02第二节二重积分的计算(一)

第二节 二重积分的计算(一)
分布图示
★ 利用直角坐标系计算二重积分 ★ 关于积分限的确定 ★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 例7 ★ 交换二重积分次序的步骤
★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12
★ 例13 ★ 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算
★ 例14 ★ 例15 ★ 例16
★ 例17
★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题10 -2 ★ 返回
内容要点
一、在直角坐标系下二重积分的计算
对-X 型区域：)}()(,|),{(21x y x b x a y x ϕϕ≤≤≤≤，有
⎰
⎰⎰⎰
=)
()
(21),(),(x x b
a
D
dy y x f dx dxdy y x f ϕϕ (2.2)
对-Y 型区域：)}()(,|),{(21y x y d y c y x ψψ≤≤≤≤，有
.),(),()
()
(21⎰
⎰⎰⎰
=y y d
c
D
dx y x f dy dxdy y x f ψψ (2.3)
二、交换二次积分次序的步骤
（1）对于给定的二重积分,),()
()
(21⎰
⎰x x b
a dy y x f dx ϕϕ 先根据其积分限
),()(,21x y x b x a ϕϕ≤≤≤≤
画出积分区域D （图9-2-13）；
（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D 的积分限
),()(,21y x y d y c ψψ≤≤≤≤
（3）写出结果 .),(),()
()
()
()
(2121⎰
⎰⎰
⎰=y y d
c
x x b
a
dx y x f dy dy y x f dx ψψϕϕ
三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算
利用被积函数的奇偶性及积分区域D 的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函
数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数),(y x f 的奇偶性和积分区域D 的对称性两方面.
例题选讲
在直角坐标系下二重积分的计算
例1（E01）计算
,⎰⎰D
xyd σ其中D 是由直线2,1==x y 及x y =所围成的闭区域.
解一 如图，将积分区域视为—X 型,
dx xydy xyd x
D
⎰⎰
⎰⎰
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
21
1σdx y x x
1
21
2
2⎰
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅=.81
148
222
12421
3
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰
x x dx x x
解二 将积分区域视为—Y 型,
⎰⎰D
xyd σdy x y dy xydx y
y 2
21
221
2
2⎰
⎰⎰
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⋅=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=2
14221
3822⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-=⎰
y y dy y y .81
1=
例2 计算
σd y x y
D
⎰⎰-+221, 其中D 是由直线1-==x x y 、和1=y 所围成的闭区域.
解 如图,D 既是—X 型,又是—Y 型.若视为—X 型,则
原积分dx dy y x y x ⎰⎰
-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=1
11221[
]
dx y x x 1
112
/322)1(31⎰--+-=
.2
1)1(32)1|(|31103113=--=--=⎰
⎰-dx x dx x
若视为—Y 型，则
,111
22112
2
dy dx y x y d y x y y
D
⎥⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
-+=-+⎰
⎰⎰⎰
--σ
其中关于x 的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要.
例3（E02））计算二重积分
,⎰⎰D
xyd σ其中D 是由抛物线x y
=2
及直线2-=x y 所围成
的闭区域.
解 如图,D 既是—X 型，也是—Y 型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.
