第二章波动方程

第二章 波动方程
一、小结
本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。

对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。

1．波动方程的初值问题
20(0,)(I)(,0)(),(,0)()
tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪
⎨==⎪⎩
可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为
11(,)[()()]()22x at
x at
u x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰
当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。

（2）半无弦自由振动的混合问题
20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩
可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。

对于第二边值的混合问题
20(0,0)
(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t x
u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪
'==⎨⎪=⎩
可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。

（3）三维齐次波动方程的初值问题
23
1231231230
0(0,(,,))
(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩
用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：
1232211
(,,,)[]44x x
at
at
at at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=
+∂⎰⎰⎰⎰ 当3
2
(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。

(4) 二维齐次波动方程的初值问题
1122
22
12121200()(0,(,))(IV)(,),(,),tt x x x x t t t u a u u t x x R u x x u x x ϕψ==⎧=+>∈⎪⎨==⎪⎩
可用降维法,由泊松公式得
121212
1(,,)[]212x
at
x
at
u x x t d t a d a
ξξπξξπ∂=
+
∂∑∑⎰⎰
⎰⎰
(5)非齐次方程的初值问题
23
12312312312300(,,)(0,(,,))
(V)(,,),(,,),tt t t t u a u f x x x t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆+>∈⎪⎨
==⎪⎩ 有叠加原理,它的解是问题(III)与下述问题(VI)的解的叠加. 而问题
23
12312300(,,)(0,(,,))(VI)0,0,tt t t t u a u f x x x t x x x R u u ==⎧=∆+>∈⎪⎨
==⎪⎩
可用齐次化原理求得解的表达式:
1231232
(,,)
1
(,,,)4x at
V f u x x x t dV a r
ξξξπ=
⎰⎰⎰
问题(VI)在二维或一维的情形可以进行类似的讨论或用降维法.解的表达式分别为
12120
(1
(,,)[
2t
a t u x x t d a ρτ
ξξπ≤-=
⎰⎰⎰
其中()
0()1(,)[(,)]2t x a t x a t u x t f d d a
ττρξτξτ+---=
=
⎰⎰ 2. 波动方程的混合问题
(1)有界弦齐次方程带有齐次边界条件的混合问题,可用分离变量法求解. 这个方法的基本思想是把解表成分离变量形式代入方程,使偏微分方程转化为常微分方程(或降维),求出常微分方程(或偏微分方程)边值问题的本征值与本征函数,从而可求出原方程满足齐次边界条件的特解.再利用叠加原理,使这些特解的线性组合满足初始条件,从而得到混合问题的形式解.例如
20(0,0)(VIII)(,0)(),(,0)()(0,)(,)0tt xx t u a u t x l u x x u x x u t u l t ϕψ⎧-=><<⎪
==⎨⎪==⎩
的级数形式解为
1(,)cos sin sin k k k k a k a k u x t A t B t x l l l πππ∞
=⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭∑
其中0022()sin
d ,()sin d ,(1,2,)l l k k k k A s s s B s s s k l l k a l
ππ
ϕψπ===⎰⎰ 当4
3
[0,],[0,],0,C l C l x l ϕψϕϕψψ''''∈∈=且，，，，当时为零，则形式解是
VII 问题（）的解.
(2)有界弦非齐次方程混合问题
首先可选取适当变换把边界条件化为齐次边界条件、在运用叠加原理把问题化为齐次方程、齐次边界条件的混合问题与非齐次方程、齐次边界条件和齐次初始条件的混合问题。

前者可用分离变量法求解，后者则运用齐次化原理化为前者。

对于高维波动方程的混合问题，也可用上述类似方法转化为齐次方程、齐次边界条件的混合问题，后者对某些特殊区域，如矩形域、圆形域、长方形域、球域等仍可用分离变量法求解。

重点：波动方程的各种定解问题求解：混合问题求解，初值问题求解等 ；分离变量法，齐次化原理；
难点：分离变量法，齐次化原理，推迟势 二、习题及解答
2.1 一维波动方程
1. 利用达朗贝尔公式的推导思想证明：函数
(,)(25)(25)u x t F x t G x t =++- 是方程25
4
tt xx u u =
的通解，并推出满足条件 (,0)sin 2,(,0)0t u x x u x ==
的特解。

证: 证明：先把25
4
tt xx u u =
化为标准形式，它的特征方程为 2225
d d 04
x t -=,
从而其特征线是xt 平面上的两族直线
15
252
x t C x t C ±=⇒±=,
作自变量变换25,25x t x t ξη=+=-，应用复合函数的求导法并代入得 0u ξη=， 其通解为
()()u F G ξη=+,
其中,F G 分别是,ξη的任意可微函数，换回原来变量就得通解 (,)(25)(25)u x t F x t G x t =++-. 由(,0)sin 2,(,0)0t u x x u x ==有
(,0)(2)(2)sin u x F x G x x =+=， （1）
(,)5(25)5(25),
(,0)5(2)5(2)0,(2)
t t u x t F x t G x t u x F x G x ''=+--''=-=
将（1）关于x 微分得，
cos (2)(2)2
x
F x
G x ''+= （3） 由（2）（3） 解得
cos (2),4
cos (2)4
x
F x x
G x '=
'=
积分得
sin (2),4
sin (2)4
x
F x x
G x =
=
因此特解为
11
(,)sin(25)sin(25)22
u x t x t x t =
++-. 2．无限长理想传输线上，电压和电流均满足传输线方程20tt xx u a u -=，式中2
1
a Lc
=，初始电压分布为cos A kx
cos kx ，求其上电压和电流的传输情况。

