高中数学第二章概率253离散型随机变量的方差课件北师大版选修2

(2)若ξ～B(n，p)，则D(ξ)＝np(1－p)，若ξ服从两点分布，则 D(ξ)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述两条可大大简化解 题过程．
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◎思考题 2 已知 X 是一个随机变量，随机变量 X＋5 的分
布列如下：
X＋5 －2 －1 0
1
2
P
0.2 0.1 0.1 0.4 0.2
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n
【思路】 解答本题可先利用分布列的性质 p i＝1求出a的
i＝1
值，然后写出相应的分布列并计算出相应期望与方差，最后结 合甲、乙两人射中环数的期望与方差分析两人的射击技术的好 坏．
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【解析】 (1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1 解得 a＝0.1.
∵乙射中 10，9，8 环的概率分别为 0.3，0.3，0.2，
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题型二 方差的性质 例2 已知随机变量ξ的分布列为
ξ1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 另一随机变量η＝2ξ－3，求E(η)，D(η)．
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【解析】 E(η)＝2E(ξ)－3＝2×(1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋ 4×0.2＋5×0.1)－3＝2×3－3＝3，
n
偏离程度，而 D(X)＝ (xi－E(X))2pi 为这些偏离程度的加权平
i＝1
均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度．我们称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 D（X）为随机变量 X 的标准差．
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3．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离 于均值的平均程度，方差(或标准差)越小，则随机变量偏离于均 值的平均程度越小．
样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度， 用它可以刻画样本数据的稳定性．
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2．随机变量的方差、标准方差的定义
设离散型随机变量的分布列如下表．
X x1 x2 … xi … xn
p
p1
p2
…
pi
…
pn
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则(xi－E(X))2 描述了 xi(i＝1，2，…，n)相对于均值 E(X)的
n
则D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方
i＝1
根 D（X）为随机变量X的标准差，记作σ(X)．
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注意 (1)随机变量的方差与标准差反映了随机变量值偏离 于均值的平均程度；
(2)随机变量的方差是一个常数，是样本方差在样本容量无 限增加(当样本容量趋于无穷时)时的极限，所以样本方差是一个 随机变量；
【答案】 0.49
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(2)某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8， 5，6，则该组数据的方差s2＝________．
【解析】 可以先把这组数都减去6再求方差．
【答案】
16 5
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休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好
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课后巩固
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1．下面说法中正确的是( ) A．离散型随机变量 ξ 的期望 E(ξ)反映了 ξ 取值的概率的平 均值 B．离散型随机变量 ξ 的方差 D(ξ)反映了 ξ 取值的平均水平 C．离散型随机变量 ξ 的期望 E(ξ)反映了 ξ 取值的波动水平 D．离散型随机变量 ξ 的方差 D(ξ)反映了 ξ 取值的波动水平
求(1)E(X＋5)的值；
(2)D(X)的值．
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【解析】 (1)∵X＋5 的分布列已知，∴E(X＋5)＝－2×0.2 ＋(－1)×0.1＋0×0.1＋1×0.4＋2×0.2＝0.3.
(2)D(X)＝D(X＋5)＝(－2－0.3)2×0.2＋(－1－0.3)2×0.1＋(0 －0.3)2×0.1＋(1－0.3)2×0.4＋(2－0.3)2×0.2＝2.01.
A．6和2.4
B．2和2.4
C．2和5.6
D．6和5.6
【答案】 B
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题型四 方差的应用 例4 甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立 的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环 数均大于6环，且甲射中的10，9，8，7环的概率分别为0.5， 3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列； (2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技 术．
复习课件
高中数学第二章概率253离散型随机变量的方差课件北师大版选修2
2021/4/17
高中数学第二章概率253离散型随机变量的方差课件北师大 版选修2
§5 离散型随机变量的均值与 方差
第三课时 离散型随机变量的方差
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1．样本方差：对于一个样本x1，x2，…，xn，其方差为 1n[(x1－－x )2＋(x2－－x )2＋…＋(xn－－x )2]，其中 －x ＝1n(x1＋x2＋…＋xn)．
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探究3 求离散型随机变量的期望与方差的关键环节是以下 两点：
(1)写出离散型随机变量的分布列； (2)正确应用均值与方差的公式进行计算(要熟练掌握两点分 布、二项分布的期望与方差的公式)．
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◎思考题3 已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10，0.6)，则
E(η)，D(η)分别是( )
∴D(X)＝19，∴σ(X)＝ D（X）＝13.
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4．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3 ＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1， p2，p3分别为________，________，________．
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答案 0.4 0.1 0.5 解析 由题意知，－p1＋p3＝0.1， 1．21p1＋0.01p2＋0.81p3＝0.89. 又p1＋p2＋p3＝1，解得p1＝0.4，p2＝0.1，p3＝0.5.
n
(3)方差公式的几种形式：D(X)＝E(X－E(X))2＝ (xi－
i＝1
E(X))2·pi＝E(X2)－(E(X))2.
