山东省威海中学2007-2008学年度第一学期期中考试高二(数学理)

山东省威海中学2007-2008学年度第一学期期中考试
高二数学试题（理）
考试时间：120分钟 试卷分值：150分
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。

第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置。

第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。

答案写在试卷上均无效，不予记分。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一个是正确的。

）
1．我校高中生共有2700人,其中高一年级900人,高二年级1200人,现采取分层抽样法抽取容量为135的样本,那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为
A 、45,75,15
B 、45,45,45
C 、30,90,15
D 、 45,60,30
2．有下列四个命题：
①“若x+y=0 , 则x ,y 互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤1 ,则x 2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为 A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．③④ 3．经过点)62,62(-M 且与双曲线13
42
2=-y x 有共同渐近线的双曲线方程为 A ．18
62
2=-y x
B ．1682
2=-x y
C ．16
82
2=-y x
D ．18
62
2=-x y
4．下列命题不正确的是
A 使用抽签法,每个个体被抽中的机会相等;
B 使用系统抽样从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本,确定分段间隔k 时，若n
N
不是整数,则需随机地从总体中剔除几个个体;
C 分层抽样就是随意的将总体分成几部分;
D 无论采取怎样的抽样方法,必须尽可能保证样本的代表性.
5．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是随圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ|=|PF 2|， 那么动点Q 的轨迹是
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线的一支
D ．抛物线
6．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方 图如右图所示，时速在[50,60)的汽车大约有
A .30辆
B .40辆
C .60辆
D .80辆
7．如果命题P ：{}∅∈∅，命题Q ：}{φφ≠
⊂，
那么下列结论不正确的是
A ．“P 或Q”为真
B ．“P 且Q”为假
C ．“非P”为假
D ．“非Q”为假
8．在同一坐标系中，方程)0(012
2
2
2
2
>>=+=+b a by ax x b x a 与的曲大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．过双曲线12222=-y x 的右焦点且方向向量为)3,1(的直线L 与抛物线x y 42
=交于
A 、
B 两点，则|AB|的值为
A ．
73
8 B ．
3
16 C ．
3
8 D ．
73
16
10．一个样本M 的数据是12,,
,n x x x ，它的平均数是5，另一个样本N 的数据是
，
x ，x x n 22221,, 它的平均数是34．那么下面的结果一定正确的是
A. 29M s =
B. 29N s =
C. 23M s =
D. 32
=N
S 11．对于抛物线x y 42
=上任意一点Q ，点P （a ，0）都满足|PQ|≥|a|，则a 的取值范围是
A ．)0,(-∞
B ．]2,(-∞
C ．[0，2]
D ．（0，2）
12．如图在△ABC 中，2
1
2tan
=C ，0=∙，0)(=+∙，则过点C ，以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为
A 、2
B 、3
C 、2
D 、3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个。

命中个数的茎叶图如下．则罚球命中率较高的是 。

14．命题“2
,10∃∈+<x R x ”的否定是 ． 15．设全集S 有两个子集A ,B ,若由x ∈S A ⇒x ∈B ,则x ∈A 是x ∈S B 的 条件. 16．已知抛物线2x y =上有一条长为2的动弦AB ，则AB 中点M 到x 轴的最短距离为 .
三、解答题（共74分）
17．（本题满分12分）某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：
（1）画出散点图；（2）求线性回归方程；
（3）预测当广告费支出为7百万元时的销售额。

参考公式：
18．（本小题满分12分）
已知p：-x2+8x+20≥0，q：x2－2x＋1－m2≤0（m＞0）．若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
19．（本小题满分12分）下表是某中学对本校初中二年级女生身高情况进行抽测后所得的部分资料(身高单位：cm,测量时精确到1cm)。

已知身高在151cm (含151cm)以下的被测女生共3人．
⑴求所有被测女生总数；
⑵求身高在161cm (含161cm)
⑶完成频率分布直方图．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系x O y中，直线l与抛物线2y＝2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么
→
--
OA
→
--
⋅OB＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
21．（本小题满分12分）
设x、R
y∈，、为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量
8||||,)2(,)2(=+-+=++=y x y x 且.
（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程；
（2）过点（0，3）作直线L 与曲线C 交于A 、B 两点，设OB OA OP +=，是否存在这样的直线L ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线L 的方程；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分14分）
如右图，A 、B 分别是椭圆)0(122
22>>=+b a b
x a y 的上、下两顶点，P 是双曲线
122
22=-b
x a y 上在第一象限内的一点，直线PA 、PB 分别交椭圆于C 、D 点，如果D 恰是PB 的中点.
（1）求证：无论常数a 、b 如何，直线CD 的斜率恒为定值； （2）求双曲线的离心率，使CD 通过椭圆的上焦点.
山东省威海中学2007-2008学年度第一学期期中考试
高二数学试题（理）参考答案及评分标准
一、选择题：
1.D
2.C
3.D
4.C
5.A
6.C
7.B
8.D
9.B 10.A 11.A 12.B 二、填空题：
13．甲 14．2
,10x R x ∀∈+≥ 15．必要 16．4
3
三、解答题：
17．（1）
（2）b=7，a=15，ŷ=7x+15
（3）当x=7时，ŷ=64 18．（本小题满分13分）
已知p ：-x 2+8x+20≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0（m ＞0）．若“非p”是“非q”的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
解：p ：210x -≤≤，q ：11m x m -≤≤+…………………4分 ∵“非p”是“非q”的充分不必要条件
∴q 是p 的充分不必要条件 …………………6分
012110m m m >⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
03x <≤ …………………12分 ∴实数m 的取值范围为03x <≤。