解：电压(,)cos (),v x t A k x at =-
电流(,)cos ()i x t k x at =- 3．证明方程
()22
2221110,x u x u
h x h x a h t ⎡⎤∂∂∂⎛⎫⎛⎫-=->⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
常数 的通解可以写成
()()
F x at
G x at u h x
-++=-
其中,F G 为任意的单变量可微函数，并由此求解它的初值问题:
()().,
:0x t
u
x u t ψ=∂∂==ϕ 解：令()v u x h =-，则
()()()⎪⎭
⎫
⎝
⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+=∂∂-x v u x h x
u x h x
v u x
u x h 2,，
2222[()]()()()()()u v u u v h x u h x h x h x u x x x x x x ∂∂∂∂∂∂-=-++-+-=-+∂∂∂∂∂∂，
又 ()2222t
v t u x h ∂∂=∂∂-，
代入原方程，得
()()222221t
v x h a x v x h ∂∂-=∂∂-，
即 2
22221t
v
a x v ∂∂=∂∂ 由波动方程通解表达式得
()()()at x G at x F t x v ++-=,
所以 ()()()
x h at x G at x F u -++-=
为原方程的通解。

由初始条件得
()()()[])1(1
x G x F x h x +-=
ϕ ()()()[]
x aG x aF x
h x //1
+--=ψ
所以 ()()()()0
1(2)2x
x F x G x h d c
a αψαα-=-+⎰
由)2(),1(两式解出
()()()()()011222x x c F x h x x h d a ϕαψαα=
-+-+⎰ ()()()()()011222
x x c G x h x x h d a ϕαψαα=---+⎰ 所以 )]()()()[()
(21
),(at x at x h at x at x h x h t x u +--+-+--=
ϕϕ
+
1
()().2()
x at x at h d a h x αψαα+---⎰ 即为初值问题的解。

4．试证在达朗贝尔公式中，若(),()x x ϕψ是偶函数，则(0,)0x u t =，并由此求解半有
界弦的振动问题
2,(0,0)(I)(,0)(),(,0)(),(0)(0,)0,(0)tt xx t x
u a u t x u x x u x x x u t t ϕψ⎧=>>⎪
==≥⎨⎪=≥⎩
解：（i ）将(),()x x ϕψ偶延拓，引进新函数
()(0)()(0)
(),()()(0)()(0)
x x x x x x x x x x ϕψϕψ≥≥⎧⎧Φ=ψ=⎨⎨
-<-<⎩⎩， 用,Φψ作初始函数，构造初值问题
20,(0,)(II)(,0)(),(,0)(),()
tt xx t U a U t x U x x U x x x ψ⎧-=>-∞<<+∞⎪
⎨
=Φ=-∞<<+∞⎪⎩ 由达朗贝尔公式，(II)的解为
11(,)[()()](),22x at
x at U x t x at x at d a
ξξ+-=Φ++Φ-+ψ⎰ （ii ）(,)U x t 在区域{0,0}x t <<+∞≥上的限制确定了问题(I)的解 事实上，若0x at -≥，更有0x at +≥，此时
()(),()(),()()x at x at x at x at ϕϕξψξΦ-=-Φ+=+ψ=， 因此
11(,)[()()]()(,).22x at
x at
U x t x at x at d u x t a ϕϕψξξ+-=
++-+=⎰ 若0x at -<即x at <，而0x at +>，此时
(),0
()(),()(),(),(),0
x at at x x at x at ψξξϕϕξψξξ≥⎧Φ-=-Φ+=+ψ=⎨-<⎩
因此
00
011(,)[()()][()()]
2211[()()][()()]
22x at
x at x at
at x U x t x at at x d d a x at at x d d a ϕϕψξξψξξϕϕψξξψξξ+-+-=++-++-=++-++⎰⎰⎰⎰
综上，
001
1[()()](),()22(,)11[()()][()()],()
2
2x at x at x at at x x x at x at d t a a
U x t x x at at x d d t a a ξξϕϕψξξψξξ+-+-⎧Φ++Φ-+ψ≤⎪⎪=⎨⎪++-++>⎪⎩⎰⎰⎰
5．若半有界弦的初始位移和初始速度都是零，端点作微小振动 (0,)sin u t A wt =，该
问题可归结为
2,(0,0)0(0)0(0)(I)(,0),(,0)()(0)()(0)(0,)sin tt xx t u a u t x x x u x u x x x x x u t A wt ϕψ⎧=>>⎪
≥≥⎧⎧⎪
==⎨⎨⎨
<<⎩⎩⎪
⎪=⎩
其中,ϕψ待定，求该弦的振动。