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2．方差的性质 当a，b均为常数时，随机变量函数η＝aξ＋b的方差D(η)＝ D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．特别是： (1)当a＝0时，D(b)＝0，即常数的方差等于0； (2)当a＝1时，D(ξ＋b)＝D(ξ)，即随机变量与常数之和的方 差等于这个随机变量的方差本身； (3)当b＝0时，D(aξ)＝a2D(ξ)，即随机变量与常数之积的方 差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．
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【解析】 (1)投篮一次命中次数X的分布列为
X
0
1
P
ห้องสมุดไป่ตู้
0.4
0.6
则E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，
D(X)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.
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(2)由题意，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～ B(5，0.6)．
由二项分布期望与方差的计算公式，有 E(η)＝5×0.6＝3，D(η)＝5×0.6×0.4＝1.2.
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思考题 4 有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一
份数学试卷时，各自的成绩在 80 分、90 分、100 分的概率分布
大致如下表所示：
甲：
分数 X
80
90
100
概率 P
0.2
0.6
0.2
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乙：
分数 Y
80
90
100
概率 P
0.4
0.2
0.4
试分析两名学生的成绩水平．
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【解析】 ∵E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90， D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝ 40， E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90， D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝ 80， ∵E(X)＝E(Y)，D(X)<D(Y)， ∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的 学习成绩较稳定.
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题型三 两点分布与二项分布的方差 例 3 已知某运动员投篮命中率 p＝0.6. (1)求一次投篮命中次数 X 的期望与方差； (2)求重复 5 次投篮时，命中次数 η 的均值与方差．
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【思路】 (1)投篮一次可能投中，也可能不中，投中次数 X 服从两点分布．
(2)重复五次投篮的投中次数 η 服从二项分布．
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D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7 －8.7)2×0.2＝1.21.
由于 E(ξ)>E(η)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又因为 D(ξ)<D(η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． 所以，甲比乙的技术好．
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探究4 离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均 水平，在实际应用中，往往通过比较期望值的大小确定质量的 优劣，水平的高低，当期望值一样时，还必须通过比较二者的 方差来做出判断．
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课时学案
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题型一 利用定义求方差 例1 已知随机变量X的分布列为：
X0 1 2 3 4 5 P 0.1 0.15 0.25 0.25 0.15 0.1 求D(X)． 【思路】 欲求D(X)必须先求E(X)．
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【解析】 E(X)＝0.1×0＋0.15×1＋0.25×2＋0.25×3＋ 0.15×4＋0.1×5＝2.5，
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◎思考题 1 (1)已知随机变量 ξ 的分布列如下：
ξ
0
1
x
P
1 5
p
3 10
且 E(ξ)＝1.1，则 D(ξ)＝________．
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【解析】
x，p 应满足15p＋＋p31＋x0＝1301＝.1，1，
解得 p＝12，x＝2.
∴D(ξ)＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×130＝0.49.
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答案 D 解析 由于离散型随机变量ξ的期望 E(ξ)反映的是随机变量 的平均取值水平，而不是概率的平均值，故 A 错．而 D(ξ)则反映 随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．
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2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )
A．n＝8，p＝0.2
B．n＝4，p＝0.4
所以 D(X)＝(0－2.5)2×0.1＋(1－2.5)2×0.15＋(2－2.5)2× 0.25＋(3－2.5)2×0.25＋(4－2.5)2×0.15＋(5－2.5)2×0.1＝2.05.
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探究 1 求方差的步骤： (1)求 X 的分布列； (2)求 X 的期望 E(X)； (3)利用方差定义求 D(X)．
D(η)＝22·D(ξ)＝22×[(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2 ×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1]＝4×(0.4＋0.2＋0.2＋0.4)＝ 4.8.
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探究2 (1)对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注 意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)，这样处理既避免了求 随机机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了 计算过程．
4．若 a、b 为常数，则 D(aX＋b)＝a2D(X)． 5．若 X 服从两点分布，则 D(X)＝p(1－p)． 6．若 X～B(n，p)，则 D(X)＝np(1－p)．
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1．离散型随机变量的方差与标准差 设离散型随机变量X的分布列为
X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
C．n＝5，p＝0.32
D．n＝7，p＝0.45
答案 A 解析 由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝ 0.8，所以p＝0.2，n＝8.
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3．已知随机变量X，D(10X)＝
100 9
，则X的标准差为
________．
答案
1 3
解析 ∵D(10X)＝100D(X)＝1090，
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5．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片 上写上0，1，2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然 后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：
∴乙射中 7 环的概率为 1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
∴ξ、η 的分布列分别为
ξ 10 9
8
7
P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10
9
8
7
P 0.3 0.3 0.2 0.2
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(2)由(1)可得 E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7 －9.2)2×0.1＝0.96；