高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面向量》真题汇编含答案

新数学《平面向量》试卷含答案
一、选择题
1．设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，过点F 作x 轴的垂线交两渐近线于,A B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若
(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，225+=8
λμ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B
C ．2
D ．98
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据已知求出,u λ，再代入225+=8
λμ求出双曲线的离心率. 【详解】 由题得双曲线的渐近线方程为b y x a =±，设F(c,0)，则2
(,),(,),(,),bc bc b A c B c P c a a a
- 因为(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v ，所以2(,)((),())b bc c u c u a a
λλ=+-. 所以,,b u c u c λλ+=-=
解之得,.22b c c b u c c λ+-=
=
因为225+=
8λμ，所以225()(),228b c c b c e c c a +-+=∴=∴= 故答案为A
【点睛】 本题主要考查双曲线的几何性质和离心率的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.解答本题的关键是根据(),OP OA OB R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v
求出,u λ. 2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
A ．,,M N P 三点共线
B ．,,M N Q 三点共线
C ．,,N P Q 三点共线
D ．,,M P Q 三点共线
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平面向量共线定理进行判断即可.
【详解】 因为28NP a b =-+u u u r r r ,3()PQ a b =-u u u r r r 所以()
2835NQ NP PQ a b a b a b =+=-++-=+u u u r u u u r u u u r r r r r r r
,
因为5MN a b =+u u u u r r r ,所以MN NQ =u u u u r u u u r 由平面向量共线定理可知,MN u u u u r 与NQ uuu r 为共线向量,
又因为MN u u u u r 与NQ uuu r 有公共点N ,所以,,M N Q 三点共线. 故选: B
【点睛】
本题考查利用平面向量共线定理判断三点共线;熟练掌握共线定理的内容是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
3．在ABC V 中，312AB AC ==，D 是AC 的中点，BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为4-，则向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为（ ）
A ．45°
B ．60°
C ．120°
D ．150° 【答案】C
【解析】
【分析】
设BDC α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r 的夹角为θ，BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为cos =4BD α-u u u r ，利用线性代换并结合向量夹角公式即可求出夹角．
【详解】
312AB AC ==，D 是AC 的中点，
则4AC =，2AD DC ==，
向量BD u u u r 在AC u u u r 方向上的投影为4-，
设BDA α∠=，向量BA u u u r 与AC u u u r
的夹角为θ， 则cos =4BD α-u u u r ， ∴()
cos ===BD DA AC BA AC BD AC DA AC BA AC BA AC BA AC
θ+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()cos cos180444211===1242BD AC DA AC AB AC α⋅+⋅⨯+-⨯-⨯︒⨯⋅-u u u u u r u u u r u u u u r u u u r u ur r u ， 故夹角为120°，
故选：C .
【点睛】
本题考查向量的投影，利用数量积求两个向量的夹角，属于中等题.
4．已知O 是平面上一定点，满足()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，[0λ∈，)+∞，则P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
A ．外心
B ．垂心
C ．重心
D ．内心
【答案】B
【解析】
【分析】 可先根据数量积为零得出BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC AB B AC C λ+u u u r
u u u r u u u
r u u u r 垂直，可得点P 在BC 的高线上，从而得到结论． 【详解】 Q ()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C
λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C
λ-=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即()||cos ||cos AB AC AP AB B AC C λ=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， Q cos BA BC B BA BC ⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，cos CA CB C CA CB
⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴()0||cos ||cos AB AC BC BC BC AB B AC C
⋅+=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴BC uuu r 与()||cos ||cos AB AC AB B AC C
λ+u u u r u u u r u u u r u u u r 垂直， 即AP BC ⊥uu u r uu u r
， ∴点P 在BC 的高线上，即P 的轨迹过ABC ∆的垂心.
故选：B ．
【点睛】
本题重点考查平面向量在几何图形中的应用，熟练掌握平面向量的加减运算法则及其几何意义是解题的关键，考查逻辑思维能力和转化能力，属于常考题.
5．已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，()0,2A ，22
20OB OA +=，若平面内点P 满足3PB PA =u u u r u u u r ，则PO 的最大值为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
设(),P x y ，(),B m n ，根据3PB PA =u u u r u u u r 可得262m x n y
=-⎧⎨=-⎩，再根据2220OB OA +=可得点P 的轨迹，它一个圆，从而可求PO 的最大值.