解：取()2sin(),()0,w
x A x x a
ϕψ=-
= sin (),(/)
(,)0
(/)x A w t t x a u x t a
t x a ⎧
->⎪=⎨⎪≤⎩
6．设A
B C D 为xt 平面上由特征线所围成的平行四边形，u 为弦的自由振动方程的解，
证明:()()()()u A u C u B u D +=+
证明：
7．求解下列本征值问题，并证明各个问题所解得的本征函数系构成相应区间上的正交函数系：
00(1);(2)(0)0,()0(0)0,()0
X X X X X X l X X l λλ''''+=+=⎧⎧⎨⎨'''====⎩⎩； 11121222
00(3)(0)0,;(4)(0)(0)0,,,,0
()()0(,0)()()0
X X X X X X X X l X l X l X l λλαβααββαβαβαβ''''+=+=⎧⎧⎪⎪'=+=≠⎨⎨⎪⎪''+=≠+=⎩⎩ 解： 0X X λ''+=
的通解为120,()X x c c λ>=+，
（1） 由初始条件(0)0,()0X X l '==有1(0)0X c ==，
1()X x c '=+，
2
121()00()(0,1,2,)
22k k X l c k k l πλπ+⎛⎫
'==⇒=⇒=+⇒== ⎪⎝⎭
本征函数为 21
()sin
,0,1,2,2k k X x x k l
π+== （2）由初始条件(0)0,()0X X l ''==
有，1(),X x c '=+
2(0)0
X c '==，
2
11
()0,0,1,2,
k
k
X l c c k k
l
π
πλ⎛⎫
'=+===⇒==
⎪
⎝⎭
本征函数为()cos,0,1,2,
k
k
X x x k
l
π
==
（3）由初始条件(0)0,
X=有
1
(0)0
X c
==，
1
();
X x c c
'=+
=();
X l c
'=
2
()()()()00
X l X l c c
αβαβ
'
+=+=⇒=，k
λ是超越方
程0
t l=的第k个正根(1,2,
k= ，本征函数
为
()s,1,2,
k
X x k
==
（4）
1
(0)
X c
=
，
12
()
X l c c
=+，
1
()
X x c
'=+，
(0)
X c
'=
1
()
X l c
'=+
11111
(0)(0)0
X X c c
αβαβ
'
+=+=，
2221221
()()()()0
X l X l c c c
αβαβ
'
+=+++=
整理得，
12211212
(()0
αβαβααββ
--=，
k
λ
是超越方程
12211212
(()0
αβαβααββ
--=的第k个正根(1,2,)
k= ，本
征函数为11
2
()),1,2,,
k k k
X x x k tg
β
θθ
α
-
=-==。

8．用分离变量法求下列问题的解：
（1）
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
<
<
-
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
=
),(
),0(
)
0(
)
1(
,
3
sin
2
2
2
2
2
t l
u
t
u
l
x
x
x
t
u
l
x
u
x
u
a
t
u
o
t
t
π
，
解：边界条件齐次的且是第一类的，令
)(
)
(
),
(t
T
x
X
t
x
u=，
得固有函数x l n x X n π
sin
)(=，且 t l
an B t l an A t T n n n π
πsin cos )(+=，)2,1( =n ，
于是 ∑∞
=+=
1
sin )sin cos
(),(n n n x l
n t l an B t l an A t x u π
ππ。

今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得
∑∞==1
sin 3sin n n x l n A l x π
π，
∑
∞
==-1
sin )(n n x l n B l an x l x π
π， 所以 ,0=n A 当3≠n
⎰-=l
n xdx l
n x l x an B 0sin )(2π
π ⎩⎨⎧ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an π
π
π
πππ
πcos sin cos 22222 )}
))1(1(4cos 2sin 2443
333222n l
an l x
l n n l x l n n x l --=--π
π
π
ππ 因此所求解为
∑∞
=--+
=1
4
4
3
sin sin )1(143sin 3cos ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u π
ππππ. (2) ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧===∂∂=+∂∂=∂∂====0||0||00022
222l x x t t u u t u u bshx x u a t u 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为 ),2,1(sin )( ==n x l
n x X n π
设 ∑∞
==
1
sin
)(),(n n x l
n t T t x u π
将非次项bshx 按}{sin
x l
n π
展开级数，得 ∑∞
==1
sin
)(n n x l
n t f bshx π 其中 shl bn l n xdx l n shx l b t f n l
n πππ2)1(sin 2)(2221
+-==+⎰
将 ∑∞
==
1
sin
)(),(n n x l
n t T t x u π
代入原定解问题，得)(t T n 满足 ⎪⎩⎪⎨
⎧='=+-=+'
'+0
)0(,0)0(2)1()()(
)(22212n n n n n T T shl l n bn t T l an t T πππ 方程的通解为
shl l
n bn an l t l an B t l an A t T n n n n 12222)1(2)(sin cos
)(+-+⋅++=ππ
πππ 由0)0(=n T ，得：shl l
n bn an l A n n 12
222)1(2)(+-+-=ππ
π 由0)0(='n T ，得0=n B 所以 )cos 1()1(2)1()(1
2
222t l
an shl l n bn an t T n n ππππ--+=+ 所求解为
∑∞=+-+-=1
2
22122sin )cos 1()()1(2),(n n x l n t l an l n n shl a bl t x u π
πππ (3) 20(0,)0,
(,)0(,0),(,0)0
tt xx x t u a u u t u l t h
u x x u x l ⎧
⎪-=⎪
==⎨⎪⎪==⎩
解：边界条件齐次的，令 )()(),(t T x X t x u =，
得：⎩
⎨⎧='==+''0)(,0)0(0
l X X X X λ (1)
及 )2(02
=+''X a
T λ
求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。