dy xydx xyd y y
D
⎰⎰
⎰⎰
-+⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡=
212
2
σdy y y y dy y x y y ⎰
⎰
-+--+=
⎥⎦⎤⎢
⎣
⎡=2
1
522
2
12])2([21
22
2
162
346234421-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=y y y y .8
55=
例4（E03）计算
,2
dxdy e D
y ⎰⎰ 其中D 由1,==y x y 及y 轴所围. 解 画出区域D 的图形.将D 表成—X 型区域,得,1,10:≤≤≤≤y x x D
.1
1
2
2
⎰⎰
⎰⎰
=
x
y D
y dy e dx dxdy e
因⎰
dy e y 2
的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序. 将D 表成—Y 型区域,得,0,10:y x y D ≤≤≤≤
⎰⎰D
y dxdy e
2
dy y x e
dx e dy y y
y ⎰⎰⎰
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⋅=
=
1
10
02
2
).1(2
1
)(211021
022
-===⎰
⎰
e y d e dy e y y y
例5（E04）计算,||2
⎰⎰-D
dxdy x y 其中D 为10,11≤≤≤≤-y x . 解
⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-2
1222
()(||D D D
dxdy x y dxdy y x dxdy x
y ）
⎰⎰⎰⎰-+-=--1
21
1
21
1
22)()(x
x dy x y dx dy y x dx
.1511
21212111421
14-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎰⎰
--dx x x dx x
例6 计算二重积分,dxdy e
D
y
x ⎰⎰+ 其中区域D 是由0,1,0===y x x , 1=y 所围成的矩
形.
解 如图，因为D 是矩形区域,且,y x y x e e e ⋅=+所以
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰
⎰⎰
⎰+1010dy e dx e dxdy e y D
x y x .)1())((2
1010-==e e e y x
例7（E05）求两个底圆半径都等于R 的直交圆柱面所围成的立体的体积.
解 成的立体的体积. 222R y x =+及.222R z x =+利用立体关于坐标平面的对称性,
只要算出它在第一卦限部分的体积,1V 然后再乘以8即可.如图.易见所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为
},0,0),{(22R x x R y y x D ≤≤-≤≤=
它的顶是柱面.22x R z -=于是, ⎰⎰
-=
D
d x R V σ2
21dx dy x R R x R ⎰⎰⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
-=
-0
2
2
2
2dx y x R x R o
R
2
20
2
2
-⎰
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=
,3
2)(30
22R dx x R R
=
-=
⎰
故所求体积为.3/16831R V V ==
交换二次积分次序的步骤
例8 交换二次积分
⎰
⎰
-x
dy y x f dx 10
1
),(的积分次序.
解 题设二次积分的积分限:,10,10x y x -≤≤≤≤ 可改写为:,10,10y x y -≤≤≤≤ 所以
⎰
⎰⎰⎰
--=y
x
dx y x f dy
dy y x f dx
10
10
1
10
.),(),(
例9（E06）交换二次积分
⎰⎰
x
x
dy y x f dx 2),(1
的积分次序.
解 题设二次积分的积分限:,,102x y x x ≤≤≤≤ 可改写为:,,10y x y y ≤≤≤≤
所以
⎰
⎰⎰⎰
=y
y
x
x dx y x f dy
dy y x f dx
.),(),(1
1
2
例10（E07）证明
⎰⎰⎰
---=a
a x
b y
a x
b a
dx x f e x a dx x f e
dy 0
)(0
)
(0
)()()(
其中a 、b 均为常数, 且0>a .
证 等式左端二次积分的积分限:y x a y ≤≤≤≤0,0可改写为a y x a x ≤≤≤≤,0
所以
dx x f e
dy a
y
a x
b ⎰⎰
-0
)
()(dx dy x f e dy x f e
dx
a a
x a x b a
a
x
a x
b ⎰
⎰
⎰⎰
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
=
=
--0
)
(0
)
()()(.)()(0
)(dx x f e x a a
a x
b ⎰
--=
例11（E08）交换二次积分
⎰
⎰⎰
⎰
--+x
x x dy y x f dx dy y x f dx 20
21
20
1
),(),(2
的积分次序.
解 题设二次积分的积分限:
⎪⎩⎪⎨
⎧-≤≤≤≤-≤≤≤≤x y x x x y x 20,
2120,102
可改写为 y x y y -≤≤--≤≤211,102 所以 原式.),(10
2112
dx y x f dy y
y ⎰⎰
---=
例12 交换二次积分
)0(),(22022>-⎰⎰a dy y x f x ax ax
dx a 的积分次序.
