《自动控制原理》---丁红主编---第三章习题答案

习题
3-1.选择题：
（1）已知单位负反馈闭环系统是稳定的，其开环传递函数为：
)1
(
2)
s
)
(
2+
+
+
=
s
s
s
s
G
（，系统对单位斜坡的稳态误差是：a.0.5 b.1
3-2已知系统脉冲响应
t
e
t
k25.1
0125
.0
)(-
=
试求系统闭环传递函数)(s
Φ。

解Φ()()./(.)
s L k t s
==+
00125125
3-3 一阶系统结构图如图3-45所示。

要求系统闭环增益2
=
Φ
K，调节时间
4.0
≤
s
t s，试确定参数
2
1
,K
K的值。

图3.38 题3-3图
解由结构图写出闭环系统传递函数
1
1
1
)
(
2
1
2
2
1
1
2
1
1
+
=
+
=
+
=
Φ
K
K
s
K
K
K
s
K
s
K
K
s
K
s
令闭环增益2
1
2
=
=
ΦK
K，得：5.0
2
=
K
实用文档
实用文档 令调节时间4.0332
1≤=
=K K T t s ，得：151≥K 。

3-4 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线如图3.39 所示。

如果该系统为单位反馈控制系统，试确定其开环传递函数。

图3.39 题3-4图
解：由图2.8知，
开环传递函数为
3-5 设角速度指示随动统结构图如图3-40所示。

若要求系统单位阶跃响应无
超调，且调节时间尽可能短，问开环增益K应取何值，调节时间
s
t是多少？
实用文档
实用文档
图3-40 题3-5图
解：依题意应取 1=ξ，这时可设闭环极点为02,11-=λ。

写出系统闭环传递函数 K s s K
s 101010)(2++=Φ
闭环特征多项式
实用文档 2
0022021211010)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=T s T s T s K s s s D 比较系数有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=K T T 10110
2200 联立求解得 ⎩⎨⎧==5
.22.00K T 因此有 159.075.40''<''==T t s
3-6 图3.41所示为某控制系统结构图，是选择参数K 1和K 2，使系统的ωn =6，ξ=1.
3-7 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s 平面根的个数及纯虚根。

（1）01011422)(2345=+++++=s s s s s s D
（2）0483224123)(2345=+++++=s s s s s s D
（3）022)(45=--+=s s s s D
（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D
解（1）1011422)(2345+++++=s s s s s s D =0
Routh：S5 1 2 11 S4 2 4 10
S3 ε6
S2 ε
ε12
4-10
S 6
S0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。

（2）48
3
)(2
24
12
32
5+
3
4
s
s
s
D=0
s
s
+
=s
+
+
+
Routh：S5 1 12 32
实用文档
实用文档
S 4 3 24 48 S 3
3122434⨯-= 32348316⨯-= 0 S 2 4243164
12⨯-⨯= 48 S 121644812
0⨯-⨯= 0 辅助方程 124802s +=,
S 24 辅助方程求导：024=s
S 0 48
系统没有正根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s j 122,=±。

（3）022)(45=--+=s s s s D
Routh ： S 5 1 0 -1
S 4 2 0 -2 辅助方程 0224=-s
S 3 8 0 辅助方程求导 083=s
S 2 ε -2
S ε16
S 0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程0224=-s 可解出： ))()(1)(1(2224
j s j s s s s -+-+=-
))()(1)(1)(2(22)(45j s j s s s s s s s s D -+-++=--+=
实用文档
（4）0502548242)(2345=--+++=s s s s s s D
Routh ： S 5 1 24 -25
S 4 2 48 -50 辅助方程 05048224=-+s s
S 3 8 96 辅助方程求导 09683=+s s
S 2 24 -50
S 338/3
S 0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程05048224=-+s s 可解出： )5)(5)(1)(1(2504822
4j s j s s s s s -+-+=-+ )5)(5)(1)(1)(2(502548242)(2345j s j s s s s s s s s s s D -+-++=--+++= 3-8 对于图3.42所示系统，用劳斯（Routh ）稳定判据确定系统稳定时的 k 取
值范围。

图3.42 题3-8图解：闭环系统的特征方程为：
k(s+1)+s(s3+4s2+2s+3)=0
s4+4s3+2s2+(k+3)s+k=0
Routh 表：
S
412k
S34K+1
S25-k4k
S1(-k2-14k+15)/(5-
k)
S04k
根据Routh 判据使系统稳定应满足：
∴0<k<1
实用文档
实用文档 3-9 设单位反馈控制系统的开环传递函数为
要求确定引起闭环系统持续振荡时的k 值和相应的振荡频率ω。