1 0<λ时，方程的通解为
x
x
e C e C x X λλ--
-+=21)(，
由0)0(=X 得021=+c c ， 由0)(='l X 得021=-----
-l
l
e C e
C λλλλ，
解以上方程组，得01=C ，02=C ，故0<λ时得不到非零解。

2 0=λ时，方程的通解为x c c x X 21)(+=，
由边值0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得02=c ，仍得不到非零解。

30>λ时，方程的通解为
x c x c x X λλsin cos
)(21+=，
由0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得
0cos 2
=l c λλ，
为了使02≠c ，必须 0cos
=l λ，于是
2
212⎪⎭
⎫
⎝⎛+==πλλl n n ， )2,1,0( =n
且相应地得到x l
n x X n π21
2sin
)(+= ， )2,1,0( =n 将λ代入方程(2)，解得
t a l
n B t a l n A t T n n n ππ21
2sin 212cos
)(+++= ， )2,1,0( =n 于是 ∑∞
=++++=0
21
2sin )212sin 212cos
(),(n n n x l
n t a l n B t a l n A t x u πππ， 再由始值得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++=+=∑∑∞
=∞
=00
212sin 2120212sin n n n n x
l n B a l n x l n A x l h
πππ 容易验证⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
+x l n π212sin
)2,1,0( =n 构成区间],0[l 上的正交函数系：
⎪⎩⎪⎨⎧=≠=++⎰n m l n
m xdx l n x l m l
当当2
0212sin 212sin 0ππ 利用⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧
+x l n π212sin
正交性，得 0220
22
221
sin 22221221cos sin (21)2(21)28(1)(21)l
n l
n
h n A x xdx
l l l
h l n l n x x x l n l n l h n ππππππ+=⎧⎫⎛⎫++⎪⎪=-+⎨⎬ ⎪++⎝⎭⎪⎪⎩⎭=-+⎰ 0=n B
所以
∑∞
=+++-=02
221
2sin 212cos )
12()1(8),(n n x l n t a l n n h
t x u πππ. (4 ) ⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧=∂∂===>∂∂=∂∂+∂∂====0|,|0||)0(20002
2
222t t l x x t u x l h u u u b x u a t u b t u
解：方程和边界条件都是齐次的。

令 )()(),(t T x X t x u = 代入方程及边界条件，得
λ-==+X X T
a bT T "
2'"2 0)()0(==l X X
由此得边值问题
⎩
⎨
⎧===+0)()0(0
"l X X X X λ 因此得固有值2
⎪⎭
⎫
⎝⎛==l n n πλλ，相应的固有函数为
,2,1,sin
)(==n x l
n x X n π
又)(t T 满足方程
022'"=++T a bT T λ
将n λλ=代入，相应的)(t T 记作)(t T n ，得)(t T n 满足 022
'
"
=⎪⎭
⎫
⎝⎛++T l an bT T
n n
π
一般言之，b 很小，即阻尼很小，故通常有
,2,1,2
2=⎪⎭
⎫
⎝⎛<n l an b π
故得通解 )sin cos ()(t B t A e t T n n n n bt n ωω+=-
其中 2
2
b l an n -⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πω
所以
x l
n t B t A e
t x u n n n n n bt
πωωsin
)sin cos (),(1
+=∑∞
=- 再由始值，得 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-==∑∑∞
=∞=x
l n B bA x l n A x l h n n n n n n
πωπsin )(0sin 11
所以
10
2)1(2sin 2+-==⎰n l
n n h
xdx l n x l h A ππ
1)1(2+-=
=n n
n n
n n bh
A b
B πωω 所求解为
.sin )sin (cos )1(2),(1
1x l n t b t n e
h
t x u n
n n n n bt
π
ωωωπ
+-=
∑∞
=+- 9. 设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=∂∂===∂∂=∂∂0)0,()0,(sin ),(,
0),0(22
222x t u x u t A t l u t u x u a t u ω 求解此问题。

