华东师大版2019-2020学年九年级数学第二学期第26章 二次函数单元测试题(含答案)

第26章二次函数
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
1.下面的函数是二次函数的是( )
A.y=3x+1
B.y=x2+2x
C.y=
D.y=
2.一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式:h=-6(t-2)2+7,则小球距离地面的最大高度是( )
A.2米
B.5米
C.6米
D.7米
3.下列关于函数y=-x2-1的图象的说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y 轴;④顶点坐标是(0,0);⑤当x>1时,y随x的增大而减小.其中正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.在同一平面直角坐标系内,将函数y=2x2+4x-3的图象向右平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的新图象的顶点坐标是 ( )
A.-,-
B.,-
C.,-
D.-,-
5.二次函数的图象如图1所示,则其表达式是 ( )
A.y=-x2+2x+3
B.y=x2-2x-3
C.y=-x2-2x+3
D.y=-x2-2x-3
6.如图2,在Rt△AOB中,AB⊥OB,且AB=OB=3,设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S,则S与t之间的函数关系图象为下列选项中的( )
图2
图3
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)
7.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上的两点,该抛物线的顶点坐标是.
8.如图4,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为.
9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)的x与y的部分对应值如下表,则当x满足的条件是时,y=0;当x满足的条件是时,y>0.
10.已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如图5所示,则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为.
图5
11.某服装店购进单价为15元/件的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元/件时平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元时,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.
12.如图6是抛物线y1=ax2+bx+c的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,有下列结论:①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b.其中正确的结论是.(只填写序号)
图6
三、解答题(本大题共4小题,共52分)
13.(12分)如图7,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1,-1),B(0,2),C(1,3).
(1)求该二次函数的关系式;
(2)画出该二次函数的图象.
图7
14.(12分)图8是抛物线形拱桥的剖面图,拱底宽12 m,拱高8 m.
(1)请建立适当的平面直角坐标系,求出抛物线对应的函数关系式;
(2)若设计警戒水位为6 m,当拱桥内水位达到警戒水位时,拱桥内的水面宽度是多少米?
图8
15.(12分)已知二次函数y=x2-2mx+m2+3(m是常数).
(1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点?
16.(16分)如图9所示,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,连结AD,P是线段AD上的一个动点(不与点A,D重合).经过点P作y轴的垂线,垂足为E,连结AE.
(1)求抛物线所对应的函数关系式,并写出顶点D的坐标;
(2)如果点P的坐标为(x,y),△PAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式,直接写出自变量x的取值范围,并求S的最大值;
(3)在(2)的条件下,当S取到最大值时,过点P作x轴的垂线,垂足为F,连结EF,把△FPE沿直线EF折叠,点P的对应点为点P',求出点P'的坐标,并判断点P'是否在该抛物线上.
图9
1. B
2. D
3. D
4. C
5. A
6. D
7.[答案] (1,4)
8.[答案] (1+,2)或(1-,2)
9.[答案] x=0或x=2 0<x<2
10.[答案] x1=-1,x2=3
11.[答案] 22
12.[答案] ②⑤
13.解:(1)根据题意,得
,
--,
,
解得-, , ,
所以该二次函数的关系式为y=-x2+2x+2.
(2)略.
14.解:(1)答案不唯一,如建立如图所示的平面直角坐标系,则A(6,0),B(0,8).
设抛物线的函数关系式为y=ax2+c.由题意,得
,
,解得-, ,
∴抛物线对应的函数关系式为y=-x2+8.
(2)将y=6代入y=-x2+8,得6=-x2+8,解得x=±3,
∴拱桥内的水面宽度为6 m.
答:当拱桥内水位达到警戒水位时,拱桥内的水面宽度是6 m.
15.解:(1)证明:证法一:因为--4(m2+3)=-12<0,
所以方程x2-2mx+m2+3=0没有实数根,
所以不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.
证法二:因为a=1>0,
所以该函数的图象开口向上.
又因为y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3≥3,所以该函数的图象在x轴的上方,
所以不论m为何值,函数y=x2-2mx+m2+3的图象与x轴没有公共点.
(2)y=x2-2mx+m2+3=(x-m)2+3.
把函数y=(x-m)2+3的图象沿y轴向下平移3个单位后,得到函数y=(x-m)2的图象,它的顶点坐标是(m,0),因此,这个函数的图象与x轴只有一个公共点.
所以把函数y=x2-2mx+m2+3的图象沿y轴向下平移3个单位后,得到的函数的图象与x轴只有一个公共点.
16.解:(1)∵抛物线过点A(-3,0),B(1,0),
∴设其函数关系式为y=a(x+3)(x-1).
将点C的坐标代入关系式,得a=-1,
即抛物线所对应的函数关系式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3,顶点D的坐标为(-1,4).
(2)如图①,过点A作AH⊥EP交EP的延长线于点H.
∵A(-3,0),D(-1,4),
∴直线AD所对应的函数关系式为y=2x+6,
∴S=
AH ·EP=-
xy=-x(x+3)=-x+
2
+
,自变量x 的取值范围是-3<x<-1.
当x=-
时,S 取得最大值,最大值为
.
(3)当S 取到最大值时,点P 的坐标为-
,3,且点E 与点C 重合. 如图②所示,过点P'作x 轴的垂线交x 轴于点N,交PE 的延长线于点M.
∵PE=1.5,PF=3,且△FPE ≌△FP'E, ∴P'F=PF=3,P'E=PE=1.5. 设点P'的坐标为(m,n),
可得ME=m,MP'=3-n,NP'=n,NF=m+1.5. 易证△MEP'∽△NP'F,
∴ '= ' = ' ' =
.
,
即
= -
. =
,解得m=0.9,n=1.8, ∴P'(0.9,1.8).
当x=0.9时,y=-x2-2x+3=-0.81-1.8+3=0.39≠1.8, ∴点P'不在抛物线y=-x2-2x+3上.。