解 题设二次积分的积分限:ax y x ax a x 22,202≤≤-≤≤由 ax y 2=
x a
y =22
y = 22y a a x -±=
原式dx y x f dy
a
y a a a
y ⎰⎰
--=
22
22
),(.),(),(20
220
222
2dx y x f dy
dx y x f dy
a
a
a
y a
a
y a a ⎰
⎰
⎰⎰
+
+
-+
例13 计算积分 .2/112
/14/12/1//dx e y
y dy dx e y dy I x y x
y ⎰
⎰⎰⎰
+=
解 dx e x y
⎰
不能用初等函数表示,∴先改变积分次序.
题设二次积分的积分限:
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤y
x y y y x y ,12
1
21
,4121 可改写为
x y x x ≤≤≤≤2,121
，所以 .2
1
83)(1
2
112
12
e e dx e e x dy
e dx I x x
x x y -=-=
=
⎰
⎰⎰
利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算
例14（E09） 计算,)](1[2
2⎰⎰
++D
dxdy y x xf y 其中积分区域D 由曲线2x y =与1=y 所围成.
解 令),(),(22y x xyf y x g +=因为D 关于y 轴对称,且),,(),(y x g y x g -=- 故
⎰⎰
=+D
dxdy y x xyf 0)(2
2 ⎰⎰
⎰⎰
-=
=
D
x ydy dx
ydxdy I 1
1
1
2
.5
4
)1(2
11
14=-=
⎰
-dx x
例15 计算,)1(dxdy xy I D
⎰⎰
+=
其中.44:2
2≤+y x D 解法一 先对y 积分,积分区域:D
,12121122⎩
⎨⎧
-≤≤--≤≤-x y x x 故dy
xy dx
I x x ⎰⎰
----+=
1
1
1212
2
2)1(dx x dx xy x x ⎰
⎰
------+
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1
121212
1
114212
2
.22
411)1(322
/32ππ
=⋅+---=x
解法二 先对x 积分，积分区域:D
,42142
12222⎪⎩⎪
⎨⎧
-≤≤--≤≤-y x y y 故.2)1(2
2
421
42
1
22π=+=
⎰
⎰
----dx xy dy
I y y
解法三 利用对称性,
.⎰⎰⎰⎰+=
D
D
dxdy xydxdy I
因为积分域D 关于x 轴对称，且函数xy y x f =),(关于x 是奇函数,所以.0⎰⎰=D
xydxdy
又
⎰⎰=D
dxdy .2π 故.2π=I
例16（E10）计算
,22⎰⎰D
dxdy y x 其中区域:D .1||||≤+y x 解 因为D 关于x 轴和y 轴对称，且,),(22y x y x f =关于x 或关于y 为偶函数
dxdy y x I D ⎰⎰
=1
224
⎰⎰
-=1010
224x
dy y x dx
.45
1)1(3
4
1
32=
-=
⎰
dx x x 注: 若直接在D 上求二重积分，则要繁琐很多.
例17 证明不等式 ,2)sin (cos 122
⎰⎰≤+≤
D
dxdy x y
其中.10,10:≤≤≤≤y x D
证 因为D 关于y x =对称，所以
dxdy y dxdy x D
D ⎰⎰
⎰⎰
=
22cos cos ，故
dxdy x x dxdy x y D
D
⎰⎰
⎰⎰
+=
+)sin (cos )sin (cos 2222
又由于)4
sin(2sin cos 222π
+
=+x x x 及102≤≤x 而D 的面积为 1. 由二重积分性质,有
.2)sin (cos 122≤+≤
⎰⎰
dxdy x y D
课堂练习
1. 变换下列二次积分的次序：.),(211
1⎰
⎰-+-x x dy y x f dx
2. 计算,2
2⎰⎰
D
d y
x σ其中D 是由直线x y x ==,2及双曲线1=xy 所围成的区域.
3. 计算二次积分.sin 1
21
⎰⎰x
dy y dx。