解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取t x l
A
t x U ωsin ),(=，则),(t x U 满足
0),0(=t U ，t A t l U ωsin ),(= 令),(),(),(t x v t x U t x u +=代入原定解问题，则),(t x v 满足
)1()0,(0)0,(0),(,0),0(sin 22
2
222⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-=∂∂===+∂∂=∂∂x l A x t v x v t l v t v t x l A x v a t v ωωω
),(t x v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为x l
n x X n π
sin
)(=，)2,1,0( =n 故设
)2(sin
)(),(1
∑∞
==
n n x l
n t T t x v π 将方程中非齐次项
t x l A ωωsin 2及初始条件中x l A ω-按⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧x l n πsin 展成级数，得 ∑∞
==12sin )(sin n n x l n t f t x l
A π
ωω
其中
⎰=l
n xdx l
n t x l A l t f 02sin sin 2)(π
ωω l
x l n n l x l n x n l t l A 0
22222
sin cos sin 2⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-=ππππωω
x l A t n A n ω
ωπω--=+sin )1(212
x l
n n n π
ψsin
1∑∞
== 其中 n
l
n n A xdx l n x l A l )1(2sin 202-=-=⎰π
ωπωψ 将(2)代入问题(1)，得)(t T n 满足
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-='=-=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+''+n
n n n n n
n A T T t n A t T l an t T )1(2)0(,0)0(sin )1(2)()(12
2
π
ω
ωπωπ
解方程，得通解
2212)(sin )1(2sin cos )(ϖπϖπϖππ-⋅-++=+l
an t
n A t l an B t l an A t T n n n n
由始值，得0=n A
2
22222231)(2)1(}))((2)1(2)1{(1l an al A l an n l A n A an B n n n n ϖπϖϖππϖπϖπ--=----=+ 所以
1222222
1(1)2(1)21(,){sin sin }sin ()()
()()n n n A al an A l n v x t t t x an l l an l n l ϖπϖπ
ϖπϖπϖπ+∞
=--=+⋅--∑ x l n t n l t l an a l an l A n π
ϖπϖπϖπϖsin }sin sin {)()()1(21
2
22∑∞
=---= 因此所求解为
222
1(1)(,)sin 2{sin sin }sin ()()
n A an l n u x t x t A l a t t x l an l l nt l πϖπ
ϖϖϖπϖ∞
=-=+--∑ 10．长为l 的均匀杆，两端受压使长度缩为(12)l ε-，放手后自由振动，求该杆的振动。

