矩阵的初等变换典型例题

于是： 令：
I 0 A = P r Q， 0 0 I 0 A = ( PQ ) Q−1 r Q ， 0 0
I 0 B = PQ , C = Q−1 r Q 0 0 则显然 B 可逆， C 2 = C ， C 是幂等阵，且： A = BC 。
解：选择（ D） 。
a21 B = a11 a +a 11 31 0 1 0 , P2 = 0 1 1
a22
a23
a12 a13 a12 + a32 a13 + a33 0 0 1 0 ，则有（） 。 0 1

100 101
0 0 1 将初等矩阵 P13 = 0 1 0 右乘 A ，相当于交换 A 的 1， 1 0 0 3 两列，若用 P13 右乘 A 奇数次，则 A 的 1， 3 两列对换。 a3 由此：原式 = b3 c 3 a2 b2 c2 a1 b1 。 c1
(B) AP2 P1 = B ； (D) P1 P2 A = B 。
a14 a24 例、设 A = ( aij ) , B = 4× 4 a34 a44 0 0 0 1 0 1 0 0 P1 = , P = 0 0 1 0 2 1 0 0 0 −1 其中 A 可逆，则 B = 解：由已知： B = AP1 P2 ，
从而： 或： 从而：
a13 a 23 a 33 a43
1 0 0 0 0 0 1 0
a12 a 22 a 32 a42
0 1 0 0
a11 a 21 a 31 a41 0 0 ， 0 1
。
B −1 = P2−1 P1−1 A−1 = P2 P1 A−1 。
1 1 2 0 1 1 0 1 0 0 1
−1
0 1 0 A = E 1 −2 1 5
−1
1 0 A= −2 1
即有：
1 A= 2
1 0 0 1 1 0
1 AB = A P4 g P23 g A 4 1 −1 −1 −1 = AA P23 P4 = P23 P4 ( 4 ) 4 1 0 0 0 0 0 1 0 。 = 0 1 0 0 0 0 0 4
−1
−1
例、将矩阵 A = 解：因为
B = AP2 P1
B −1 = P1−1 P2− A−1 = P1 P2 A−1 。
例、设 A 为 n 阶方阵， A = 2 ，将 A 的 i , j 两列互换 所得的矩阵叫做 B ，求： B* A 。 解：因为： A = 2 ，故： B = −2 ≠ 0 ， 从而 B 可逆，且： B = B B ，
0 1 1 0 5 0 1 5 0
1 1 0 E 2 1 0 1 −1 2 0 。 1 0 1
−1
−1
例：设
A = ( aij )3×3 ,
0 1 P1 = 1 0 0 0 (A) AP1 P2 = B ； (C) P2 P1 A = B ；
ae?????015????????????????101512011011002101ae????????????????????05????20?????????????????1111112010110102101???即有
矩阵初等变换典型例题
a1 a2 a3 0 0 1 b1 b2 b3 0 1 0 c c c 1 0 0 1 2 3 0 0 1 解：将初等矩阵 P13 = 0 1 0 左乘 A ，相当于交 1 0 0 换 A 的 1，3 两行，若用 P13 左乘 A 偶数次，则不改变 A ； 0 0 1 例、 计算 0 1 0 1 0 0
例、 将 n 阶可逆矩阵 A 的 i , j 两行互换后得到的矩阵记 为 B ，则 AB −1 = 。 解： AB −1 = A Pij A
(
)
−1
= AA−1 Pij−1 = Pij
例、设 A 为 4 阶可逆方阵，交换 A 的 2，3 两行，再用 1 去乘第 4 行所得的矩阵叫 B ，则 AB −1 = 。 4 1 解：由题意： B = P4 g P23 g A ， 4 于是：
* −1
又由题设知： B = APij ， 于是：
B* A = B B−1 A = −2 ( APij ) A
−1
= −2 Pij−1 A −1 A = −2 Pij 。 例、证明：任意一个 n × n 矩阵均可表为可逆阵与幂等
阵的积。 证明：设 r ( A ) = r ，则存在可逆的 P , Q ，使得：
2 −1 表示成为初等矩阵的乘积。 4 3
2 −1 −2( 1)+ ( 2) 2 A= → 4 3 0 (1 ) 2 0 1 1 ( 2) +( 1) 2 → → 0 1 0
所以：
−1 1 ( 2) 2 −1 5 → 5 0 1 0 =E 1