【详解】 设(),P x y ，(),B m n ，故(),PB m x n y =--u u u r ，(),2PA x y =--u u u r .
由3PB PA =u u u r u u u r 可得363m x x n y y
-=-⎧⎨-=-⎩，故262m x n y =-⎧⎨=-⎩， 因为2220OB OA +=，故()22443420x y +-+=，
整理得到()2
234x y +-=，故点P 的轨迹为圆，其圆心为()0,3，半径为2， 故PO 的最大值为325+=，
故选：C.
【点睛】
本题考查坐标平面中动点的轨迹以及圆中与距离有关的最值问题，一般地，求轨迹方程，可以动点转移法，也可以用几何法，而圆外定点与圆上动点的连线段长的最值问题，常转化为定点到圆心的距离与半径的和或差，本题属于中档题.
6．在ABC ∆
中，已知AB =
AC =D 为BC 的三等分点(靠近C)，则
AD BC ⋅u u u v u u u v 的取值范围为（ ） A ．()3,5
B
．( C ．()5,9 D ．()5,7 【答案】C
【解析】
【分析】 利用向量加法法则把所求数量积转化为向量AB AC u u u r u u u r ，的数量积，再利用余弦函数求最值，得解．
【详解】
如图，()()()13AD BC AC CD AC AB AC CB AC AB ⎛⎫⋅=+⋅-=+⋅- ⎪⎝⎭
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()
11213333AC AB AC AC AB AC AB AC AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22211333AC AB AB AC =--⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ＝8﹣
113
BAC -∠
＝7﹣2cos ∠BAC
∵∠BAC ∈（0，π），
∴cos ∠BAC ∈（﹣1，1），
∴7﹣2cos ∠BAC ∈（5，9），
故选C ．
【点睛】
此题考查了数量积，向量加减法法则，三角函数最值等，难度不大．
7．在ABC ∆中，5,6,7AB BC AC ===，点E 为BC 的中点，过点E 作EF BC ⊥交AC 所在的直线于点F ，则向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为（ ）
A ．2
B ．32
C ．1
D ．3
【答案】A
【解析】
【分析】 由1()2AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， EF BC ⊥，得12AF BC ⋅=u u u r u u u r ，然后套用公式向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影||
AF BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r ，即可得到本题答案. 【详解】
因为点E 为BC 的中点，所以1()2
AF AE EF AB AC EF =+=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又因为EF BC ⊥， 所以()
22111()()()12222AF BC AB AC BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以向量AF u u u r 在向量BC uuu r 方向上的投影为2||AF BC BC ⋅=u u u r u u u r u u u r . 故选：A.
【点睛】
本题主要考查向量的综合应用问题，其中涉及平面向量的线性运算及平面向量的数量积，主要考查学生的转化求解能力.
8．在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3a 2+3c 2-3b 2=2ac ，BA u u u r ⋅BC uuu
r =2，则
△ABC的面积为（）
A．2B．3
2
C
．22D．42
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理求出B的余弦函数值，结合向量的数量积求出ca的值，然后求解三角形的面积．
【详解】
在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，且3a2+3c2﹣3b2＝2ac，
可得cosB
2221
23
a c b
ac
+-
==，则sinB
22
=，
BA
u u u r
⋅BC=
u u u r
2，可得cacosB＝2，则ac＝6，
∴△ABC的面积为：
1122
6
22
acsinB=⨯⨯=22．
故选C．
【点睛】
本题考查三角形的解法，余弦定理以及向量的数量积的应用，考查计算能力．
9．如图，AB，CD是半径为1的圆O的两条直径，3
AE EO
=
u u u v u u u v
，则•
EC ED
u u u v u u u v
的值是（）A．
4
5
-B．
15
16
-C．
1
4
-D．
5
8
-
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量表示化简数量积，即得结果.
【详解】
()()()()
•••
EC ED EO OC EO OD EO OC EO OC
=++=+-
u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
2
22115
1
416
EO OC
⎛⎫
=-=-=-
⎪
⎝⎭
u u u v u u u v
,选B.
【点睛】
本题考查向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.