解：22
04(12)1(21)(21)(,)cos cos 2(21)
k l l k at k u x t x k l l εππ
π∞=-++=-+∑ 11．求解下列定解问题
（1）20,(0,0)(,0)0,(,0)0(0,),(,)(,)tt xx t u a u x l t u x u x u t h u l t k h k ⎧-=<<>⎪
==⎨⎪==⎩
为常数
解：为了使边界条件齐次化，令
(,)(,)(,)u x t v x t w x t =+
取121(,)()[()()][]x x
w x t t t t h k h l l
μμμ=+
-=--，于是，函数(,)v x t 是混合问题
20,(0,0)(,0)(),(,0)0(0,)0,(,)0
tt xx t v a v x l t x v x h k h v x l v t v l t ⎧-=<<>⎪
⎪
=-+-=⎨⎪
==⎪⎩
由公式知，0k B ≡，
000020022222()sin d [()]sin d 22sin d ()sin d 22sin d ()sin d 2[(cos 1)]22[(1)1]()(cos )22[(1)1]l l k l l l l k k k k A h k h l l l l l k k h k h l l l l l
h k k k h l l l l
h l k l k h l k h k k l k h k l πξπ
ϕξξξξξπξπξξξξππ
ξξξξξ
ππππππ=
=-+-=-+-=-+-=---+
=--+--=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2()((1))k l k h k π---
221
22(,)({[(1)1]()((1))}cos )sin k
k k h l k at k v x t k h x k l k l l ππππ∞
==--+---∑，
221
22(,)({[(1)1]()((1))}cos )sin []k
k k h l k at k x u x t k h x h k h k l k l l l ππππ∞
==--+---+--∑
(3) sin (,0)0,(,0)sin tt xx t u u t x
u x u x x -=⎧⎨==⎩
解：由叠加原理，原问题可分解为
0(I)(,0)0,(,0)sin tt xx t u u u x u x x -=⎧⎨==⎩和sin (II)(,0)0,(,0)0tt xx t u u t x
u x u x -=⎧⎨==⎩
对于问题（Ⅰ），由达朗贝尔公式，得
111(,)sin d cos 221
[cos()cos()]
21
[2sin sin()]sin sin 2
x t x t
x t x t u x t x t x t x t x t ++--⎡⎤
==-⎣
⎦=--+=--=⎰x x x 对于问题（Ⅱ），由齐次化原理，得
2()00
()()()0()0()()()00(,)
1(,;)d sin d d 211sin d d d sin d 221(cos )d 21[cos(())cos(())]d 21(2sin sin((2t t x t x t t x t t
x t x t x t t x t x t t
u x t w x t x t x t x +---+-+-----+---⎛⎫== ⎪⎝⎭
===-=---+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t t t t t t t t t t t x x t t x x t t t x x
t x t t t t t t 0
))d sin sin()d sin sin()d sin (sin )
t
t t
t x t x t x t t -=-=-=-⎰⎰⎰t t t t t t t t
则原问题的解为
12(,)(,)(,)sin sin sin (sin )sin u x t u x t u x t x t x t t t x =+=+-=
(4)⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+==++===200222
11|,0|)1(x u u x tx u a u t t t xx tt
解： ⎰⎰⎰-+--+-+++=t t a x t a x at x at x d d d a t x u 0)
()(2
22)
1(1121),(τττξξξτ
αα ⎰+---+=+at
x at
x at x arctg at x arctg d )()(11
2αα ⎰⎰⎰-+---+--+-=+t
t a x t a x t t a x t a x d d d 0
)
()(20)()(22])1(21[)1(τξττξξξτττττ
=⎰-++--++t
d t a x t a x 02
2]))
((1)((1[21τττ
ττ =⎰⎰-++-+++---x
at x x
at x du u a u
at x du u a u at x )1(21)1(212222 =⎰⎰⎰+--++++++--at x at
x x at x x
at x u du
a t u du za t du u u x a 2
222
121121 =2
2
22)(1)(1ln 41))()((2at x at x a at x arctg at x arctg a x -+++++--
+
)]()(2[2at x arctg at x arctg arctgx a t
+--- =)()(21)()(2122at x arctg at x a
at x arctg at x a ++--- +222)
(1)(1ln 41at x at x a arctgx a t -++++ 所以
})(1)
(1ln 212)()2()()2{(41),(2
2
2
23at x at x atarctgx at x arctg a at x at x arctg a at x a
t x u -++++++⋅⋅-+----=
2.2高维波动方程的初值问题
2. 利用达朗贝尔公式及泊松公式求解
2
222
12312
(,0),(,0)tt t u a u
u x x x x u x x x ⎧=∆⎪⎨=++=⎪⎩ 解: 由泊松公式
221231231230
(,,,)[
(,,)](,,)44t
t
u x x x t sin d d sin d d t ππ
ππ
ϕξξξθθϕψξξξθθϕ
π
π
∂=+
∂⎰⎰
⎰⎰
123123(,,),(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )x at ξξξξαααααθϕθϕθ==+==其中
222
12312312312(,,),(,,)x x x x x x x x x x x ϕψ=++=
221231231230
22222123120000222123(,,,)[(,,)](,,)44[()]44[[(sin cos )(sin sin )(cos )]4t
t u x x x t sin d d sin d d t t t sin d d sin d d t t x at x at x at sin d t ππ
ππ
ππππϕξξξθθϕψξξξθθϕ
π
π
ξξξθθϕξξθθϕππθϕθϕθθθπ∂=+
∂∂=
+++∂∂=+++++∂⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰200
21200
22
222211002222222222233121](sin cos )(sin sin )4[[(2sin cos sin cos )4(2sin sin sin sin )(2cos cos )](sin sin 4d t x at x at sin d d t x x at a t t x x at a t x x at a t sin d d t x x x at ππ
ππππϕθϕθϕθθϕπθϕθϕπθϕθϕθθθθϕθπ
+++∂=++∂+++++++
+⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222
200222
2212312sin cos sin sin cos )3x at a t sin d d x x x a t x x t
ππϕθϕθϕϕθθϕ++=++++⎰⎰
3. 利用泊松公式求解波动方程的柯西问题
2
32
00(),0
tt
xx yy zz t t t u a u u u u x y z u ==⎧=++⎪⎨=+=⎪⎩ 解：泊松公式
ds r a ds r a t u Sat M Sat M ⎰⎰⎰⎰+⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂=ψ
πφπ4141 现 z y x 23,0+==φψ
且 ⎰⎰⎰⎰=Φ=Φ
ππ
ϕθθϕθ020|sin ),,(at r s d d r r ds r M
at
其中 )cos ,sin sin ,cos sin (),,(θϕθϕθϕθr z r y r x r +++Φ=Φ )cos ()sin sin ()cos sin (23θϕθϕθr z y r x ++++=
ϕθϕθϕθ332222223cos sin cos sin 3cos sin 3r xr r x z y x ++++= θϕθϕθcos sin sin sin sin 2222r y rz yzr +++ θϕθϕθθcos sin sin sin cos sin 2232r yr ++
计算
⎰⎰Φππ
ϕθθϕθ020
sin ),,(d d r r
)
(4)cos (2)(sin )(23020
2323
z y x r z y x r d d r z y x
+=-⋅+=+⎰⎰πθπψθθππ
π
⎰⎰⎰⎰==⋅ππ
π
π
ϕϕθθϕθθϕθ020
0202
2
22
0cos sin
3sin cos sin 3d d r
x d d r r x
⎰
⎰⎰⎰=⋅ππ
π
πϕϕθθϕθθϕθ020
20
2
3
3
2
22cos sin 3sin cos sin 3d d xr
d d r xr π
πφφθθ200
33]2sin 4
12[]cos cos 31[3+⋅-=xr
ϕθθϕθπππ
d d r r xr sin cos sin 433020
3⋅=⎰
⎰
3320
40
44cos sin xr d d r πϕϕθ
θπ
π==⎰
⎰
⎰⎰⎰⎰==⋅π
π
ππ
ϕϕθθϕθθϕθ0
202
2
020
0sin sin
2sin sin sin 2d d yzr d d r yzr
z r z r d d rz d d r z r 320
03320
2
3
020
2
2
2
3
4]2sin 412[]cos cos 31[sin sin sin sin sin πϕϕθθϕϕθθϕθθϕθπππ
π
ππ
=-⋅-==⋅⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰==⋅π
π
ππ
ϕθθθϕθθθ0
20
2
20
20
2
0sin cos sin cos d d r
y d d r r y
⎰⎰⎰⎰==⋅⋅π
πππ
ϕϕθθθϕθθϕθθ20
23020
2
sin cos sin 2sin sin sin 2d d yr d d r coc yr
⎰⎰⎰⎰=⋅=⋅ππ
ππ
ϕϕθθθϕθθθϕθ0
20
234020
2230
sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r
所以
]
3
1
[4]344)(4[22222233
22z t a t xa z y x at z r r z y x r ds r Sat
M
at
r +++=+++=Φ⎰⎰=ππππ
32232232222211(,,,)[]433M Sat
u x y x t tx ty z xa t a t z t a r t x y z a t x a t z
π∂Φ∂=
⋅=+++∂∂=+++⎰⎰
即为所求的解。