解：闭环特征方程为：
s 4+12s 3+69s 2+198s+(200+k)=0
根据劳斯判据列劳斯表如下： S
4 1
69 200+k S 3
12 198 S 2
52.5 200+k S 1
152.3-0.23k S 0
200+k
由152.3-0.23k=0 可求得使系统闭环时产生持续振荡的k 值 k=662.13
将上述k 值代入辅助方程
52.5s 2+200+k=0
令s=jω,代入上述方程得到相应的持续振荡频率ω= 4.05 rad/s
3-10 已知一系统如图3.43 所示,试求
（a）使系统稳定的k值的取值范围。

（b）若要求闭环系统的特征根都位于Res=-1 直线之左，确定k 的取值范围。

图3.43 题3-10图
解：(a) 闭环特征方程：
s(0.1s+1)(0.25s+1)+k=0
0.025s3+0.35s2+s+k=0
根据Routh 判据使系统稳定应满足：
k>0
0.35>0.025k
∴0< k<14
(b) 令s=z-1 并代入特征方程并整理得：
0.025z3+0.275z2+0.375z+0.675+k=0
实用文档
实用文档
∴0.275×0.375>0.025 (0.675+k)
0<k<3.45
此时 z 〈0 既 s<-1
3-11.某控制系统的方框图如图3.44所示，欲保证阻尼比ξ=0.7和响应单位斜坡函数的稳态误差为ss e =0.25,试确定系统参数K 、τ。

图3.44 题3-11图
3-12 系统结构图如图 3.45所示。

已知系统单位阶跃响应的超调量σ%3.16=%，峰值时间1=p t s 。

（1） 求系统的开环传递函数)(s G ；
实用文档
（2） 求系统的闭环传递函数)(s Φ；
（3） 根据已知的性能指标σ%、p t 确定系统参数K 及τ；
（4） 计算等速输入s t t r )(5.1)(︒=
时系统的稳态误差。

图3.45 题3-12图
解 （1） )110(10)
1(101)1(10
)(++=+++=ττs s K s s s s s K s G （2） 2222210)110(10)(1)()(n
n n s s K s s K s G s G s ωξωωτ++=+++=+=Φ （3）由 ⎪⎩⎪⎨⎧=-===--113.16212ξωπσςξπn p o o o o t e 联立解出 ⎪⎩⎪⎨⎧===263
.063.35.0τωξn 由（2） 18.1363.31022===n K ω，得出 318.1=K 。

（4） 63.31
263.01018.1311010)(lim 0=+⨯=+==→τK s sG K s v
实用文档 413.063
.35.1===v ss K A e 3-13 已知系统框图如图3.46 和图3.47) 所示
试求 (1) 图3.46所示系统的阻尼系数并简评其动态指标，
(2) 若加入速度反馈成图3.47，对系统的动态性能有何影响？
(3) 欲使系统(b) 的阻尼系数 ξ=0.7 时 ，应使 k 为何值？
图3.46
图3.47解：图(a) 的闭环传递函数：
(2)图(b)的闭环传递函数：
实用文档
所以阻尼比ξ随k’的增加而增加。

∴加入速度反馈可使阻尼比ξ增加，使系统的超调量减少，过度过程时间减少。

(3)当ξ=0.7时，则
3.14 单位负反馈控制系统的开环传递函数如下，
实用文档
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)1(2)
s )(2+++=s s s K s G （
（1）试确定使系统稳定的K 的取值范围
（2）求输入函数分别是单位阶跃和单位斜波时系统的稳态误差。

