2C ﹣1即﹣cosC ＝2cos2C ﹣1整
解析：（2，+∞）
【分析】
由已知结合二倍角公式及诱导公式可求C ，然后结合正弦定理及同角基本关系可求．
【详解】
∵222
A B sin +=1﹣cos 2C ， ∴1﹣222
A B sin
+=cos 2C ， ∴cos （A +B ）＝2cos 2C ﹣1，
即﹣cosC ＝2cos 2C ﹣1，
整理可得，（2cosC ﹣1）（cosC +1）＝0，
∵cosC ≠﹣1，
∴cosC 12
=， 0C π<<
∴C 13
π=， ∵cos （B +C ）＞0， ∴11032B ππ+＜＜， ∴06B π
＜＜， 由正弦定理可得13sin B a sinA b sinB sinB
π+==（），
=，
12=+， ∵06B π
＜＜，
∴0tanB ＜
∴
1tanB
122， 故a b
的范围（2，+∞）. 故答案为：(2,)+∞
【点睛】
本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于中档题． 19．【分析】利用同角三角函数的基本关系式二倍角公式结合根式运算化简求得表达式的值【详解】依题意由于所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式二倍角公式考查根式运算属于基础题
解析：4
【分析】
利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值.
【详解】
=
4
==，由于
3
4
2
π
π<<
=
故答案为：4
【点睛】
本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题. 20．7【分析】根据角终边定义得将所求分式用倍角公式和差公式化简化为齐次式代化简即可【详解】解：由角的终边经过点得所以故答案为：7【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点则；（2）角终边任意一点则；
解析：7
【分析】
根据角终边定义得
3
tan
4
θ=-，将所求分式用倍角公式、和差公式化简，化为齐次式，代
3
tan
4
θ=-化简即可.
【详解】
解：由角θ的终边经过点(4,3)
P-得
3
tan
4
θ=-
所以
22
2cos sin1(2cos1)sin cos sin
22
sin cos
)cos cos sin)
444
-----
==
+
++
θθ
θθθθ
πππθθ
θθθ
3
1
cos sin1tan4
7
3
sin cos tan11
4
θθθ
θθθ
⎛⎫
-- ⎪
--⎝⎭
====
++-+
.
故答案为：7
【点睛】
任意角的三角函数值：
（1）角α与单位圆交点(,)
P x y，则sin,cos,tan(0)
y
y x x
x
ααα
===≠；
（2）角α终边任意一点(,)
P x
y
，则
sin tan(0)
y
x
x
ααα
===≠；
三、解答题
21．（1）3, 3（2）（i）()2sin(2)
3
g x x
π
=-
（ii）4
t≤<
【分析】
（1）化简函数解析式，根据自变量范围求函数最值即可；
（2）先由平移变换得到函数()g x 解析式，再由数形结合求t 的取值范围.
【详解】
（1）
2()3sin 22cos 3sin 2cos 212sin(2)16f x x x m x x m x m π=++=+++=+++， 又72666
x π
π
π≤+≤ 6
x π
∴=时，max ()216f x m =++=，
解得3m =， 当x π=时，min 1()2()3132f x =⨯-++=.
（2）（i ）()f x 的图象向下平移4个单位，再向右平移4
π个单位得函数 ()2sin[2()]442sin(2)463
g x x x πππ=-++-=-， （ii ）由2()0g x t -=可得()2
t g x =， 在同一直角坐标系内作出(),2t y g x y ==
的图象，
322
t ≤<时，即234t ≤<时，图象有2个交点， 即2()0g x t -=有2个根.
【点睛】
关键点点睛：求方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时有2个根，可转化为(),2t y g x y ==有2个不同的交点，数形结合求解即可，属于中档题.
22．（1）511[,] ()1212k k k Z ππππ+
+∈；（2）3[2
-. 【分析】 （1）由二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的单调区间求解．
（2）由图象变换得出()g x ，由整体法可求值域．
【详解】
解：（1）()23()22sin 122f x x x =+-=32cos222
x x -
23x π⎫⎛=- ⎪⎝
⎭ 因为：3222232
k x k ππ
πππ+≤-≤+5111212k x k ππππ⇔+≤≤+. 所以函数的单调递减区间是511[,] ()1212
k k k Z ππππ++∈
（2）由题可知， ()))4312
g x x x πππ=+-=-. 因为1344x ππ-≤≤⇔123123x πππ-≤-≤，
所以sin()1212
x π-≤-≤.