…………………13分 19．解⑴
3
0.04+0.02
=50（人）………………………………………………………………3分
⑵(0.2+0.18+0.06)×50=22（人）………………………………………………………6分 ⑶要点：横轴：身高/cm ；纵轴：频率/组距；………………………………………8分
长方形的高的比例：1：2：4：6：15：10：9：3…………………………14分
20．证明：（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2).
当直线l 的钭率下存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6).∴⋅=3
当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为y=k(x －3),其中k≠0.
当
y 2=2x 得ky 2－2y －6k=0,则y 1y 2=－6.
y=k(x －3)
又∵x 1=
21y 21,x 2=2
1y 2
2,
∴⋅=x 1x 2+y 1y 2=
21221)(4
1
y y y y +=3. 综上所述,命题“如果直线l 过点T(3,0),那么OB OA ⋅=3”是真命题.
(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果⋅=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2),B(2
1
,1),此时OB OA ⋅=3, 直线AB 的方程为Y=
3
2
(X+1),而T(3,0)不在直线AB 上. 说明：由抛物线y 2=2x 上的点A(x 1,y 1)、B(x 12,y 2)满足⋅=3,可得y 1y 2=－6.
或y 1y 2=2,如果y 1y 2=－6.,可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2,可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).
21．（1）解法一：8||||,)2(,)2(=+-+=++=b a j y i x b j y j x a 且 ，
∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.…………3分
∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为
116
122
2=+y x ，………………5分 解法二：由题意知，8)2()2(222
2
=-++++y x y x ………………2分
移项，得2222
)2(8)2(-+-
=++y x y x ，
两边平方，得64)2(16)2()2(2
2
2
2
2
2
+-+--+=++y x y x y x ，整理，得
y y x -=-+8)2(222，
两边平方，得2
2
2
)8(])2([4y y x -=-+，展开，整理得
116
122
2=+y x .………5分 （2）∵L 过y 轴上的点（0，3），若直线L 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点. ∵0=+=，
∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾，………………6分 ∴直线L 的斜率存在，设L 方程为),(),,(,32211y x B y x A kx y +=.
由⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=116
12,32
2y x kx y 消去y 得：02118)34(22=-++kx x k .………………8分
此时，0)21)(34(4)18(2
2>-+-=∆k k 恒成立. 且2
212213421
,3418k
x x k k x x +-=+-
=+.………………9分 ∴+=, 四边形OAPB 是平行四边形，
若存在直线L ，使得四边形OAPB 是矩形，则0,=⋅⊥OB OA 即.
0),,(),,(21212211=+=⋅∴==y y x x OB OA y x OB y x OA ，………………11分
即09)(3)1(21212
=++++x x k x x k ， 也即09)3418(3)3421()1(2
22
=++-⋅++-
⋅+k
k
k k k ， 即4
5,1652
±==
k k 解得.……………………………………13分 ∴存在直线L ：34
5
+±=x y ，使得四边形OAPB 是矩形.………………14分
22．解：（1）设P 点坐标为),(00y x ，又A 、B 坐标分别是),0(a 、),0(a -
而D 是PB 的中点，∴D 点坐标为)2
,2(
00a
y x -，……………………2分 把D 点坐标代入椭圆方程，得：4)(220
2
20=+-b x a a y ① 又122
220=-b
x a y ② 由①②解得，a y a y -==00(2舍去）
P b x ∴=,30点坐标为)2,3(a b ………………………………5分
故b a x a y k PA
300=-=，直线PA 的方程是1322
22=++=
b x a y a x b
a y 与联立，解得 C 点坐标为)2,23(a
b -
，又D 点坐标为)2
,23(a
b ……………………7分
∴C 、D 两点关于y 轴对称，故无论a 、b 如何变化，都有CD//x 轴，直线CD 的斜率恒 为常常0.……………………9分
（2）当CD 过椭圆焦点),0(22b a -时，则22
2
4
3
,2a b a b a =∴=
-，……10分 双曲线中，a b a c 2
7
22=
+=
， ∴双曲线的离心率2
7==a c e .………………………………12分。