10．在平行四边形ABCD 中，4AB =，2AD =，3BAD π∠=，M 为DC 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AB NB AM AN -=-u u u v u u u v u u u u v u u u v ，则AM AN ⋅=u u u u v u u u v （ ）
A ．16
B ．12
C ．8
D ．6 【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件及向量加减法的几何意义即可得出|AN u u u r |＝|MN u u u u r |，再根据向量的数量积公式计算即可
【详解】
由|AB NB -u u u r u u u r |＝|AM AN -u u u u r u u u r |，可得|AN u u u r |＝|NM u u u u r
|，
取AM 的中点为O ，连接ON ，则ON ⊥AM ， 又12
AM AD AB =+u u u u r u u u r u u u r ， 所以AM u u u u r •21122AN AM ==u u u r u u u u r （12AD AB +u u u r u u u r ）212=（2214
AD AB AD ++u u u r u u u r u u u r •AB u u u r ）12=（414+
⨯16+2×412
⨯）＝6， 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了平面向量的几何表示，数量积的几何意义，运算求解能力，属于中档题
11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +1=a n +a (n ∈N *，a 为常数)，若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r ，，满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，A ，B ，C 三点共线且该直线不过O 点，则S 2010等于（ ）
A ．1005
B ．1006
C ．2010
D ．2012 【答案】A
【解析】
【分析】 根据a n +1=a n +a ，可判断数列{a n }为等差数列，而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，及三点A ，B ，C 共线即可得出a 1+a 2010=1，从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值.
由a n +1=a n +a ，得，a n +1﹣a n =a ；
∴{a n }为等差数列； 由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ，
所以A ，B ，C 三点共线；
∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1，
∴S 2010()
12010201020101100522
a a +⨯===. 故选：A.
【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，其前n 项和公式以及共线向量定理，还考查运算求解的能力，属于中档题.
12．在边长为2的等边三角形ABC 中，若1,3
AE AC BF FC ==u u u v u u u v u u u v u u u v ，则BE AF ⋅=u u u v u u u v （ ） A ．23- B ．43- C ．8
3- D ．2-
【答案】D
【解析】
【分析】
运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．
【详解】
在边长为2的等边三角形ABC 中，若13
AE AC =u u u r u u u r ， 则BE AF ⋅=u u u r u u u v （AE AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u r u u u r ） ＝（13AC AB -u u u r u u u r ）•12
（AC AB +u u u r u u u r ） 1123AC =u u u r （2AB -u u u r 223AB -u u u r •AC =u u u r ）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=- ⎪⎝⎭
故选：D
【点睛】
本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
13．已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，则当,1[]2t ∈-时，a tb -r r 的最大值为（ ）
A B C ．2 D
【解析】
【分析】 根据(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ，得到1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，再利
用a tb -==r r 求解.
【详解】 因为(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r ，a b ⊥r r ， 所以1a =r ，1b =r ，0a b ⋅=r r ，
所以a tb -==r r
当[]2,1t ∈-时，max
a t
b -=r r 故选：D
【点睛】
本题考查向量的模以及数量积的运算，还考查运算求解能力，属于中档题.
14．若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP →→g 的最大值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】C
【解析】
【分析】 设(),P x y ，由数量积的运算及点P 在椭圆上，可把OP FP ⋅u u u r u u u r 表示成为x 的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.
【详解】
设(),P x y ，()()1,0,0,0F O -，则
()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ，则
22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ，
因为点P 为椭圆上，所以有：22143
x y +=即22334y x =-， 所以()222223132244
x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤，
所以当2x =时，OP FP ⋅u u u r u u u r
的最大值为6
【点睛】
本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.
15．在ABC V 中，E 是AC 的中点，3BC BF =u u u r u u u r ，若AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r ，则EF =u u u r （ ）
A ．2136a b -r r
B ．1133a b +r r
C ．1124a b +r r
D ．1133a b -r r 【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的运算法则计算得到答案.
【详解】 1223EF EC CF AC CB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()
12212336AC AB AC AB AC =+-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2136a b =-r r . 故选：A .
【点睛】
本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.