故()g x 在3[,]44ππ-上的值域为3[2
-. 【点睛】 方法点睛：本题考查两角差的正弦公式，二倍角公式，考查正弦函数的性质．此类问题的解题方法是：利用二倍角公式降幂，利用诱导公式、两角和与差的正弦（余弦）公式展开与合并，最终把函数化为()sin()f x A x m ωϕ=++形式，然后结合正弦函数性质求解． 如果求函数值域，则可由x 的范围求出x ωϕ+的范围，然后由正弦函数性质得值域． 23．（1）()π2sin 26f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5ππ11ππ,24224
2k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称轴方程为5π244
k x π=
+，k Z ∈． 【分析】 （1）先利用图象解得周期和ω，再结合π3f A ⎛⎫=
⎪⎝⎭
, ()01f =-，解得ϕ和A ，即得解析式；
（2）先根据解析式化简()g x ，再利用整体代入法求解单调区间和对称轴方程即可.
【详解】
解：（1）由图可知7212122
T πππ=-=，周期T π=，故22T πω==， 由π12，7π12是函数的两个相邻的零点，则17π2123π12π⎛⎫= ⎪⎭+⎝处取得最大值， 故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2π2,32k k Z πϕπ+=+∈， 又ππ22ϕ-<<，故π6
ϕ=-， 由()0sin sin 16f A A πϕ⎛⎫==-
=- ⎪⎝⎭，得2A =， 所以()π2sin 26f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
； （2）()πππππ2sin 22sin 24sin 2cos 262666g x x x x x ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ π4sin 43x ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭， 当ππ32π4π2π232k x k +≤-≤+，k Z ∈时，5ππ11ππ242242
k k x +≤≤+，()g x 单调递增， 所以()g x 的单调增区间为5ππ11ππ,242242k k ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦，k Z ∈， 令ππ4π32x k -=+，对称轴方程为5π244
k x π=+，k Z ∈． 【点睛】
思路点睛：
解决三角函数()sin y A ωx φ=+的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.
24．（1）()3,88k k k ππππ⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）5,88ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
. 【分析】
（1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简，根据正弦函数的单调性即可得函数()f x 的单调递增区间；
（2）根据平移规律得到函数()g x 的解析式，令()1g x =，根据正弦函数的图象与性质即可求出x 的值．
【详解】
（1）
()1cos 2sin 222x x f x +⨯=+221214x x x ⎫π⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭
， 由()222242k x k k π
π
πππ-≤+≤+
∈Z 得：3)88k x k k Z ππππ-≤≤+∈（， ∴()f x 的单调递增区间是()3,88k k k ππππ⎡
⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦Z .
（2）由已知得()214g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭， 由()1g x =，得sin 204x π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭， ∴()()2428k x k k x k π
πππ∈-==
+∈Z Z ，， ∵[]0,x π∈，∴8x π
=或58π， ∴方程的解集为5,88ππ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
. 【点睛】 本题考查了二倍角的正弦、两角和的正弦公式，正弦函数的单调性，函数平移的规律，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握公式及性质是解本题的关键，属于中档题. 25．（1）
21100；（2）11m m +-. 【分析】
（1）由三角函数定义求得cos θ，再由同角间三角函数关系求得sin θ，tan θ，用二倍角公式得sin 2θ后可得结论；
（2）由角的关系得8545θα+︒=+︒，利用两角和的正切公式可求得tan(85)θ+︒．
【详解】
解：（1）由题意得：4cos 5θ=-
，且角θ为第二象限的角
则3sin 5θ==，3tan 4
θ=- ∴tan sin 2tan 2sin cos θθθθθ-=-
334324212455425100
⎛⎫=--⨯⨯-=-+= ⎪⎝⎭ （2）由题意知40αθ=+︒，则40θα=-︒
则()()tan 85tan 45θα+︒=+︒
tan tan 451tan tan 45αα+︒=-︒ 11m m
+=-．
【点睛】
关键点点睛：本题考查三角函数的定义，两角和与差的正切公式，二倍角公式，同角韹三角函数关系．解题确定角的关系是关键．由旋转得40αθ=+︒，则40θα=-︒，从而有8545θα+︒=+︒，再结合已知条件柯得结论．确定已知角和未知角的关系选用恰当的公式也是解题关键．
26．（1）最小正周期T π=；（2）3()0,2
f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】
（1）先利用余弦的二倍角公式和两角差的正弦化简后，再由辅助角公式化简，利用周期公式求周期；
（2）由x 的范围求出26x π-
的范围，再由正弦函数的有界性求f （x ）的值域． 【详解】 由已知2()2sin sin 26f x x x
1
1cos 22cos 2
22x x x =-+
+
12cos 2122
x x =-+ sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭ （1）函数()f x 的最小正周期T π=；
（2）因为,212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以72,066x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 所以1sin 21,62x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， 所以3()0,2
f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题考查三角函数的周期性、值域及两角和与差的正弦、二倍角公式，关键点是对()f x 的解析式利用公式进行化简，考查学生的基础知识、计算能力，难度不大，综合性较强，属于简单题.。