高考数学大一轮复习 课时训练11 函数与方程 理 苏教版

高考数学大一轮复习 课时训练11 函数与方程 理
苏教版
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2013·南通期中)用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：
f (1.600 0)≈0.200 f (1.587 5)≈0.133 f (1.575 0)≈0.067 f (1.562 5)≈0.003
f (1.556 2)≈－0.029
f (1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x －x －4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)
2．(2014·荆门调研)已知函数y ＝f (x )的图像是连续不间断的曲线，且有如下的对应值：
x 1 2 3 4 5 6 y
124.4
35
－74
14.5
－56.7
－123.6
则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有________个． 3．若函数f (x )＝－|x －5|＋2x
－1
的零点所在的区间是(k ，k ＋1)，则整数k ＝________.
4．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①y ＝2x ；②y ＝－2x ； ③f (x )＝x ＋x －
1；④f (x )＝x －x －
1. 则输出函数的序号为________．
5．[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是________．
6．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．
7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝⎛⎭⎫12x ＋34，x ≥2，log 2x ，0<x <2.若函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同的零点，则实数
k 的取值范围是________．
8．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a x ，x ≥0，
kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则
实数k 的取值范围是________．
9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋1
4.
证明：存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，1
2，使f (x 0)＝x 0.
10．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．
第Ⅱ组：重点选做题
1．(2013·盐城三调)若关于x 的方程x 2－(a 2＋b 2－6b )x ＋a 2＋b 2＋2a －4b ＋1＝0的两个实数根x 1，x 2满足x 1<0<x 2<1，则a 2＋b 2＋4a ＋4的取值范围是________．
2．(2014·扬州期末)若函数f (x )＝x 3－ax 2(a >0)在区间⎝⎛⎭⎫20
3，＋∞上是单调增函数，则使方程f (x )＝1 000有整数解的实数a 的个数是________．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．解析：因为函数f (x )＝3x －x －4，
令f (a )f (b )<0，则方程f (x )＝0在(a ，b )内有实根，从而x ≈1.56. 答案：1.56
2．解析：依题意，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0，故函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有3个．
答案：3
3．解析：依题意得f (0)·f (1)>0，f (1)·f (2)>0，f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)>0， 故f (x )的零点所在区间是(2,3)． 答案：2
4．解析：由图可知输出结果为存在零点的函数，因2x >0，所以y ＝2x 没有零点，同样y ＝－2x 也没有零点；f (x )＝x ＋x －1，当x >0时，f (x )≥2，当x <0时，f (x )≤－2，故f (x )没有零点；令f (x )＝x －x －1＝0得x ＝±1.
答案：④
5．解析：作出函数f (x )与g (x )的图像如图所示，发现有2个不同的交点．
答案：2
6．解析：因为f (x )＝x 3＋3x －1是R 上的连续函数，且f (0)<0，f (0.5)>0，则f (x )在x ∈(0,0.5)上存在零点，且第二次验证时需验证f (0.25)的符号．
答案：(0,0.5) f (0.25)
7．解析：画出函数f (x )的图像如图．要使函数g (x )＝f (x )－k 有两个不同零点，只需y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个不同交点，由图易知k ∈⎝⎛⎭⎫34，1.
答案：⎝⎛⎭⎫
34，1
8．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图像．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图像有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．
答案：0<k <1
9．证明：令g (x )＝f (x )－x . ∵g (0)＝14
，
g ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12－12＝－18， ∴g (0)·g ⎝⎛⎭⎫12<0.
又函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，1
2上连续， ∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，1
2，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.
10．解：设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]， ①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解，
∵f (0)＝1>0，则应有f (2)<0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m <－32
.
②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则
⎩⎨⎧
Δ>0，
0<－m －1
2<2，f (2)≥0，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
(m －1)2－4>0，
－3<m <1，4＋(m －1)×2＋1≥0.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
m >3或m <－1，－3<m <1，m ≥－3
2
.∴－3
2
≤m <－1.
由①②可知m 的取值范围(－∞，－1)． 第Ⅱ组：重点选做题
1．解析：由题意得⎩⎨⎧
f (0)<0，
f (1)>0
即⎩⎪⎨⎪⎧
(a ＋1)2＋(b －2)2<4，
a ＋
b ＋1>0，
利用线性规划的知识，问题转化为求区域上的点到点(－2,0)的距离的平方的取值范围．由图可知，所求的最大距离即为点(－2,0)与圆心(－1,2)的连线交圆与另一端点的值，即5＋2.所求的最小距离即为点(－2,0)到直线a ＋b ＋1＝0的距离，即为
|－2＋0＋1|
2
＝
1
2
，所以a 2＋b 2＋4a ＋4∈⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫122，(5＋2)2，即a 2＋b 2＋4a ＋4∈
⎝⎛⎭
⎫12，9＋45.
答案：⎝⎛⎭⎫12，9＋45
2．解析：令f ′(x )＝3x 2－2ax >0， 则x >2a
3
或x <0.
由f (x )在区间⎝⎛⎭⎫203，＋∞上是单调增函数知⎝⎛⎭
⎫20
3，＋∞⊆⎝⎛⎭⎫2a 3，＋∞，从而a ∈(0,10]．由f (x )＝1 000得a ＝x －1 000x 2，令g (x )＝x －1 000x 2
，则g (x )在(0，
＋∞)上单调递增，且与x 轴交于点(10,0)，在同一直角坐标系中作出函数g (x )与y ＝a (0<a ≤10)的大致图像(如图所示)．当a ＝10时，由f (x )＝1 000得x 3－10x 2－1 000＝0.令h (x )＝x 3－10x 2－1 000，因为h (14)＝－216<0，h (15)＝125>0，所以方程x 3－10x 2－1 000＝0在区间(14,15)上存在根x 0，因此从图像可以看出在(10，x 0]之间f (x )＝1 000共有4个整数解．
答案：4。