解：(1)系统的闭环特征方程：
2)1(0
)2()1(232=++++=++++K s K s s s K s s s
使系统稳定的K 的取值范围 K<1
(2)
)1(1)2K(s/2)1(2)s )(22+++=+++=
s s s s s s K s G （ 系统含有一个积分环节，为Ⅰ型，对单位阶跃输入的稳态误差为0，对斜坡输入的稳态误差为1/2K(K<1)
实用文档
3-15 对如图3.4 所示的系统，当r(t)=4+6t, f(t)=-1(t)时 ，试求
(1) 系统的静态误差，(2) 要想减少关于扰动f(t) 的静差，应提高系统中哪一部分的比例系数，为什么？
图3.4
解： (a) r(t)=4+6t
系统的开环传递函数：
对给定r(t)
的静态误差
设扰动之前的传递函数为k1，扰动之后的传递函数为
对扰动f(t)=-1(t)的静态误差ess2
这里k1=4 所以e ss2=0.25
∴系统的静态误差
e ss=e ss1+e ss2=0.6+0.25=0.85
(b) 从(a)可看出对扰动的静态误差e ss2=1/k1
所以要想减少关于扰动f(t) 的静差，应提高系统中第一部分的比例系数k1 3-16 对如图3.49所示的系统，，试求
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(1)当r(t)=0, f(t)=1(t)时系统的静态误差e ss，
(2)当r(t)=1, f(t)=1(t)时系统的静态误差e ss，
(3)说明要减少e ss，应如何调整k1和k2，
(4)在扰动f作用点之前加入积分单元，对静差e ss有什么影响，若在 f 作用点之后加入积分单元，结果又如何？
图3.49
解：(1)
实用文档
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(2) r(s)=1/s 引起的静态误差为
e ss2 系统的静态误差 (3)由(b)知
∴增大k1 可使静态误差减少
分析k2对e ss2的影响，e ss对k2求偏导得：
当k1 <1时，
∴ess 随k2的增大而增大
实用文档
当k1>1 时
∴ess 随k2 的增大而减小
(4) 在扰动作用点之前加入积分单元，扰动F(s)=1/s 引起的静态误差
在扰动作用点之后加入积分单元，扰动F(s)=1/s 引起的静态误差。

3-17 已知单位反馈系统的闭环传递函数为
试求单位斜坡函数输入和单位加速度函数输入时系统的稳态误差。

解：系统开环传递函数：
单位斜坡函数输入时R(s)=1/s2
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单位加速度函数输入时R(s)=1/s3
3-18 设一随动系统如图3.50所示，要求系统的超调量为0.2，峰值时间s1=
p
t，（1）求增益K和速度反馈系数τ。

（2）根据所求的K和τ值，计算该系统的上升时间和调节时间。

（3）用MATLAB进行验证(或用配套软件验证)。

)
(s
R)
(s
C
sτ+1
)1 (+ s
s
K
—
图3.50题3-18
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解 由图示得闭环特征方程为
0)1(112=+++K s K s τ
即
21n
K ω=，n
n
t ωτωξ212
+=
由已知条件
1
12.0%2
1/2
=-=
==--t n p t e
t t ξωπσξπξ
解得
1
2
2
2
2t 52.389
.014
.345.0114
.3145
.0)1
(ln 1
ln -==
-=
-=
=+=
s n ξπωσπσ
ξ
于是
4.121=K 17
5.0.4
127
.12121n ==-=
K t ωξτ
37.052
.304
.027.0152
.32.06.012
=++=++=
n
t t d t ωξξ
s t t
n t t
n r 5.6045
.0152.31.114.31arccos 12
22
=--=--=
--=
ξ
ωξπξ
ωβπ
s t n
t s .222
.535.40.5
35
.3=⨯=
=
ωξ
解毕。

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3-19（北京理工大学2004 本题20分）
某系统由典型环节组成，是单位负反馈的二阶系统。

它对单位阶跃输入的响应曲线如图所示，试求该系统的开环传递函数及其参数。

图3-29题3-17
解：考虑到()1≠
∞
h，结合已知条件，可设闭环传递函数为：
()()
()2
2
2
2
n
n
n
s
s
K
s
R
s
C
s
ω
ζω
ω
+
+
•
=
=
Φ
由()95.0
95.0=
⇒
=
∞K
h
由图可知，
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≈
-
=
=
%
6.
31
316
.0
95
.0
95
.0
25
.1
%
1
σ
p
t
对照指标公式得
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
=
-
-
-
344
.3
344
.0
316
.0
1
1
2
1
2
n
n
e
ω
ζ
ζ
ω
π
ζ
ζπ
于是闭环传递函数为
实用文档
(
)
182
.
11
301
.2
182
.
11
95
.0
2+
+
•
=
Φ
s
s
s
依题意，系统应由典型环节构成，且为单位反馈，相应的结构图可有两种形式，如图（a）, （b）所示：
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图（a ） 图（b ）
对应图（a ）,有()()()()()()
s s s G s G s G s Φ-Φ=⇒+=Φ11111
开环传递函数为
()()()()()
1494.01623.3007
.19205.2276.0623.10559.0301.2623.102
1++≈++=++=
s s s s s s s G 即开环传递函数由1个比例环节和2个惯性环节构成。

对应图（b ）,有()()()
s G s G K s 221+•
=Φ
⇒()()
1435.0860
.4301.2182.1195.022
+=+=
=s s s s s G K ，
即开环传递函数由1个比例环节、1个积分环节和1个惯性环节构成。

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