16．如图，已知1OA OB ==u u u v u u u v ，2OC =u u u v ，4tan 3
AOB ∠=-，45BOC ∠=︒，OC mOA nOB u u u v u u u v u u u v =+，则m n
等于（ ）
A ．57
B ．75
C ．37
D ．73
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意建立直角坐标系，根据已知角，可得点B 、C 的坐标，利用向量相等建立关于m 、n
的方程，求解即可．
【详解】
以OA 所在的直线为x 轴，过O 作与OA 垂直的直线为y 轴，建立直角坐标系如图所示：
因为1OA OB ==u u u r u u u r ，且4tan 3AOB ∠=-，∴34cos sin 55
AOB AOB ∠=-∠=，， ∴A （1，0），B （34
55
-，），又令θAOC ∠=，则θ=AOB BOC ∠-∠，∴41
3tan θ413
--=-=7， 又如图点C 在∠AOB 内，∴cos θ=210，sin θ=7210
,又2OC u u u v =C （1755，）， ∵OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r ，（m ，n ∈R ），∴（1755，）=（m,0）+（3455n n -，）=(m 35n -，45
n ） 即
15= m 35n -，7455n =，解得n=74，m=54，∴57
m n =， 故选A ．
【点睛】 本题考查了向量的坐标运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是常用的处理向量运算的方法，涉及到三角函数的求值，属于中档题．
17．在四边形ABCD 中，//AD BC ，2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，点M 在边CD 所在直线上，则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为（ ）
A ．714-
B ．24-
C ．514-
D ．30-
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据AE BE =求
出E 的坐标，求出边CD 所在直线的方程，设(,M x +，利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ，根据二次函数的性质求出最大值.
【详解】
解：依题意，如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，由2AB =，5AD =，3BC =，60A ∠=︒，
()
0,0A ∴，(B ，(C ，()5,0D
因为点E 在线段CB 的延长线上，设(0E x ，01x < AE BE =Q
()22
2001x x +=-解得01x =-
(
E ∴-
(
C Q ，()5,0D
CD ∴所在直线的方程为y =+
因为点M 在边CD 所在直线上，故设(,M x + (
,AM x ∴=+u u u u r
(
1E x M -=--u u u r
()
1AM ME x x -∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-
242660x x =-+-
23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝
当134
x =时()max 714
AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选：A
【点睛】
本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.
18．已知,A B 是圆22
:16O x y +=的两个动点，524,33AB OC OA OB ==-u u u v u u u v u u u v ，若M 分别是线段AB 的中点，则·OC OM =u u u v u u u u v （ ） A ．843+B ．843-C ．12 D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】 由题意1122
OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ，则22521151133226
32OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，又圆的半径为4，4AB =uu u r ，则,OA OB u u u r u u u r 两向量的夹角为π3．则8OA OB ⋅=u u u v u u u v ，2216OA OB ==u u u v u u u v ，所以12OC OM ⋅=u u u r u u u u r ．故本题答案选C ．
点睛：本题主要考查平面向量的基本定理.用平面向量的基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并且运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合,在基底未给出的情况下进行向量的运算,合理地选取基底会给解题带来方便.进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中.
19．在四边形ABCD 中,若12
DC AB =u u u r u u u r ,且|AD u u u r |=|BC uuu r |,则这个四边形是( )
A ．平行四边形
B ．矩形
C ．等腰梯形
D ．菱形
【答案】C
【解析】 由12DC AB =u u u r u u u r 知DC ∥AB ,且|DC|=12
|AB|,因此四边形ABCD 是梯形.又因为|AD u u u r |=|BC uuu r |,所以四边形ABCD 是等腰梯形.
选C
20．已知1F 、2F 分别为双曲线22
146x y -=的左、右焦点，M 为双曲线右支上一点且满足120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ，若直线2MF 与双曲线的另一个交点为N ，则1MF N ∆的面积为（ ）
A ．12
B ．
C ．24
D ．【答案】C
【解析】
【分析】 设1MF m =，2MF n =，根据双曲线的定义和12MF
MF ⊥，可求出6m =，2n =，再设2NF t =，则14NF t =+根据勾股定理求出6t =即可求出三角形的面积.
【详解】 解：设1MF m =，2MF n =， ∵1F 、2F 分别为双曲线22
146
x y -=的左、右焦点，
∴24m n a -==，122F F c ==
∵120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v ， ∴12MF MF ⊥，
∴222440m n c +==，
∴()2
222m n m n mn -=+-，
即2401624mn =-=，
∴12mn =，
解得6m =，2n =， 设2NF t =，则124NF a t t =+=+，
在1Rt NMF ∆中可得()()222426t t +=++，
解得6t =， ∴628MN =+=，
∴1MF N ∆的面积111862422
S MN MF =
⋅=⨯⨯=. 故选C ．
【点睛】
本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．。