5.利用二维泊松公式求解
()
()
⎪⎩⎪⎨⎧=+=+===0
||0202t t t yy
xx tt u y x x u u u a u
解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：
()()
()()
⎪⎩
⎪⎨
⎧∑----∂∂
=⎰⎰m
at d d y x t a t a t y x u ηζηζηζϕπ2
2
2
2,21,,
()
()()
⎪⎭
⎪⎬⎫
∑----+
⎰⎰
m
at
d d y x t a ηζηζηζψ2
2
22,
()
⎰
⎰-++∂∂
=
π
θθθϕπ20
2
220
sin ,cos 21rdrd r
t a r y r x t
a at
又 ()()()θθθθϕsin cos cos sin ,cos 2
r r y x r x r y r x ++++=++
()()()θθ222cos cos 2r y x r y x x y x x +++++= ()()θθθθθcos sin cos 2sin cos 22++++xr r x ()θθθsin cos cos 23++r
因为 ⎰
⎰⎰
===π
π
π
πθθθθθθ20
2
20
20
cos
,0sin ,0cos d d d
.0sin cos ,0cos
,0cos sin 20
220
3
20
⎰⎰
⎰===π
π
π
θθθθθθθθd d d
所以
()
⎰⎰
-++at rdrd r
t a r y r x 020
2
22sin ,cos θθθϕπ
()
()⎰
⎰
-++-+=at
at
r
t a dr r y x r
t a rdr y x x 0
2
2
232
2
22
32ππ
又
⎰
=--=-at
at
at r t a r t a rdr 0
02222
22|
⎰
⎰-+--=-at
at
at rdr r t a r t a r r t a dr r 0
222022222
2232|
()33023
2223
2|32t a r t a a
=--=
于是 ()()()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++∂∂=
y x a y x ax t a t y x u 332221,,332
πππ
()()y x t a y x x +++=32
22
6.用降维法求解二维非齐次方程初值问题
2
00()(,,)0,0
tt xx yy t t t u a u u f x y t u u ==⎧=++⎪
⎨
==⎪⎩ 解：( 法一:用齐次化原理):首先证明齐次化原理：若),,,(τt y x w 是定解问题
⎪⎩⎪⎨⎧=+===)
,,(,0)
(2
ττy x f w w w w a w t o t yy xx tt
的解，则⎰
=t
d t y x w t y x u 0
),,,(),,(ττ即为定解问题
⎪⎩⎪⎨⎧==++===0
,0)
,,()(002
t t t yy xx tt u u t y x f u u a u
的解。

显然，00
==t u
ττττd t w
d t w t y x w t u t
t
t ⎰⎰∂∂=∂∂+=∂∂=0
0),,,(
（ 0==τt w ）.所以
00
=∂∂=t t
u
又 ττd t
w
t w
t
u t
t
⎰∂∂+∂∂=
∂∂=02222
τττ
d y w
y u d x
w x u d y
w
t y x f t
t
t
⎰⎰⎰∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂+=22
22
022
22
0220,),,(
因为w 满足齐次方程，故u 满足
)(),,(2222222y
x u a t y x f t u u ∂∂+∂∂+=∂∂ 齐次化原理得证。

由齐次方程柯西问题解的泊松公式知
ηζηζττηζπττd d y x t a f a
t y x w M
t a ⎰⎰
∑-----=
-)
(2
2
2
2
)
()()()
,,(21),,,(
所以
θττθθπτπ
rdrd r
t a r y r x f a t y x u t t a ⎰⎰⎰
---++=
)(0
20
2
2
2
)()
,sin ,cos (21
),,(
所以 ⎰⎰⎰---++=
t t a d rdrd r
t a r y r x f a t y x u 0)(020222)()
,sin ,cos (21),,(τπτθττθθπ (方法二:降维法 )推迟势
dv r
a r
t f a t z y x u at
r ⎰⎰⎰
≤-=
)
,,(41
),,,(2
ηξπ 其中积分是在以),,(z y x 为中心，at 为半径的球体中进行。

它是柯西问题
⎪⎩⎪
⎨⎧==+++===0
,0),,,()(002t t t zz yy xx tt u u t z y x f u u u a u
的解。

对于二维问题u ，f 皆与z 无关，故
dsdr r
a r
t f a t y x u at
S M r ⎰⎰⎰
-
-=
02
)
,,(41
),,(ηξπ 其中M r s 为以)0,,(y x M 为中心r 为半径的球面，即
2222)()(:r y x S M r =+-+-ζηξ
ηξηξd d y x r r
ds 2
2
2
)
()(----=
ds r a r
t f ds r a r t f ds r a r t f M r
M r
M
r S S S ⎰⎰⎰⎰⎰⎰
-
+-+-=-)
,,(),,(),,(ηξμξηξ
ηζηξηξd d y x r a r
t f M
r ⎰⎰
∑-----=222)
()()
,,(2
其中-+
M r M r
s s ,分别表示M r s 的上半球面与下半球面，∑M r
表示M
r s 在ηξo 平面上的投影。

所以 ⎰⎰⎰
∑-----=
at
rM
d d y x r a r
t f a t y x u 02222
)
()()
,,(21
),,(ηξηξηξπ
dr d d r a r t y x f a at
r ⎰⎰⎰⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--++=0020222),sin ,cos (21πθρρρθρθρπ 在最外一层积分中，作变量置换，令τ=-a
r
t ，
即),(τ-=t a r τad dr -=，当0=r 时t =τ，当at r =时，0=τ，得
⎰⎰⎰
---++=
t t a d d d t a y x f a t y x u 0
)(0
20
2
2
2
)()
,sin ,cos (21
),,(τπ
τθρρρ
ττθρθρπ
即为所求，与法一结果一致。

8. 求解下列柯西问题
⎪⎩
⎪
⎨⎧=∂∂=++===),(),,()(0022y x r v
y c v v
c v v a v t t yy xx tt ψϕ [提示：在三维波动方程中，令),,(),,(t y x v e z y x u a
cz =] 解：令 ),,
(),,,(t y x v e t z y x u a cz
=
则 yy a cz yy
xx a cz xx
tt a cz
tt v
e u v
e u v
e u =
=
=
,,
v e a
c u a
cz
zz 22=
代入原问题，得
⎪⎩⎪⎨⎧==++===)
,(),,()(002y x e u y x e u
u u u a u a cz
t t a cz t zz yy xx tt ψϕ ds a ds a t t z y x u M
at
a c M at
a c S r e S r e ⎰⎰⎰⎰+∂∂=)
,(41}41{),,,(),(ηξψζ
ζ
ππηξϕ 22222)()()(:t a z y x S M
at =-+-+-ζηξ
记+M at S 为上半球，-
M at S 为下半球，
∑
M
at
为M
at S 在ηξo 平面上的投影。

ηξηξd d y x t a at
ds 2
222)()(----=
,则
⎰⎰
⎰⎰
⎰⎰
+-+
=
M at
M at
M at
S
S
S a
c a
c a c ds e r
ds e r
ds r
e ),(1),(1)
,(ηξϕηξϕηξϕξξζ
⎰⎰
∑----=
----+M
at
d d y x t a e
y x t a z a
c
ηξηξϕηξηξ),()()(2
2
2
2))()((2222
ηξηξϕηξηξd d y x t a e
M
at
y x t a z a
c
),()
()(2
2
22))()((2222⎰⎰
∑----+
-----
ηξηξϕηξηξd d y x t a y x t a a c
ch e
M
at
a
cz ),()
()()()(222222222⎰⎰
∑--------= θθθϕπrdrd r y r x r
t a r a
c
t c ch e
at a
cz )sin ,cos ()(2200
2
2
22
22++--=⎰⎰
所以
200
1(,,){(cos ,sin )}2cz a u x y z e x r y r tftf t a πθθθπ∂=+++∂⎰
θθθψππrdrd r y r x r
t a r a
c
t c ch e a
at a
cz )sin ,cos ()(21200
2
2
22
22++--⎰⎰
于是
}20
20
1(,,)(cos ,sin )21(cos ,sin )2v x y t x r y r rdrd t a x r y r rdrd a
ππθθθ
πθθθ
π∂⎧=
+++⎨∂⎩+
++⎰
⎰
⎰
即为所求的解。